Учебно-методическое пособие для студентов Москва 2010 Пособие написано на основе курса лекций и практических занятий, прово
Download 0.59 Mb. Pdf ko'rish
|
Vectors AG
|
1 ={l 1 ;m 1 } и s 2 ={l 2 ;m 2 } или смежному с ним углу (рис. 25). Косинус угла ϕ равен модулю косинуса угла между векторами и вычисляется по формуле 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos m l m l m m l l + + + = ⋅ = ϕ
s s s . Признак параллельности прямых, заданных каноническими уравнениями. Прямые
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 : ; : m y y l x x s m y y l x x s − = − − = − параллельны ⇔ когда коллинеарны направляющие векторы s 1 ={l 1 ;m 1 } и s 2 ={l 2 ;m 2 } ⇔ 2 1 2 1 m m l l = . * Текст, напечатанный мелким шрифтом, является необязательным и при первом прочтении может быть про- пущен. s 1 = {
1 ;
1 }
y 0
2 ={
2 ;
2 } ϕ α Рис. 25
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
НА
ПЛОСКОСТИ
26 Признак перпендикулярности прямых, заданных каноническими уравнениями. Прямые 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 : ; :
y y l x x s m y y l x x s − = − − = − перпендикулярны ⇔ когда перпендикулярны на- правляющие векторы s 1 ={l 1 ;m 1 } и s 2 ={l 2 ;m 2 } ⇔ s 1 s 2 =0;
⇔ l 1
2
1
2 =0.
Прямые заданы общими уравнениями s 1 : A 1 x+B 1
1
0; s 2 : A 2 x+B 2
2
0. В этом случае угол ϕ между прямыми равен углу между векторами нормалей n
={A 1 ;B 1 } и n 2 ={A 2 ;B 2 } или смежному с ним углу (рис. 26). Косинус угла ϕ равен модулю косинуса угла между нормалями и вычисляется по формуле 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos B A B A B B A A + + + = ⋅ = ϕ
n n n . Признак параллельности прямых, заданных общи- ми уравнениями. Прямые
1 : A 1
1
1
0;
2 : A 2 x+B 2
2
0 параллельны ⇔ когда коллинеарны их нормали n 1 ={A 1 ;B 1 } и n 2 ={A 2 ;B 2 } ⇔ 2 1 2 1 B B A A = . Признак перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями. Прямые s 1 : A 1 x+B 1
1
0; s 2 : A 2 x+B 2
2
0 перпендикулярны ⇔ когда перпендикулярны их нормали
={A 1 ;B 1 } и n 2 ={A 2 ;B 2 }
⇔ n 1 n 2 =0;
⇔ A 1
2
1
2 =0.
Геометрическая интерпретация системы
двух
линейных
уравнений с
двумя
неизвестными Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
= + + = + + . 0 ; 0 2 2 2 1 1 1 C y B x A C y B x A Каждое уравнение системы является общим уравнением прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости опре- деляет решение системы. Существует три различных случая. 1.
совпадают . В этом случае система имеет бесконечно много решений. Уравнения системы задают одну прямую. Одно уравнение по- лучается из другого умножением на константу, т.е. 2 1
1 2 1 C C B B A A = = . Чтобы решить систему, следует одно из уравнений системы отбросить, т.к. оно является следствием другого. Из оставшегося уравнения выра- зить одну переменную через другую, полученная формула будет опи- сывать все множество решений.
={
1 ;
1 }
y 0
2 ={
2 ;
2 }
1
2
ϕ 180- ϕ Рис. 26 УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
НА
ПЛОСКОСТИ
27 2.
Прямые параллельны . Согласно признаку, прямые параллельны, если 2 1
1 2 1 C C B B A A ≠ = . В этом случае система решений не имеет. 3.
Прямые пересекаются . В этом случае система имеет единственное ре- шение – точку пересечения прямых. Задачи к разделу «Прямая на плоскости» 57)
( ) 2 , 1 A , ( ) 3 , 1 −
. Написать уравнение прямой в различных видах – общее уравнение, каноническое, с угловым коэффициентом, в отрезках на осях. 58)
Найти угол, образованный прямой 1 2
= x y и осью
OY . 59) Найти пару прямых, образующих угол ° 45
x y − = , 3 5 − = x y , 7 3 / 2 − = x y . 60) Найти параллельные прямые среди прямых 5 2
− y x , 1 + = x y , 0 3 10 6 = − + y x . 61) Найти перпендикулярные прямые: а )
5 3 2 = − y x , 1 2 + = x y , 0 4 10 6 = + + y x ;
б )
3 2 2 1 + = − y x , 2 1 5 2 + = + y x , 2 4 3 3 + = − + y x ; в
)
0 3 10 5 = − + y x , 1 10 5 = + y x , ( ) 3 5 3 1 + = −
y . 62) Найти площадь треугольника, образованного началом координат и точками пересечения прямой 1 5 2 = + − y x с осями координат. 63)
0 3 7 5 = − + y x . Написать уравнение прямой, прохо- дящей через точку ( ) 1 , 2 − A : а) параллельно заданной прямой; b) перпенди- кулярно заданной прямой. 64)
Найти угол между прямой 0 1
= + + y x и прямой, проходящей через точки ( ) 1
0 A и
( ) 4 , 1 B . 65) Определить на какой прямой линии лежит точка ( ) 0
2 A -
0 1 : 1 = − + y x l , 0 2 2 1 : 2 + = −
x l , 6 3 : 3 − = x y l . 66) Найти координаты точки пересечения прямых 0 1
= + − y x , 0 2 10 = + +
x .
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
НА
ПЛОСКОСТИ
28 67)
Найти координаты проекции точки ( ) 1 , 2 A на прямую 0 1
= − − y x . 68) Даны координаты трёх точек ( ) 1
0 A , ( ) 3 , 1 −
и (
2 , 2 − C . Написать уравнения: а
всех медиан; б ) всех высот; в ) всех средних линий треугольника ABC . 69) Написать общее уравнение прямой, проходящей через точки А(3, -1), В(2, 2). 70)
Написать уравнение с угловым коэффициентом прямой, проходящей через точку
(-3, -2) параллельно вектору {3, 2}.
=
71)
Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку N (-2, 5)
перпендикулярно прямой y=2x-5.
72) Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку пе- ресечения прямых 2 3 1 0, 5 4
y y x − + = = − перпендикулярно первой пря- мой. 73)
Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух заданных: К(3; -5), М(-1; -3). 74)
Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q (2, 7): а) парал- лельно прямой 4 3 5 0 x y + − = ; б) перпендикулярно прямой 1 2 5 y x = −
+ . 75)
Написать уравнение в отрезках прямой, проходящей через точку М(5, 1) параллельно прямой , 3 1. x t y t = = −
76) Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку G(-7, -1/2) параллельно прямой 2 , 2 5.
t y t = −
= +
77)
Найти точку пересечения прямых 7 11 3 0, 1. 4 2 x y x y − − = + =
78)
При каких значениях и p q прямые 3 6
0, 2 5 x y q px y − − − + =
= будут пе- ресекаться в точке I(1, 1)? 79)
Найти угол между прямыми 3 4
0, 2. 2 x y y x − +
+ = = −
+
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
НА
ПЛОСКОСТИ
29 80)
Найти угол между прямыми 5, 1, 3 2 5 1. x t x y y t = +
+ = − = +
81)
Через точку J(3, -1) провести прямую, пересекающую прямую 2 5
x = + под углом 45 о . 82)
Вычислить углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями 4 , 2 3 3 4 5 0, , 2 3 3 1. x t x y x y y t = − − − + =
= − = − 83)
Дан треугольник : ( 2, 1), (3, 2),
(4, 3).
ABC A B C ∆ − − Написать уравнения сторон, высот, медиан, средних линий. Найти точку пересечения медиан, основания высот. Вычислить углы треугольника, высоты. 84)
: (3, 1),
(2, 3), ( 4, 1).
ABCD A B C − − Написать уравнения сторон, высот, диагоналей. Найти точку пересечения диагоналей, основа- ния высот. Вычислить углы параллелограмма, высоты. 85)
Найти расстояние от точки Q(4, -5) до прямой у=7х+1. 86)
прямой 2 3 . 3 2 x y + − = −
87)
Выяснить, какая из прямых находится дальше от начала отчета: 7 2, 5 7 или 2 7. x t y x y t = − = −
+ = −
88)
При каком значении n прямые 1 7 1 0, 2 x y x y n + + − = = будут перпендику- лярны, а при каком – параллельны? УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В
ПРОСТРАНСТВЕ
30 9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В
ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим плоскость π, проходящую через точку
0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) перпенди- кулярно вектору
{A;B;C} (рис. 27). Оче- видно, этим геометрическим условиям удовлетворяет единственная плоскость. Возьмем произвольную точку М(x;y;z), принадлежащую нашей плоскости. Выве- дем условие, которому должны удовле- творять координаты точки М, чтобы она принадлежала плоскости. Для того чтобы точка М находилась на плоскости π необходимо и достаточно, чтобы векторы М 0 М Download 0.59 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|