Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

7.2. Uzluksiz funksionalning xossalari.
Aytaylik (X,
ρ
) metrik fazo bo‘lsin. Agar f akslantirishning obrazi haqiqiy
sonlar to‘plami
dan iborat bo‘lsa, f ni funksional deyiladi. Aytaylik X da f
uzluksiz funksional berilgan bo‘lsin.
R
2-teorema
. Ixtiyoriy uzluksiz f funksional kompakt to‘plamda
chegaralangan hamda o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.
Isboti
. Biror M kompakt to‘plam olamiz. Yuqoridagi teoremaga asosan f
funksionalning qiymatlar to‘plami f(M)=E, kompakt to‘plam bo‘ladi. Demak, E
chegaralangan, ya’ni shunday a va b sonlar topilib, a
≤f(x)≤b bo‘ladi. Bundan f
funksionalning M da chegaralanganligi kelib chiqadi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

E to‘plamning chegaralanganligidan, uning aniq yuqori va aniq quyi
chegaralari mavjud. Endi
α=supE belgilash kiritamiz va 0 ga yaqinlashuvchi
1
n
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭

ketma-ketlikni olamiz. Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko‘ra,

1
n
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
ketma-
ketlikning har bir hadi uchun, M to‘plamga tegishli shunday x nuqtalar topilib,
α-
n
1
α tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. So‘nggi tengsizlikni qanoatlantiruvchi x
nuqtalardan birini x
n
bilan belgilaymiz. U holda bu nuqtalar uchun
α -
n
1
< f(x
n
) <
α, (n=1,2,
…
)
(1)
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Hosil bo‘lgan {x
n
} ketma-ketlikdan M to‘plamning x
0

nuqtasiga yaqinlashuvchi {

} qism ketma-ketlik ajratamiz. Bu nuqtada f
funksional uzluksiz, shu sababli f(x
k
n
x
0
)=
α
=
∞
→
)
x
(
f
lim
k
n
k
bo‘ladi. Demak, f funksional
o‘zining eng katta qiymatini qabul qiladi.
Shunga o‘xshash, f funksionalning eng kichik qiymatiga erishishi
isbotlanadi. Teorema isbot bo‘ldi.