Учебно-методическое пособие к лабораторной работе №3 Владивосток 2013

Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела относительно лю­бой оси, не проходящей через центр массы данного тела, равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через его центр массы и параллельной первой оси, плюс произведение массы данного тела на квадрат расстояния между этими осями: I = I_o + mɑ², где I – момент инерции тела от­носительно искомой оси, (не проходящей через центр массы тела), Iо мо­мент инерции тела относительно оси проходящей через центр массы и параллельной первой оси, m- масса тела, ɑ - расстояние между осями.


Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции тел враще­ния методом крутильных колебаний.
Крутильный маятник в данной работе состоит из спиральной пружины, закрепленной в штативе. С пружиной жестко скреплена ось, свободно вра­щающаяся в штативе. На ось крепится тело, момент инерции которого опре­деляется. Если эту систему вывести из положения равновесия, повернув тело на некоторый угол φ и отпустить, то возникнут крутильные колебания тела. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент силы, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия, а затем со­общающий телу обратное движение. Возвращающий момент силы М обусловлен упругими силами, возникающими в спиральной пружине.
Как показывают эксперименты, в области упругих деформаций круче­ния, угол поворота спиральной пружины прямо пропорционален проекции момента силы М на ось вращения z (М_z), т.е.
М_z = - G·φ (16).
Коэффициент пропорциональности G называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Из уравнения (11) следует: М_z = I_z· , где = - угловое ускорение, I_z – момент инерции тела относительно вращающейся оси установки. Следовательно,
М_z = I_z· (17).
Из (16 ) и (17) следует равенство: I_z· = - G·φ. Или
+ = 0 (18)
Уравнение (17) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, которое можно переписать в следующем виде
+ω²φ = 0, (19)
где ω² = (20)
Уравнение (18) соответствует гармоническому осциллятору и описывает его гармонические колебания, в данном случае колебания углового смещения маятника относительно его положения равновесия. Из решения дифференциального уравнения (18) следует, что колебания крутильного маятника яв­ляются гармоническими φ = φ_о·Sin(ω·t +α), где φ_о – амплитуда углового сме­щения, равная начальному угловому отклонению маятника, а ω- цикличе­ская частота колебаний, которая связана с периодом колебаний соотношением
ω = (21)
Из уравнений (20) и (21) вытекает рабочая формула эксперименталь­ного определения момента инерции I_z для предложенных тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера:
I_z =I= , (22)