Умумий ўрта таълим мактаблари ва ўрта махсус, касб-ҳунар таълими муассасаларида аниқ интеграл мавзусини ўқитилиши ҳақида

Bizga ma’lumki, amaldagi darsliklarda aniq integral tushunchasi quyidagi usulda – mazmunda berilgan:

• 
  egri chiziqli trapetsiya yuzini topish masalasi beriladi, ya’ni yuqoridan funktsiyaning grafigi bilan, quyidan kesma bilan, yon tomondan to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning – egri chiziqli toapetsiyaning yuzini topish.
  
• 
  Bu yuzani deb belgilanadi. (1-rasm).
  
• 
  

y

S

b

x

0

a

1-rasm

• 
  asosli egri chiziqli trapetsiyaning yuzini orqali belgilanadi (2-rasm). Bunda da , da bo’ladi.
  
• 
  ni funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi bo’lishi, ya’ni ekanligi ko’rsatiladi. ayirma ko’riladi, bunda (yoki . Bu ayirma asosi bo’lgan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng. (3-rasm).
  

y



S







S_(x)





b

x

0

a

x

2-rasm

• 
  Rasmdan ko’rinadiki, agar son kichik bo’lsa, u holda bu yuza taqriban ga teng, ya’ni . Demak, .
  

y



S

x+h

b

x

0

a

x

3-rasm

• 
  Bu taqribiy tenglikning chap qism da hosilaning ta’rifiga ko’ra, tenglik hosil bo’ladi. Demakki, funktsiya funktsiya uchun boshlang’ich funktsiya bo’ladi.
  
• 
  Ma’lumki, funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi bu funktsiyaning boshqa boshlang’ich funktsiyasidan o’zgarmas songa farq qiladi, ya’ni
  

(s-o’zgarmas son) (1)
Bu tenglikdan da va dan tenglik olinadi. U holda (1) ga ko’ra kelib chiqadi. Bu yerda dan esa , ya’ni hosil bo’ladi.

• 
  Quyidagicha xulosa chiqariladi:
  

Egri chiziqli trapetsiyaning yuizini

formula bilan hisoblash mumkin, bunda berilgan funktsiyaning istalgan boshlang’ich beriladi:

• 
  Ta’rif beriladi:
  

ayirma funktsiyaning kesmadagi aniq integrali deyiladi va ko’rinishda belgilanadi, o’qilishi o’rgatiladi.

• 
  formula Nyuton-Leybnits formulasi deb ataladi.
  
• 
  SHu o’rinda qisqacha quyidagiga tarixiy ma’lumot keltirilgan:
  

Egri chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblash masalasi aniq integral tushunchasiga olib kelgan. Uzluksiz funktsiya aniqlangan kesma nuqtalar yordamida o’zaro kesmalarga bo’lingan va har bir kesmadan ixtiyoriy nuqta olingan.
(4-rasm).

y









0

x_n-1

b





x₁



x₂

x₃

4-rasm

• 
  kesma uzunligini orqali belgilab, uni funktsiyaning nuqtadagi qiymati ga ko’paytirib, ushbu
  

(2)
yig’indi tuzilgan, bunda har bir qo’shiluvchi asosi va balandligi bo’lgan to’g’ri to’rtburchakning yuzidir. yig’indi egri chiziqli trapetsiyaning yuzi ga taqriban teng: (4-rasm).

• 
  (2) yig’indi funktsiyaning kesmadagi integral yig’indisi deyiladi.
  
• 
  Aniq integral taxrifi keltirilgan:
  

Agar cheksizlikka intilganda ( , nolga intilsa , u holda integral yig’indi biror songa intiladi. Ayni shu son funktsiyaning kesmadagi aniq integrali deb ataladi.

• 
  Yuzalarni topish va aniq integrallarni hisoblashga doir misollar berilgan.
  

Umuman, amaldagi darsliklarda aniq integral mavzusini berilishi haqida quyidagicha xulosa chiqarish mumkin:
1.Aniq integral tushunchasini boshlang’ich funktsiyalar ayirmasi orqali, rasmlar bilan boyitilgan holda berilishi o’quvchilarda yuzalarni hisoblash orqali, aniq integral tushunchasini qulay, sodda tilda – mazmunda tushunishga olib keladi.
2.Integral yig’indining limiti orqali aniq integral tushunchasiga qisqagina tarixiy berilgan halos.
3.Aniq integralning mavjudlik yoki mavjud bo’lmasligi to’g’risida umuman ma’lumot yo’q.
4.Aniq integralni hisoblashga doir ko’plab misollar yechib ko’rsatilgan, mustaqil ishlar, nazorat ishlari uchun ham ko’plab turli mazmundagi misollar berilgan. O’zini tekshirish uchun javoblari ham berilgan. Bu albatta juda yaxshi, ammo hisoblashning usullari batafsil berilmagan.
Umuman o’rta ta’lim maktablarining 11-sinflari va o’rta maxsus, kasb – hunar ta’limi mutsassasalarida aniq integral mavzusini (aniq integral tushunchasida foydalanadigan funktsiya limiti mavzusini ham) berishda yuqorida berilgan ma’lumotlar, hulosalarni e’tiborga olgan holda va pedagogika nuqtai nazaridan mavzuni bayon etishda: kimga, nimani, qanday mazmunda, qanday hajmda va qanday usulda berish masalasiga yanada ijobiy yondoshlan holda mavzularni yoritishda quyidagi taklif va mulohazalarga e’tibor qaratishni so’ragan bo’lar edik.
Aniq integral tushunchasini integral yig’indining limiti orqali kiritilishini e’tiborga olib avvalo limit tushunchasini kiritishda quyidagilarga e’tibor qaratish lozim:
1.Limit tushunchasiga olib keladigan masalalarni jadval ko’rinishda berishda, ning biror qiymatga chap va o’ngdan yaqinlashganda funktsiyaning qiymati
-biror yagona chekli songa
-cheksiz qiymatga ( )
-alohida, alohida songa
yaqinlashishiga doir misollar keltirish.
2.Berilgan misollar yordamida chapdan, o’ngdan yaqinlashish tushunchalarini berish.
3.Limitlarga quyidagicha ta’rif berish:
-Agar ning qiymati songa chapdan yaqinlashganda ham, o’ngdan yaqinlashganda ham ning mos qiymatlari biror yagona chekli songa yaqinlashga, u holda soni ni ga yaqinlashganda funktsiyaning limiti deb ataladi va ko’rinishda yoziladi.
-Agar ning qiymati songa chapdan yaqinlashganda ham, o’ngdan yaqinlashganda ham ning mos qiymatlari ga yaqinlashsa, u holda soni ni ga yaqinlashganda funktsiyaning limiti deb ataladi va ko’rinishda yoziladi.
-Agar ning qiymati songa chapdan yaqinlashganda ham, o’ngdan yaqinlashganda ham bitta songi yaqinlashmasa, u holda funktsiyaning ni songa intilgandagi limiti mavjud emas deb ataladi.
4.Limiti mavjud chekli, cheksiz yoki mavjud bo’lmagan funktsiyalarga doir misollar avvalo funktsiyaning grafiklari orqali (darsliklardagi kabi) rasmlarda beriladi va tahlil etiladi.
5.Shu takliflar asosida funktsiya grafigining uzluksizligi, uzilish nuqtasi haqida tushunchalar beriladi.
Boshlang’ich funktsiya va aniq integral mavzularini berishda quyidagilarga e’tibor berish lozim deb hioblaymiz.
6.Boshlang’ich funktsiya tushunchasi kiritilganda qanday funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi mavjud bo’ladi?, deb avval qo’yish va javob berish.
7.Aniq integral ta’rifini quyidagicha berish lozim:
Agar cheksizlikka intilganda nolga intilsa , u holda integral yig’indining limiti (chekli yoki cheksiz) songa intilsa, ana shu son funktsiyaning kesmadagi aniq integrali deb ataladi. Agar limit mavjud bo’lmasa, u holda funktsiyaning kesmadagi aniq integrali mavjud emas deyiladi.
8.Bir nechta yuzani hisoblash va aniq integralni hisoblashga doir misollar beriladi.
9.Ayniqsa, yuzalarni topish masalalarida aniq integrallar ayirmasi yoki yig’indilarini hisoblashga olib keladigan masalalarga ham e’tibor qaratish lozim.
10. aniq integralni mavjud bo’lishining zaruriy sharti isbotsiz keltirish kerak.
11. aniq integralni mavjud bo’lishining yetarli sharti isbotsiz keltirish kerak.
12.Aniq integralga doir hossalarni yanada ko’paytirish lozim.
13.Aniq integralni hisoblashning “o’zgaruvchilarni almashtirish” va “bo’laklab integrallash” usullarini keltirish. Misollar bilan boyitish lozim.
Bizningcha, bu taklif va mulohazalarni inobatga olish funktsiya limiti va aniq integral mavzulari hajman va mazmunan kengayishiga olib keladi. Ammo mavzularning nazariy, amaliy – tadbiqiy ahamiyati e’tiborga olinsa o’quvchi yoshlarni mavzuni kengroq, chuqurroq o’zlashtirishiga, ijodiy fiklashida yanada muhim rol o’ynaydi deb hisoblaymiz.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   M.A.Mirzaaxmedova, SH.N.Ismailov, A.Q.Amanov, B.Q.Xaydarov. “Umumiy o’rta ta’lim maktablarining 11-sinflari va o’rta ma’sus, kasb-hunar ta’limi muassasalari uchun darslik”. 1-qism. Toshkent, 2018.
   
2. 
   Turg’unboev Riskeldi Musamatovich. “Matematik analiz”. 1-qism. Toshkent, 2018.
   
3. 
   T.Azlarov, H.Mansurov. “Matematik analiz”. 1-tom. Toshkent, “O’qituvchi”, 2018.
   
4. 
   G.Xudoyberganov, A.K.Vorisov, X.T.Mansurov, B.A.SHoimqulov. “Matematik analizdan ma’ruzalar”, Toshkent, 2010.
   
5. 
   O’.Toshmetov, R.M.Turg’unboev, Ye.M.Saydamatov, M.Madirimov. “Matematik analiz”. 1-qism. Toshkent, 2015.