Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям

t y
f t
е
t
−
−
=
, (4.25) 
где y
0
– математическое ожидание логарифма случайной величины; σ
л
– 
среднее квадратическое отклонение логарифма случайной величины. 
Параметры y
0 
и σ
л
связаны с математическим ожиданием t
ср 
и сред-
ним квадратическим отклонением σ случайной величины t следующими 
соотношениями: 
2
0
2
ср
y
t
е
σ
+
=
; (4.26) 
2
2
0
л
л
2
σ
(
1)
y
e
е
+σ
σ
=
− . (4.27) 
При решении практических задач определения показателей надеж-
ности автомобилей плотность распределения вероятности логарифма 
t
оп-
ределяется по формуле 
0
0
л
л
ln
1
( )
(
)
σ
σ
t y
f t
f
t
−
=
, (4.28) 
где 
f
0
(
z
) – плотность вероятности нормированного распределения. 
Вероятность безотказной работы и вероятность отказа находятся из 
выражений: 
0
л
ln
( ) 0,5
Ф(
)
σ
t
y
Р t
−
=
−
, (4.29) 
0
л
ln
( ) 0,5
Ф
σ
t
y
F t
⎛
⎞
−
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
. (4.30) 
Интенсивность отказов (или восстановлений) определяется по фор-
муле (4.18). 
Гамма-процентный ресурс (срок службы, сохраняемости) находится 
из уравнения 
0
л
ln
γ
0,5 0,5Ф(
)
100
σ
t
y
γ
−
=
−
. (4.31) 
Логарифмически нормальное распределение хорошо описывает от-
казы подшипников передних колес, усталостное разрушение деталей при 
стендовых испытаниях, периодичности крепежных работ и др. 
Распределение Вейбулла 
Непрерывная случайная величина t называется распределенной по 
закону Вейбулла, если ее плотность распределения имеет вид 

---

84
1
( )
b
t
b
a
b t
f t
e
a a
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
при t > 0, (4.32) 
где а – параметр масштаба распределения, характеризующий растянутость 
кривых вдоль оси t; b – параметр формы распределения. 
Значения плотностей вероятностей f(t), записанные по этой форме, 
протабулированы, т.е. представлены в таблицах математической статистики. 
Распределение Вейбулла – гибкое распределение и часто принимает-
ся в качестве статистической модели для описания самых разнообразных 
отказов. Хорошо оно проявляется в модели «слабого звена». Например, в 
двигатель кроме блока цилиндров, картера, коленчатого вала, поршней, 
шатунов входят менее долговечные детали: поршневые кольца, вкладыши, 
прокладки, уплотнения и т.д. Они отказывают в разные сроки, а наработка 
двигателя на отказ определяется наиболее слабым звеном. 
Поэтому распределение Вейбулла занимает особое место при оценке 
ресурсов работы многих узлов и агрегатов автомобиля. При этом в зависи-
мости от параметра b оно может принимать самые разнообразные формы.
При b < 1 – это убывающая функция; при b ≈ 1 – совпадает с экспонентой; 
при b ≈ 3,3 – совпадает с нормальным распределением. 
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение при 
этом законе распределения находятся по формулам: 
t
ср
= ak
в
; (4.33) 
σ(t) = aq
в
; (4.34) 
где k
в
и q
в
– коэффициенты, определяемые из выражений: 
);
1
1
Г(
в
b
k
+
=
(4.35) 
2
в
в
)
2
1
Г(
k
b
q
−
+
=
, (4.36) 
где Г(х) – гамма-функция. 
Коэффициент вариации случайной величины t определяется по формуле 
в
в
ср
в
в
σ
ν
aq
q
t
ak
k
=
=
=
. (4.37) 
Из математической статистики известно, что параметр формы рас-
пределения Вейбулла b является функцией коэффициента вариации ν, т.е. 
b = f(ν) = f(σ(t)/t
ср
). 
Для удобства вычислений при определении параметра формы b, а 
также коэффициентов k
в
и q
в
составлены специальные таблицы [8]. 

---

85
Если t предоставляет собой наработку до отказа, то вероятность без-
отказной работы P(t) и вероятность возникновения отказа F(t) до этой на-
работки находятся по формулам: 
( )
; (4.38)
b
t
a
P t
e
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
( ) 1
.
b
t
a
F t
e
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
(4.39) 
Интенсивность отказов определяется выражением 
1
( )
λ( )
.
( )
b
f t
b t
t
P t
a a
−
⎛ ⎞
=
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(4.40) 
Гамма-процентный ресурс (срок службы, сохраняемости) находится 
по формуле 
.
100
b
t
a
e
γ
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
γ
=
(4.41)