Учебное пособие Ростов-на-Дону 2010 Ольшанский, В. В

q(t) = c f(t),
где:
f(t) - плотность не усеченного распределения
, (1.19)
(Т₀ = a, s_t = s обозначено для краткости записи);
С - нормирующий множитель, определяемый из условия
то есть
Так как нормальное распределение применяется обычно для описания отказов, возникающих вследствие износа и старения, то средняя наработка до отказа a имеет большую величину и a >> s.
В этом случае с большой степенью точности, поэтому С = 1 и, следовательно, можно пользоваться формулой обычного нормального распределения (1.19).
Определять значения q(t) при заданных t, а и s можно используя таблицы, построенные для плотности вероятностей так называемой нормированной центрированной случайной величины с а = 0 и s = 1. Такая плотность имеет вид

Действительно, сравнивая q(t) и f₀(t), получим
(1.20)
Полезно знать, что f₀(-t) = f₀(t), ввиду симметрии кривой f₀(t) относительно оси ординат.
Функция распределения для нормального закона определяется следующим образом:
(1.21)
Как известно, интеграл в формуле (1.21) не выражается через элементарные функции, поэтому для его вычисления пользуются таблицами специальной функции, которая называется нормированной функцией Лапласа:
(1.22)
Для этого упростим (1.20), применив следующие подстановки:

Получим

Таблицы для Ф(Z) имеют только положительные значения Z . Как быть в том случае, если t < а, и < 0? Для этого покажем, что Ф(-Z ) = = 1 – Ф(Z). Действительно,

Ввиду симметрии f₀(x)

Тогда получаем Ф(-Z) + Ф(Z) = 1 , откуда Ф(-Z) = 1 - Ф(Z).
Теперь легко записать характеристики надёжности при нормальном распределении случайной величины t в прежних обозначениях.




Зависимости основных показателей надёжности при нормальном распределении t представлены на рис. 1.6.
Как видно, закон нормального распределения t - двухпараметрический. Его параметрами являются средняя наработка Т₀ до отказа (математическое ожидание случайной величины t) и среднее квадратичное отклонение s_t..Аналогичным образом в периоды приработки, износа и старения может быть распределена вероятность случайной величины t⁰, представляющая наработку между отказами.

Рис. 1.6.
На практике экспоненциальное и нормальное распределения t и t⁰ наиболее распространены. Для ряда ТО оказывается необходимым применение других распределений.