Universiteti qoshidagi matematika instituti


Download 3.25 Kb.

bet1/17
Sana02.05.2017
Hajmi3.25 Kb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI FANLAR AKADEMIYASI
MIRZО ULUG‘BEK NOMIDAGI O‘ZBEKISTON MILLIY
UNIVERSITETI QOSHIDAGI MATEMATIKA INSTITUTI
O‘ZBEKISTON
MATEMATIKA
JURNALI
Jurnalga 1957 yilda asos solingan (1991 yilgacha "O‘zbekiston
fanlar akademiyasining axboroti. Fizika-matematika fanlari
seriyasi"deb nomlangan). Yilda 4 marta chiqadi
4. 2013
УЗБЕКСКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ЖУРНАЛ
УзМЖ
Основан в 1957 г. (до 1991 г. под названием "Известия
Академии наук Узбекистана. Серия физико-математических
наук"). Выходит 4 раза в год
ТАШКЕНТ - 2013

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Ш.А.АЮПОВ
-
академик, главный редактор
А.АЗАМОВ
-
профессор
Ш.А.АЛИМОВ
-
академик
Р.АШУРОВ
-
профессор
Р.Н.ГАНИХОДЖАЕВ
-
профессор
А.С.САДУЛЛАЕВ
-
академик
М.С.САЛАХИТДИНОВ
-
академик
Ф.А.СУКОЧЕВ
-
профессор (Австралия)
Ж.А.ТАХИРОВ
-
профессор
Ш.К.ФОРМАНОВ
-
академик
Ю.Б.ХАКИМДЖАНОВ
-
профессор (Франция)
В.И.ЧИЛИН
-
профессор
Х.М.ШАДИМЕТОВ
-
профессор
К.Ж.ХОЛЛИЕВ
-
к.и.н., отв. секретарь
Адрес редколлегии: 100125. Ташкент, Дурмон йули, 29,
Институт математики при Национальном Университете
Узбекистана им. М.Улугбека,
телефон: (+99871) 262-75-44
Компьютерная верстка: к.ф.-м.н. Ф.А.Нуралиев
Журнал зарегистрирован Агентством по печати и информации
Республики Узбекистан 22 декабря 2006 г. Регистр. №0044.
Сдано в набор 04.11.13 г. Подписано к печати 15.11.13 г.
Формат 60×84 1/16. Гарнитура литературная. Печать офсетная.
Усл.-печ.л. 10,5. Тираж 150 Заказ №
Институт математики при Национальном Университете
Узбекистана им. М.Улугбека: 100125,
Ташкент, Академгородок, ул. Дурмон йули, 29.
Отпечатано в ДП "NISO POLIGRAF" г.Ташкент, ул. Х.Байкаро, 41

Математическая жизнь
3
Академик Махмуд Салахитдинович Салахитдинов
(к 80-летию со дня рождения)
Известному ученому - математику,
доктору физико-математических наук, про-
фессору, академику АН РУз, заслуженному
деятелю науки Узбекистана, лауреату Госу-
дарственной премии Узбекистана им. Абу
Райхана Беруни Махмуду Салахитдинови-
чу Салахитдинову исполнилось 80 лет.
М. С. Салахитдинов родился 23 ноября 1933
г. в г. Намангане. В 1950 г. он поступил на
физико-математический факультет Средне-
азиатского государственного университета
(ныне Национальный Университет Узбеки-
стана им. Мирзо Улугбека), который окон-
чил с отличием в 1955 г.
По окончании университета он рекоменду-
ется в аспирантуру и в 1958 г. оканчивает
ее успешной защитой диссертации на соискание ученой степени канди-
дата физико-математических наук. Первые его работы относятся к ис-
следованию задачи Коши для систем нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных при наличии связей, которые сами
являются соотношениями между частными производными.
Благотворное влияние на формирование М. С. Салахитдинова как
ученого в те годы оказало его пребывание в Институте математики Си-
бирского Отделения РАН под руководством академика А.В. Бицадзе.
В работах М. С. Салахитдинова впервые дана полная классификация
уравнений третьего порядка, указаны канонические виды этих уравне-
ний, когда они принадлежат к составному или смешанно-составному
типу, предложен и исследован целый ряд новых краевых задач для мо-
дельного и общего уравнений смешанно-составного типа третьего по-
рядка. Результаты этих исследований составили содержание доктор-
ской диссертации "К теории уравнений третьего порядка смешанно-
составного типа которую он успешно защитил в 1967 г.
Имя М. С. Салахитдинова как автора фундаментальных исследо-
ваний в области уравнений с частными производными, интегральных
уравнений, а также теории функций признано среди математиков. С
ним связаны успехи в развитии математических исследований и в под-
готовке кадров в Узбекистане и за его пределами.
Стержневым направлением исследований М. С. Салахитдинова ста-
ло выявление новых классов дифференциальных уравнений с частны-
ми производными, определение постановок корректно поставленных ло-
кальных и нелокальных краевых задач для дифференциальных урав-

4
Академик Махмуд Салахитдинович Салахитдинов
нений второго и высшего порядков, изучение влияния коэффициентов
и размерности пространства на корректность краевых задач.
Для уравнений смешанного типа первого и второго родов, а также
уравнений с разрывными коэффициентами им изучены различные кра-
евые задачи, как с непрерывными, так и с разрывными условиями на
линии вырождения типа. Многие из сформулированных и рассмотрен-
ных им задач редуцированы к функциональным и интегральным урав-
нениям. Следует отметить, что результаты, полученные М. С. Салахит-
диновым при исследовании интегральных, особенно сингулярных инте-
гральных уравнений, представляют самостоятельный интерес. Особого
внимания заслуживают его работы, посвященные краевым задачам для
общего уравнения составного типа третьего порядка, вырождающегося
на границе области. В этих работах им развита теория нагруженных
интегро-дифференциальных уравнений, и для краевых задач получена
альтернатива типа Фредгольма.
Для широкого класса уравнений смешанного типа с негладкими ли-
ниями вырождения им был поставлен и исследован ряд краевых задач
c нелокальными условиями и условиями типа Бицадзе-Самарского.
М. С. Салахитдинов развил трехмерные аналоги задачи Трикоми
и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с двумя внутренними
плоскостями вырождения в бесконечных цилиндрических и призмати-
ческих областях.
Большой интерес представляют исследования Махмуда Салахитди-
новича и его учеников по теории операторов интегро-дифференцирова-
ния дробного порядка Изучены различные свойства и законы компози-
ций обобщенного интегро-дифференцирования дробного порядка с оди-
наковыми и различными началами, ядра которых содержат функции
Гаусса, Бесселя и Мейера.
Еще одно из научных направлений деятельности М. С. Салахитди-
нова - изучение нелокальных краевых задач для линейных уравнений
смешанного типа со спектральным параметром. Сюда относятся уста-
новление отсутствия точечного спектра в определенных секторах плос-
кости спектрального параметра, нахождение собственных значений и
собственных функций поставленных задач. Он доказал полноту и ба-
зисность Рисса корневых функций одного класса нелокальных задач
для модельных и смешанных параболо-гиперболических уравнений в
областях с отходом от характеристики.
М. С. Салахитдиновым также было развито исследование краевых
задач для нагруженных уравнений гиперболического и параболо-гипер-
болического типов третьего порядка. Изучение аналога задачи Бицадзе-
Самарского для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями
вырождения, где нелокальное условие связывает значения искомого ре-
шения на части границы и на нескольких внутренних разомкнутых кри-

Математическая жизнь
5
вых, является крупным вкладом в развитие нового направления теории
уравнений смешанного типа первого и второго рода.
В последние годы в своей исследовательской деятельности М. С.
Салахитдинов особое внимание уделяет изучению специальных функ-
ций гипергеометрического типа, а также исследованию краевых задач с
условием Франкля для уравнения смешанного типа с двумя внутренни-
ми линиями и различными порядками вырождения. Им найдены раз-
личные свойства гипергеометрических функции многих переменных,
которые применены к исследованию краевых задач для вырождающих-
ся уравнений смешанного типа.
Исследования М. С. Салахитдинова, являющиеся крупным вкладом
в развитие теории дифференциальных и интегральных уравнений, а
также теории специальных функций и интегро-дифференцированных
операторов, вызывают интерес и находят многих последователей у нас
и далеко за пределами республики.
Усилиями М. С. Салахитдинова и его учеников в Узбекистане со-
здана большая научная школа по уравнениям в частных производных.
Под его непосредственным руководством подготовлено 38 кандидатов и
9 докторов физико-математических наук.
Махмуд Салахитдинович - автор 5 монографий, 6 учебников и 6
учебных пособий, а также 243 научных и 74 научно-популярных работ
в республиканских и международных изданиях.
В 1974 году М. С. Салахитдинову за цикл исследований в обла-
сти теории дифференциальных уравнений присуждена Государствен-
ная премия Узбекистана им. Абу Райхана Беруни, а в 1984 г. присвоено
почетное звание "Заслуженный деятель науки Узбекистана".
М. С. Салахитдинов - талантливый организатор науки в Узбеки-
стане. Возглавляя в течение многих лет Институт математики (1967-
1985 гг.), он значительно укрепил его научные позиции и потенциал,
расширил связи с ведущими математическими центрами СНГ и за рубе-
жом, активно способствовал выполнению основных функций института
как головной организации по развитию теоретической и прикладной
математики в Узбекистане. Будучи вице-президентом (1984-1985 гг.), а
затем и президентом (1988-1994 гг.) Академии наук республики Узбеки-
стан, он способствовал всемерному развитию фундаментальных иссле-
дований в различных областях науки, ускорению научно-технического
прогресса и социально-экономического развития в республике.
Плодотворную научную работу М. С. Салахитдинов постоянно сов-
мещает с большой педагогической и общественно-государственной дея-
тельностью. На посту министра высшего и среднего специального обра-
зования (1985-1988 гг.) он внес значительный вклад в развитие высшей
школы, укрепление ее кадрового потенциала. В 1980-1986 гг., 1993-1995
гг., и 2004-2011гг. он возглавлял кафедру дифференциальных уравне-

6
Академик Махмуд Салахитдинович Салахитдинов
ний Национального Университета Узбекистана, созданную по его ини-
циативе. М. С. Салахитдинов является руководителем организованно-
го им 50 лет назад республиканского семинара по дифференциальным
уравнениям, сыгравшего огромную роль в развитии этого направления.
М. С. Салахитдинов - прекрасный педагог, наставник молодых ис-
следователей, доброжелательный и в то же время очень справедливый,
требовательный и принципиальный человек. Он оказал благотворное
влияние на формирование многих математиков в республике.
За выдающиеся заслуги в развитии математической науки и выс-
шего образования в Узбекистане, плодотворную педагогическую дея-
тельность и подготовку научных кадров М. С. Салахитдинов награж-
ден Почетными Грамотами Президиума Верховного Совета Республики
Узбекистан, орденами и медалями. М. С. Салахитдинов был избран на-
родным депутатом Республики Узбекистан (1985-2000 гг.).
М. С. Салахитдинов - активный участник многих международных
научных форумов. Он принимал участие в работе Международных на-
учных и математических конгрессов в Москве (1966 г.), Ницце (Фран-
ция, 1970 г.), Варшаве (Польша, 1983 г.), Киото (Япония, 1990 г.).
М. С. Салахитдинов регулярно участвовал в конференциях и сим-
позиумах по дифференциальным уравнениям в Софии (Болгария, 1976
г, 1987 г.), Ашхабаде ( Туркменистан, 1978 г.) Самаре (Россия, 1984 г.),
Нальчике (Россия, 1986 г, 1996 г. 2003 г., 2012 г.), Новосибирске (Россия,
1992 г., 2000 г., 2007 г.), Алма-аты (Казахстан, 1991 г., 2009 г., 2006 г.),
Тбилиси (Грузия, 1986 г., 1991 г.).
Неоднократно приглашался для чтения лекций по дифференциаль-
ным уравнениям в Институт математики АН Болгарии (1976 г., 1985 г.),
Международный математический центр им. С. Банаха (Польша, 1978
г.,1983 г.). М. С. Салахитдинов был избран членом Адыгской (Черкес-
ской) Международной академии наук и членом Исламской академии
наук. В составе государственных и научных делегаций М. С. Салахит-
динов посетил Иорданию, Сирию (1973 г.), Китай (1989 г.), Индию (1987,
1990, 1991, 1992 гг.), Турцию (1991, 1992, 1994 гг.), США (1992 г.), Иран
(1992 г.), Францию (1993 г.), Чили (1993), Россию (1994, 2000, 2003, 2007,
2012 гг.).
Вся многогранная жизнь замечательного ученого с высокими чело-
веческими качествами является примером беззаветного служения нау-
ке, народу.
Свое восьмидесятилетие М. С. Салахитдинов встречает в расцвете
творческих сил.
Поздравляем Махмуда Салахитдиновича с юбилеем и желаем креп-
кого здоровья, огромных успехов в научной и педагогической деятель-
ности, семейного счастья, долгих лет плодотворной жизни.
Редколлегия журнала

Об оценках двукратных тригонометрических интегралов
7
Uzbek Mathematical
Journal, 2013,№4, pp.7-15
УДК 517.518.5
Об оценках двукратных тригонометрических
интегралов
И.А.Икромов, А.Р.Сафаров
Ushbu ishda ba’zi ko‘phad fazali trigonometrik integrallarning
invariant baholari olingan. Olingan natija [4] va [5] ishlarni
yangilaydi.
In this paper we obtain invariant estimates for trigonometrical
integrals with polynomial phases. The obtained estimates
improve results of the papers [4] and [5].
Введение. Тригонометрическим интегралом называется интеграл
вида
J =
R
n
ψ(x)e
2πif
dx.
(1)
Здесь f : R
n
−→ R, вещественнозначная функция от n переменных
x
1
, x
2
, ..., x
n
и ψ− некоторая интегрируемая функция. В данной рабо-
те мы рассмотрим оценку двукратных тригонометрических интегралов,
т.е. в нашем случае n = 2.
Пусть функция a(x) от одной переменной x имеет ограниченную
вариацию по R. Естественно определяется норма функций a(x)
a
V
= |a(∞)| + V
R
[a],
где V
R
[a] полная вариация функции a(x) по R.
Введем класс амплитудных функций A определенных в R
2
следую-
щим образом:
существует измеримая функция g которая эквивалентна амплитуд-
ной функции ψ, т.е.µ{g = ψ} = 0 (где µ− Лебегова мера в R
2
).
для любой прямой l полная вариация по R удовлетворяющая усло-
вию сужения g|
l
имеет ограниченную вариацию, т.е. V [g|
l
] ≤ C причем
C не зависит от l.
Очевидно, что носитель и интеграл (1) не зависят от выбора предста-
вителя класса амплитуд. Класс амплитуд обозначается через [ψ]. Есте-
ственно определяется норма класса [ψ] по формуле
[ψ]
A
= inf
g∈[ψ]
sup
l
{ g
l V
}.

8
И.А.Икромов, А.Р.Сафаров
Рассмотрение таких классов амплитудных функций вызвано приложе-
нием тригонометрических интегралов к задачам аналитической теории
чисел. Например, в тригонометрических интегралах вида (1) ψ совпа-
дает с характеристической функции единичного куба.
В настоящей работе мы рассмотрим инвариантные оценки триго-
нометрических интегралов. Эти оценки улучшают результаты работы
[4] и [5]. Во первых, амплитуда негладкая функция. Во вторых, мы
получим более точные оценки в частном случае, когда фазовая функция
является однородным полиномом третьей степени.
Инвариантные оценки тригонометрического интеграла
Предложение 1. Норма
·
A
инвариантна относительно группы
движений евклидовой плоскости.
Доказательство предложения 1. Через G обозначим группы движе-
ний евклидовой плоскости. Пусть f ∈ G. Тогда, действия элемента f
функции g определяется следующим образом:
f

g = g(f
−1
(x)).
Поэтому
f

g|
l
= g|
f
−1
(l)
= g|
l
1
,
где f
−1
(l) = l
1
. Следовательно
sup
l
f

g|
l
= sup
l
1
g|
l
1
отсюда
[f

ψ]
A
= [ψ]
A
.
Предложение 1 доказано.
Пусть дан однородный полином степени три от двух переменных
P
3
(x, y) = a
0
x
3
+ 3a
1
x
2
y + 3a
2
xy
2
+ a
3
y
3
.
(2)
Рассмотрим интеграл (1) и исследуем его поведение в случае, когда
f = P
3
, причем коэффициенты многочлена P
3
стремятся к бесконечно-
сти. В данной работе получим оценки тригонометрических интегралов
через инварианты группы движений евклидовой плоскости. Как извест-
но, дискриминант полинома P
3
, обозначаемый через D и определяемый
формулой:
D = 3a
2
1
a
2
2
+ 6a
0
a
1
a
2
a
3
− 4a
0
a
3
2
− 4a
3
1
a
3
− a
2
0
a
2
3
является инвариантом группы SL(2, C). Однако, если P
3
имеет кратный
линейный множитель, то D = 0. Это утверждение следует из теоремы
Гильберта о нуль формах утверждающей: если однородная форма сте-

Об оценках двукратных тригонометрических интегралов
9
пени n от двух переменных имеет линейный множитель порядка k >
n
2
,
то все инварианты группы SL(2, C) на этой форме обращаются в нуль.
Следовательно, инварианты группы SL(2, C) не достаточны для полу-
чения оптимальных оценок. Мы используем инварианты ортогональной
группы O
2
, которая является подгруппой группы движений евклидовой
плоскости.
Теорема 1. Если ψ ∈ A, то для интеграла
J =
R
2
e
2πiP
3
ψ(x, y)dxdy
(3)
справедлива следующая оценка:
|J | ≤
C ψ
A
|D|
1
6
,
где D− дискриминант полинома P
3
.
Доказательство теоремы 1. Без ограничения общности мы можем счи-
тать, что |a
0
| = max{|a
i
| , i = 0, 3}, в противном случае вращением ко-
ординатных осей можно привести общий случай к рассматриваемому.
Так как D инвариант группы SL(2, C), то интеграл и оценка не зави-
сят от выбора такой замены. Более того, согласно предложению 1 нор-
ма амплитуды инвариантна относительно группы движений евклидовой
плоскости. Представим полином в виде:
P
3
= a
0
x
3
+
3a
1
a
0
x
2
y +
3a
2
a
0
xy
2
+
a
3
a
0
y
3
.
Применяя полярную систему координат x = r cos ϕ, y = r sin ϕ полу-
чим:
J =

0

0
e
ia
0
r
3
φ(cos ϕ,sin ϕ)
rψ(r cos ϕ, r sin ϕ)drdϕ.
(4)
где φ(cos ϕ, sin ϕ) = cos
3
ϕ +
3a
1
a
0
cos
2
ϕ sin ϕ +
3a
2
a
0
cos ϕ sin
2
ϕ +
a
3
a
0
sin
3
ϕ.
Для оценки интеграла (4) нам понадобится следующий аналог лем-
мы Эрдейи.
Лемма 1. Пусть α ≥ 1, β > 0,
β
α
< 1 и ψ
0
− функция с ограничен-
ной вариацией в R
+
.
Тогда для интеграла
J =

0
e
iλr
α
r
β−1
ψ
0
(r)dr
(5)

10
И.А.Икромов, А.Р.Сафаров
справедлива следующая оценка
|J | ≤
c ψ
0 V
|λ|
β
α
.
(6)
Доказательство леммы 1. Мы используем методы доказательства лем-
мы Ван дер Корпута, использованные в [3]. Так как при λ = 0 оценка
(6) тривиальна, то мы будем считать, что |λ| > 0. Сначала в интеграле
(5) сделаем замену переменных ρ = r
β
и получим:
J :=
1
β

0
e
iλρ
α
β
ψ
0

1
β
)dρ.
Тривиальная оценка интеграла по множеству [0, λ

β
α
], дает искомую
оценку. Действительно, обозначая соответствующий интеграл через J
1
получим:
|J
1
| =
λ

β
α
0
e
iλρ
α
β
ψ
0

1
β
)dρ ≤
λ

β
α
0
ψ
0

1
β
)dρ ≤
sup
ρ∈[0,λ

β
α
]

0

1
β
)|
1
|λ|
β
α
.
Теперь рассмотрим интеграл по множеству [λ

β
α
, ∞]. Заметим, что
для любой монотонной функции f : [0, ∞] → [0, ∞] полная вариация
функции ψ
0
не превосходит полной вариации функции ψ
0
◦f. Поскольку
первая производная функции
α
β
− монотонная функция и она оценива-
ется снизу, то для интеграла J − J
1
, используя лемму Ван дер Корпута,
получим [4]:
|J − J
1
| ≤
c ψ
V
λ
α
β
λ

β
α
(
α
β
−1)

c ψ
V
λ
β
α
.
Лемма 1 доказана.
В (4) для внутреннего интеграла
J
in
:=

0
e
ia
0
r
3
φ(cos ϕ,sin ϕ)
rχ(r cos ϕ, r sin ϕ)dr,
применив лемму 1, получим:
|J
in
| ≤
c ψ
A
|a
0
φ(cos ϕ, sin ϕ)|
2
3
.

Об оценках двукратных тригонометрических интегралов
11
Следовательно, интеграл J имеет оценку:
|J | ≤
c ψ
A
|a
0
|
2
3

0

|φ(cos ϕ, sin ϕ)|
2
3
,
(7)
Пусть
J
1
:=

0

|φ(cos ϕ, sin ϕ)|
2
3
.
(8)
Введем обозначение D
0
= D
P
3
a
0
.
Лемма 2. Для интеграла (8) справедлива следующая оценка
|J
1
| ≤
c
|D
0
|
1
6
.
Рассмотрим интеграл
J (p, q) :=
b
a
dx
|x
3
+ px + q|
δ
,
(9)
где 0 < δ < 1. Следующее утверждение доказано в [9] и представляет
независимый интерес.
Предложение 2. Для интеграла (9) справедливы следующие утвер-
ждения:
1)Если
1
3
< δ <
1
2
то
|J (p, q)| ≤
c
δ
|p|
3
27
+
q
2
4
3δ−1
6
,
(10)
2)Если
1
2
< δ < 1 то
|J (p, q)| ≤
c
δ
D
δ−
1
2
1
|p|
3
27


Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling