Учебное пособие Ростов-на-Дону 2010 Ольшанский, В. В

3.3. Расчет надежности восстанавливаемых нерезервированных систем

Как было показано в п. 3.2.3 восстанавливаемая нерезервированная система в произвольный момент времени может находиться в одном из двух состояний: работоспособном (G₀) или неработоспособном (G₁). Из состояния G₀ в состояние G₁ система переходит в результате отказов с интенсивностью λ, а из состояния G₁ в состояние G₀ – в результате восстановления с интенсивностью μ (см. рис. 3.5). Будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими, то есть λ=const и μ=const. Следовательно, время безотказной работы и время восстановления имеют экспоненциальное распределение:


, ;


, .

Основными показателями надежности восстанавливаемой системы являются: коэффициент готовности и коэффициент простоя , где через и обозначены вероятности нахождения системы соответственно в работоспособном состоянии и в неработоспособном состоянии G₁ в произвольный момент времени t.

Рассмотрим работу системы (см. рис. 3.5) на интервале времени от до и определим вероятность того, что в конце этого интервала времени система будет находиться в работоспособном состоянии G₀. Очевидно, на интервале могут произойти два несовместных события: А – в момент времени  система была работоспособна и за интервал отказов не возникло; В – в момент времени система была неработоспособна, но на интервале была восстановлена.
Тогда вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени будет равна:


.

Если мало, то в соответствии с теоремой умножения независимых событий можно записать:

;


.

Следовательно,

,

или
.

Положим . Тогда получим дифференциальное уравнение:


. (3.33)

Так как работоспособное и неработоспособное состояния представляют собой полную группу несовместных событий и, следовательно, , то уравнение (3.33) можно записать в следующем виде:

. (3.34)

Решение уравнения (3.34) при начальных условиях и (в начальный момент времени система работоспособна) имеет вид:

. (3.35)

При (длительная эксплуатация) формула (3.35) примет вид:

. (3.36)

Рассуждая аналогично, можно показать, что вероятность нахождения системы в неработоспособном состоянии G₁ в конце интервала времени от до равна:

. (3.37)

И при длительной эксплуатации ( ):

. (3.38)

Это означает, что при экспоненциальных законах распределения времени безотказной работы и времени восстановления случайный процесс работы восстанавливаемой системы после истечения некоторого времени стабилизируется, и вероятность застать систему в работоспособном состоянии в произвольный момент времени остается постоянной. Система с указанным свойством называется эргодической, а сам процесс – Марковским случайным процессом.