Учебное пособие Ростов-на-Дону 2010 Ольшанский, В. В

t = min (t′, t″),
где t′, t″ - случайные длительности безотказной работы первого и второго элементов.
Зная законы распределения этих длительностей и определяя путем имитации на ЭВМ их случайные значения можно найти оценку математического ожидания t по формуле

где N - число имитируемых пар .
Аналогично можно рассчитать оценку дисперсии, построить гистограмму, представляющую опытный (статистический) аналог плотности распределения.
Таким образом, МСИ дает возможность по известным законам распределения случайных величин, представляющих аргументы интересующего специалистов показателя надёжности, определять значения исследуемой функции, их вероятности и находить аналоги законов распределения.
Важно уяснить, что МСИ целесообразно применять только в таких ситуациях, когда по случайным аргументам с известными распределениями нельзя найти характеристики закона распределения функции. В рассматриваемом примере функция случайных аргументов t = min (t′, t″), будучи вообще говоря, достаточно простой, может быть оценена в принципе лишь посредством МСИ и только в частных случаях - аналитически.

5.2.2. Сущность МСИ и реализации на ЭВМ случайного эксперимента

Для уяснения существа имитационного эксперимента на ЭВМ рассмотрим, как, не прибегая к многократному подбрасыванию монеты, определить вероятность выпадения герба на ЭВМ. Кстати, знаменитый ученый 18-го века Бюфон около 20 тысяч раз провел опыт с монетой, чтобы убедиться, что герб и решетка выпадают примерно одинаковое число раз.
Напишем на одинаковых бумажках цифры 0, 1, ... , 9, положим их в шапку, перемешаем. Будем извлекать по одной бумажке, делать запись цифр с последующим возвращением и перемешиванием. Фрагмент соответствующего набора цифр представлен в табл. .5.1.
Таблица 5.1
86515069186341686286522472587152452
976773904825871137847547907955033936
421633471171093000242499975261821348
Таким образом, получены реализации равномерно распределенной дискретной случайной величины со значениями 0, 1, ..., 9. Вероятность каждого из них равна 0,1. Такого рода таблицы называются таблицами случайных чисел.
Заменим испытание, состоящее в однократном подбрасывании монеты, следующим испытанием, реализуемым на ЭВМ. Будем выбирать из помещенной в память ЭВМ табл.5.1 цифры по порядку. В силу симметрии монеты правомерно полагать, что если при этом появляются, например, цифры 0, 1, 6, 7, 8, то имеет место выпадение герба, а если появляются цифры из числа остальных, т.е. 2, 3, 4, 5, 9, то это соответствует выпадению решетки. Здесь симметрия монеты, влекущая равновероятность, имитируется тем, что половина любых цифр связывается с выпадением герба, а остальные цифры - с выпадением решетки. Можно непосредственно убедиться, что уже при N = 50, цифры 0, 1, 6, 7, 8 появятся 26 раз, а цифры 2, 3, 4, 5, 9 появятся 24 раза. В результате частота появления герба составит 0,52, что уже достаточно близко к вероятности этого события, составляющей 0,5.
В рассматриваемом случае можно было бы имитировать бросание монеты проще. Но таблицы случайных чисел, аналогичные табл.5.1, представляющие результаты статистических испытаний над определенными простыми случайными величинами, позволяют имитировать натурные эксперименты со случайными величинами, имеющими более сложные законы распределения. Кроме того, они дают возможность оперировать с любыми составными случайными величинами, представляющими суммы, разности, произведения и другие функции простых случайных величин.
Запись случайных таблиц в память ЭВМ описанным способом не является рациональной из-за потребности в большом объеме памяти. Поэтому при реализации МСИ используются псевдослучайные (распределенные "почти равномерно") числа, порождаемые поочередно по мере необходимости в ЭВМ в соответствии со специальными алгоритмами. Наиболее распространенным среди них является алгоритм сравнений (вычетов). В математическое обеспечение современных ЭВМ включены программы, реализующие псевдослучайные числа с использованием тех или иных версий этого алгоритма. Числа при этом рассчитываются поочередно и после использования не запоминаются. В результате необходимость хранения в памяти ЭВМ громоздких таблиц случайных чисел отпадает.
Как правило, программы, реализующие псевдослучайные числа, позволяют определить "почти" равновероятные значения случайной величины R, принадлежащие интервалу (0,1).
Плотность распределения R при этом f(R) = 1, вероятность того, что R попадает в интервал ( a’, b' ), равна b' - а’, т.е. длине этого интервала. Поэтому если разделить ( a', b’) на любое число интервалов равной длины, то вероятность того, что R попадет на каждый из них, будет одной и той же (рис. 5.1).

Таким образом, R - равномерно распределенная случайная величина со значениями в интервале (0,1).

Как отмечалось, значения R, которые определяются с использованием охарактеризованных машинных программ, могут быть использованы для получения значений случайной величины любого вида. Такой процесс часто называют разыгрыванием. Рассмотрим процедуры разыгрывания произвольных дискретной и непрерывной случайных величин.