Universiteti qoshidagi sobir rahimov akademik litseyi


Download 1.49 Mb.

bet1/13
Sana08.04.2017
Hajmi1.49 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

 

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O'RTA MAHSUS 

TA'LIM VAZIRLIGI 

MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI O’ZBEKISTON MILLIY 

UNIVERSITETI  QOSHIDAGI 

SOBIR RAHIMOV  AKADEMIK LITSEYI 

 

Tasdiqlayman 



O’quv ishlari bo’yicha  

direktor o’rinbosari 

_________Sodiqova D. 

 

 



 

 

Stereometriya bo’limi 



 

 

TOSHKENT-2010 



 

 

MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI  QOSHIDAGI 



SOBIR RAHIMOV  AKADEMIK LITSEYI 

 

Har  bir  jamiyatning  kelajagi  uning  ajralmas  qismi  bo’lganta’lim  tizimiining  qay  darajada 

rivojlanganligi  bilanbelgilanadi.Og’irijtimoiy,iqtisodiy  siyosiy  qiyinchiliklarni  yengib  o’tish  , 

taraqqiyot  yo’liga  kirgan  mamlakatimizda  ta’lim  tizimini  isloh  qilish,  unga  rivojlangan 

mamlakatlarning  ilg’or  texnologiyalarini  joriy  qilish,  milliy  qadriyatlarimizni  singdirgan  holda 

ta’limni tashkil etish, bu jarayonni puxta va samarali amajga oshirish ishlaribugungi kunda davlat 

siyosati  darajasiga  ko’tarildi.Bu  borada  1997-yil  tarixiy  hujjat  Respublikamizda  ―Ta’lim 

to’g’risida‖gi  qonun  va  ―Kadrlar  tayyorlash  milliy‖  dasturi  qabul  qilindiki  ,ular  mamlakatimizda 

uzluksiz  ta’lim  tizimini  isloh  qilishning  tashkiliy,ilmiy  va  metodik  asosi  bo’lib  ,  asosiy 

maqsadiKomil inson va yetuk , malakali  mutaxxasislar tayyorlashdir. 

―Kadrlar  tayyorlash  milliy  dasturi  ‖ning  asosiy  tarkibiy  qismlarini  shaxs  ,davlat  va  jamiyat, 

uzluksiz ta’lim , fan va ishlab chiqarish tashkil etib, ular o’zarobog’liq holda namoyon bo’ladi.

 

"Ta'lim  to'g'risida"gi  qonunni  amalga  oshirish  yo’lida  Vazirlar  Mahkamasining  qator 



qarorlari chiqarildiki, ularning har biri ta’lim sohasidagi islohatlarning muhim tomonlariga hamda 

uning mazmunini takomillashtirishga bag'ishlangan. 

Ta'lim  to’g'risidagi  islohatlarni  uzluksiz  ta'lim  darajasida  olib  borish  yo'lida  ta'lim 

sohasidagi islohatlar bosqichlariga rioya qilgan holda, hozirgi kunga kelib, ta’lim tizimining barcha 

bosqichlarida ta'limning Davlat standartlari va shu asosda o'quv-reja va dasturlar yaratildi. Hozirgi 

kunda  akademik  litsey  va  kollejlarda  ushbu  davlat  ta'lim  standartlari  bo'yicha  o

qish  olib 



borilmoqda. 

Ushbu "Ma'ruzalar matni" davlat ta'lim standartlariga ko'ra tuzilgan bo'lib, undan akademik 

litsey va kasb-hunar kollejlarida geometriya fanidan foydalanish mumkin. 

 

              Tuzuvchi: 



 

Matematika fani o’qituvchilari             D.X.Akbarova 

                                                                                                               Z.M.To’laganova 

 

 



 

 

 



 

 


 

 



Mavzu:  Stereometriya boshlang’ich tushunchalari.  Stereometriya aksiomalari 

 

Режа: 



1.

 

Fazodagi geometriya. 



2.

 

Stereometriya aksiomalari. 



3.

 

Stereometriya aksiomalaridan kelib chiqadigan teoremalar. 



4.

 

Fazoviy jismlar. 



5.

 

Fazoviy jismlarning sonli xususiyatlari. 



Biz fazodagi geometriyani o'rganishga kirishamiz. U ko

p manbalarda stereometriya deb ataladi. 



Stereometriya, ya'ni fazodagi geometriyani o'rganishni biz uning aksiomalaridan boshiaymiz: 

S

1

.  Tekislik qanday bo'lishidan qat'iy nazar, unga tegishli va unga tegishli bo'lmagan nuqtalar mavjud. 

S

2

Agar ikkita har xil tckislik umumiy nuqtaga ega bo'lsa, bu tekisliklar shu nuqtadan o'tuvchi to'g'ri 

chiziq bo’yicya  kesishadi. 

S

3

. Bitta to'g'ri chiziqda yotmagan ixtiyoriy uchta nuqtadan tekislik o'lkazish mumkin va u yagonadir. 



Yuqorida keltirilgan aksiomalar yordamida ba'zi teoremalarni isbotlaymiz. 

1 – t e o r e m a. Agar to'g’ri chiziqning ikkita nuqtasi tekislikka tegishli bo'lsa, to'g'ri chiziq shu 



tekislikda yotadi. 

I  s b o t  i. To'g'ri chiziqning  B  va C nuqtalari 

  tekislikda yotsin (1-  chizma). U holda S



1

 

aksiomaga ko'ra 



 tekislikda yotmaydigan nuqta topiladi. 

Bitta  to'g'ri  chiziqda  yotmagan  A,  B,  C  nuqtalardan,  S



aksiomaga  ko'ra,  yagona 

  tekislik 



o'tkazish  mumkin.  Modomiki,  A



  ekan, 

  va



    har  xil  tekisliklardir.  Lekin 

  va


  tekisliklar 

umumiy  C  nuqtaga  ega,  shu  sababli  S

2

  aksiomaga  ko'ra,  ular  C  nuqtadan  o'tuvchi  to'g'ri  chiziq 



bo'yicha kesishadi. Ikkinchi tomondan, 

 va



 tekisliklar umumiy nuqtaga ega, shu sababli ular 

nuqtadan  o'tuvchi  to'g'ri  chiziq  bo'ylab  kesishadi.  Shunday  qilib, 

  va



    tekisliklar  B  va  C 

nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi, lekin  va nuqtalar to'g'ri chiziqda yotadi. 

Modomiki,  ikkita  har  xil  B   v a C   nuqtadan  yagona  to'g'ri 

chiziq  o'tkazish  mumkin  ekan, 

  va



  tekisliklar  B   v a   C  nuqtalar 

yotgan  b  to'g'ri  chiziq  bo'ylab  kesishadi.  Demak,  BC  to'g'ri 

chiziqning barcha nuqtalari 

 tekislikka tegishli bo'ladi. 



Agar 

berilgan 

 va


 tekisliklar ikkita, mos ravishda, va C nuqtalardan 

o'tuvchi har xil to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesishadi, deb faraz qilsak, 

 



va

  tekisliklar  ustma-ust  tushishi  lozim,  bu  esa  yasalishiga  ko'ra 



mumkin emas. Teorema isbotlandi.                                                                                 1- chizma. 

2  –  t  e  o  r  e  m  a  .  Berilgan  to'g’ri  chiziq  va  unda  yotmagan  nuqta  orqali  yagona  tekislik 



o'tkazish mumkin. 

I s b o t i. a — berilgan to'g'ri chiziq va C unda yotmagan berilgan nuqta bo'lsin. Berilgan 

to'g'ri chiziqda (planimetriya aksiomasiga ko'ra), hech bo'lmaganda, ikkita A va nuqta topiladi. A, 

B va C nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi. S



3

 aksiomaga ko'ra, bitta to'g'ri chiziqda yotmagan 

uchta A, B va C nuqtadan yagona tekislik o'tkazish mumkin. 1- teoremaga muvofiq berilgan to'g'ri 

chiziq shu tekislikda yotadi. Teorema isbotlandi. 

3  –  t  e  o r  e  m a.  Berilgan  kesishuvchi  ikkita to'g'ri  chiziq  orqali  yagona tekislik  o'tkazish 



mumkin. 

I s b o t i. Berilgan va to'g'ri chiziqlar nuqtada kesishsin, ya'ni a



b=C va C



 a, C



bo'lsin. Planimetriya aksiomalariga ko'ra, a to'g'ri chiziqda, hech bo'lmaganda, yana bitta nuqta va 



to'g'ri chiziqda esa nuqta topiladi. Bu A, B, C nuqtalar bar xil va bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi. 

S

3



 aksiomaga ko'ra, A, B, C nuqtalar orqali yagona a tekislik o'tkazish mumkin. 1- teoremaga ko'ra 

va b to'g'ri chiziqlar a tekislikda yotadi. Teorema isbotlandi. 

 

Fazoviy  jismlar:  Stereometriyaning  eng  muhim  obyektlari  hech  qanday  tekislikda 



yotmaydigan  fazoviy  jismlar,  masalan,  shar,  sfera,  kub,  parallelepiped,  prizma,  piramida,  konus, 

silindr kabilar hisoblanadi. Geometrik jismlarning katta guruhini ko'pyoqlar tashkil qiladi.  

1.  Ko'pyoqlar.  Sirti  chekli  sondagi  ko'pburchaklardan  iborat  jism  ko'pyoq  deyiladi. 

Ko'pyoqni  chegaralovchi  ko'pburchaklar  uning  yoqlari  deyiladi.  Ko'pyoq  qo'shni  yoqlarining 

umumiy tomonlari uning qirralari deyiladi. Ko'pyoqning bitta nuqtada uchrashadigan yoqlari ko'p 

yoqli  burchak  tashkil  qiladi  va  bunday  ko'p  yoqli  burchaklarning  uchlari  ko'pyoqning  uchlari 

deyiladi. Ko'pyoqning bitta yog'ida yotmagan ixtiyoriy ikkita uchini tutashtiruvchi to'g'ri chiziqlar 

uning diagonallan deyiladi. 

O'zining  bar  bir  yog'i  tekisligining  bir  tomonida  joylashgan  ko'pyoq  qavariq  ko'pyoq  deyiladi. 

Masalan, prizma, kub, parallelepiped, piramida qavariq ko'pyoqlardir. 

Ko'pyoqning  yoqlari  soni  Y,  uchlari  soni  U  va  qirralari  soni  Q  lar  orasidagi  bog'liqlik 

quyidagi teorema orqali beriladi. 

1 – t e o r e m a (Eyler). Ixtiyoriy n yog uchun 

Y + U – Q = 2 

munosabat bajariladi. 

Quyidagi jadvaldan buni yaqqol ko'rish mumkin: 

Ko'pyoq 



U 



Q 

Tetraedr 



6 



Parallelepiped 



12 

Olti burchakli prizma 

12 


18 

O'n bir yoq 

11 

11 


20 

O'n ikki yoq 

12 

18 


28 

2 – t e o r e m a. Ko’pyoq tekis burchaklarining soni uning qirralari sonidan ikki marta ko'p. 

N a t i j a 1 a r . 1 . Ko 'pyoq tekis burchaklarining soni har doim juftdir. 

2. Agar ko 'pyoqning har bir uchida bir xil k sondagi qirralar tutashsa, 

U * k=2Q 

munosabat o 'rinli. 

3.  Agar ko'pyoqning barcha yoqlari bir xil  n tomonli ko 'pburchaklardan tashkil topgan bo'lsa, 



Y * n=2Q 

munosabat o 'rinli. 

3 – t e o r e m a. Yoqlari soni Y va qirrralari soni Q bo'lgan ko'pyoq tekis burchaklarining yiffindisi 



uchun   

360° (Y - Q)  munosabat bajariladi. 

Agar  ko'pyoq  modelini  tayyorlash  talab  qilinsa,  u  tekis  ko'pburchaklarni  —  ko'pyoqning 

yoqlarini  bir-biriga  yopishtirish  natijasida  hosil  qilinadi.  Bunda  faqat  ko'pburchaklar  majmuyiga 

ega  bo’libgina qolmasdan, qaysi ko'pburchaklarni o'zaro yopishtirish zarjjrligini ham bilish  lozim 

bo'ladi. 

 Biror  ko'pyoq  yoqlariga  teng  ko'pburchaklar  majrnuyi,  qaysi  tarafini,  mos  ravishda, 

yopishtirish kerakligi ko'rsatilgan holda, ko'pyoqning yoyilmasi deyiladi. 

Ko'pyoq  berilganda  uning  yoyilmasini  yasash  mumkin.  Teskari  masala  esa,  ya'ni  berilgan 

yoyilma bo'yicha ko'pyoqni yasash, quyidagi shartlar bajarilganda yechimga ega bo'ladi: 

1) yoyilmaning bar bir tomoniga qolgan tomonlarning faqat bittasi mos ketishi; 

2)  agar  a  va  (3  yoqlari  umumiy  A  uchga  ega  bo'lsa,  qolgan  yoqlardan  faqat  o'sha  A  uchga  ega 

bo'lganlarini tanlab olish zarur; 

3) yoqlarni bir-biriga yopishtirish ketma-ketligi ko'rsatilishi mumkin bo'lishi; 

4)  yoyilmaning  uchlari,  yoqlari  va  qirralari  soni  Eyler  tenglamasini  qanoatlantirishi,                        

ya'ni Y + U - Q = 2 shart bajarilishi; 

5) ko'pburchaklarning yopishtiriladigan tomonlari bir xil uzunliklarga ega bo'lishi; 

6) yoyilmaning har bir uchida tekis burchaklarning yig'indisi 360° dan kichik bo'lishi. 

Endi ko'pyoqlarning ba'zilarini qarab chiqamiz. 


 



Kub — barcha yoqlari kvadratlardan iborat ko'pyoqdir. Kubning yon yoqlari kesishadigan AA



1



BB

1

CC

1

DD



1

 kesmalar kubning yon qirralari, AB, BC, CD, DA, A

l

B

l

, B

1

C

1

,  C

1

D

1, 

 D

1

A

lar esa 


kub asoslarining qirralari deyiladi (2- chizma). Kubning uchta yog'i kesishadigan A, B, C, DA

1



B

1

, C

1

, D

1

 nuqtalar uning uchlari deyiladi. 

 Parallelepiped  —  barcha  yoqlari  parallelogrammlardan  iborat  ko'pyoqdir  (3-  chizma).  Yon 

yoqlari  to'g'ri  to'rtburchaklardan  iborat  parallelepiped  to'g'ri  parallelepiped,  hamma  yoqlari  to'g'ri 

to'rtburchaklardan iborat parallelepiped to'g'ri burchakli parallelepiped deyiladi. Parallelepipedning 

qirralari va uchlari tushunchalari kubniki kabidir. 

 

               2- chizma.      



 

 

 



 

         3- chizma. 

 

           4- chizma.                                                                           



 

                   5- chizma. 

      Prizma  —  asoslar  deb  ataladigan  ikki  yog'i  parallel 

tekisliklarda  yotuvchi,  qolgan  yoqlari  parallelogrammlardan  iborat 

ko'pyoqdir(4  chizma).  Yon  yoqlari  asosga  perpendikular  bo'lsa, 

prizma  to'g'ri  prizma  deyiladi.  Asoslari  muntazam  ko'pburchaklar 

bo'lib,  yon  yoqlari  to'g'ri  to'rtburchaklardan  iborat  bo'lgan  prizma 

muntazam prizma deyiladi. 

Piramida  —  asos    deb    ataladigan    bitta  yog'i  ixtiyoriy    

ko'pburchak    bo'lib, qolgan yoqlari ketma-ket, juft-juft kesishadigan 

umumiy  uchga  ega  uchburchaklar  bo'lgan  ko'pyoqdan    iborat    (5-

chizma).  Barcha  uchburchaklar  uchun  umumiy      S    nuqta          — 

piramidaning 

uchi, 

ASB, 

BSC, 

CSD, 

DSE, 

ESA                        

uchburchaklar uning yon yoqlari, ABCDE   ko'pburchak uning asosi  

6- chizma                   deyiladi. uchdan asosga tushirilgan SO perpendikular —  

                                   piramidaning  balandligi deyiladi. 

Agar piramidaning  asosi  muntazam  ko'pburchak bo'lib, piramidaning  SO balandligi asosining 

markazi  orqali  o'tsa,  piramida  muntazam  piramida  deyiladi.  Muntazam  piramida  yon  yog'ining 

balandligi uning apofemasi deyiladi. 

Agar  piramida  asosiga  parallel  tekislik  bilan  kesilsa  va  uning  ABCA



1

B

1

C

1

  qismi  qaralsa  (6- 

chizma), bu qism kesik piramida deyiladi. 



 

2.  Muntazam  ko'pyoqlar.  Agar  berilgan  ko'pyoq  qavariq  bo'lib,  uning  yon  yoqlari  o'zaro  teng 



muntazam  ko'pburchaklardan  iborat  bo'lsa  hamda  uning  har  bir  uchida  bir  xil  sondagi  yoqlar 

tutashsa va uning barcha ikki yoqli burchaklari o'zaro teng bo'lsa, u muntazam ko'pyoq deyiladi. 

Muntazam ko'pyoqlarning besh xili mavjud bo'lib, ularning har biri o'z nomiga ega. 

          

                                  

 

                        7- chizma.                                                        8- chizma. 



Tetraedr  —  barcha  yoqlari  o'zaro  teng  muntazam  uchburchaklardan  iborat  uchburchakli 

piramida. 



Kub — barcha yoqlari kvadratlardan iborat prizma. 

Oktaedr  —  barcha  sakkizta  yog'i  o'zaro  teng  muntazam  uchburchaklardan  iborat  ko'pyoqdir. 

Uni  asoslari  kvadratlardan  iborat  bo'lib,  yon  yoqlari  o'zaro  teng  muntazam  uchburchaklar  bo'lgan 

ikkita muntazam piramidani bir-biriga birlashtirish bilan yasash mumkin. 

Ikosaedr — barcha yigirmata yog'i o'zaro teng muntazam uchburchaklardan iborat ko'pyoqdir. 

Dodekaedr  —  barcha  o'n  ikkita  yog'i  o'zaro  teng  muntazam  beshburchaklardan  iborat 

ko'pyoqdir.  

3.  Aylanish  jismlari.  Biz  planimetriyada  ko'rib  o'tgan  to'g'ri  to'rtburchak,  to'g'ri  burchakli 

uchburchaklarni  bitta  tomoni  atrofida,  yarim  doirani  diametri  atrofida  aylantirishdan  hosil  bo'lgan 

jismlar aylanish jismlari deyilad. Ularning ba'zilarini qaraymiz.  

Silindr  —  tomonlari  R  va  H  bo'lgan  to'g'ri  to'rtburchakni  tomonlaridan  biri  atrofida 

aylantirishdan  hosil  bo'lgan  jismdan  iborat  (7-chizma).  Aylanishda  o'zgarmaydigan  CD=H  tomon 

silindrning  simmetriya  o'qi,  AD=R  tomon  esa  silindrning  asosida  yotuvchi  doiraning  radiusi 

bo'ladi.  Agar  silindrning  CD  simmetriya  o'qi  orqali  tekislik  o'tkazilsa,  kesimda  silindrning  o'q 

kesimi deb ataladigan to'g'ri to'rtburchak hosil bo'ladi. 

Konus  —  to'g'ri  burchakli  uchburchakni  katetlaridan  biri  atrofida  aylantirishdan  hosil 

bo'ladigan  jismdir.  Bunda  uning  atrofida  aylantirish  ro'y  beradigan  SO  —  H  katet  (8-  chizma) 



konusning  balandligi  va  aylanish  o'qi,  OA=R  katet  konus  asosining  radiusi,  AS=l  gipotenuza  esa 

konusning yasovchisi deyiladi. Agar konusning aylanish o'qi SO orqali tekislik o'tkazilsa, kesimda 

konusning o 'q kesimi deb ataladigan teng yonli ASB uchburchak hosil bo'ladi. 

                                 

 

                  9- chizma.                                                                10- chizma. 



Agar  konusning  S  uchi  orqali  konusni  kesuvchi  tekislik  o'tkazilsa,  kesimda  yana  teng  yonli 

uchburchak  hosil  qilamiz,  lekin  u  konusning  o'q  kesimi  bo'lmaydi.  Agar  konusning  asosidan  h  < 



SO masofada asosga parallel tekislik o'tkazilsa, konusning asos va bu tekislik orasidagi qismi kesik 

konus deyiladi.  

Shar  —  yarim  doiraning  diametr  atrofida  aylanishidan  hosil  bo'lgan  jismdan  iborat.  Sharni 

chegaralovchi sirt sfera deb ataladi (9- chizma). Agar shar diametrining K nuqtasi orqali diametrga 



 

perpendikular tekislik o'tkazilsa, kesimda doira hosil bo'ladi. Bu doira sharni ikkita — AKBFA va 



AKBEA  qismga  bo'ladi,  ularning  bar  biri  shar  segmenti  deyiladi.  Sharning  ikkita  AKB  va  COD 

parallel kesimi orasidagi qismi — shar qatlami deyiladi. Sferaning parallel AKB va COD kesimlar 

orasida joylashgan qismi — shar kamari deyiladi. 

Bizga  AOBCA  doiraviy  sektor  berilgan  bo'lsin  (10-  chizma).  AB  vatarga  perpendikular  OC 

radius o'tkazamiz. 



AOB teng yonli bo'lganligidan, OC bu uchburchakning medianasida yotadi. 

Doiraviy  sektorning  OC  radius  atrofida  aylanishi  natijasida  shar  sektori  deb  ataladigan  sirt 

hosil bo'ladi. 



Fazoviy  jismlarning  sonli  xususiyatlari:  Fazoviy  jisrnlaming  o'ziga  xos  xususiyatlari  ikkita 

skalar  miqdor:  l)jism  sirtining  yuzi  va  2)  jismning  hajmi  bilan  aniqlanadi.  Jism  sirtining  yuzini 

hisoblash  uni  tashkil  etuvchi  tekis  shakllar:  yon  yoqlari,  asoslari  yuzlarini  hisoblashga  keltiriladi. 

Shu sababli biz tekislikda ko'rib o'tgan yuz aksiomalarini esda saqlash foydali: 



P

l

 : har bir o'lchanuvchi tekis shaklning yuzi nomanfiy sondan iborat

P

2

:  agar  F  shakl  umumiy  nuqtaga  ega  bo'lmagan  ikkita  F  va  F

shakllarga  ajratilgan  bo'lsa, 

uning yuzi F

1

 va F

2

 shakllar yuzlarining yig'indisiga teng; 

P

3

 : teng shakllar teng yuzlarga ega; 

P

4

 : to'g'ri to'rtburchakning yuzi uning ikki qo'shni tomoni ko'paytmasiga teng. 

Fazoviy  jismlar  uchun  ikkinchi  skalar  miqdor  —  uning  hajmi  bo'lib,  u  berilgan  jism  egallab 

turgan  fazoning  sonli  qismini  ko'rsatadi.  Tekis  shaklning  yuzi  holidagi  kabi,  hajmlarni  o'lchash 

hajm aksiomalariga asoslanadi: 



V

1: 

 hap bir o'lchanayotgan F jismning hajmi nomanfiy miqdordir, V(F}



0 



V

2

:  agar  F  jismni  umumiy  nuqtalarga  ega  bo'lmagan  ikkita  F



va  F



2

  qismga  ajratish  mumkin 

bo'lsa, jismning hajmi  uni tashkil etuvchi  F



1

 va F

2

 jismlar hajmlari yig'indisiga teng: 

V(F)= V(F

1

) + V(F

2

) 

V

3

 : teng jismlar teng hajmlarga ega;  



V

4

 

:



 to'g'ri silindrning hajmi uning asosining yuzi bilan balandligi ko'paytmasiga teng. 

 

Mustahkamlash  uchun savol va topshiriqlar: 

 

1Nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik, fazolarni geometrik shakl (jism) deyish mumkinmi? 



2. Aylana, kesma, konus, burchak, kublarning qaysilari tekis shakllardan iborat? 

3.  Berilgan  l  to'g'ri  chiziq  va  a  tekislik  P  nuqtada  kesishadi.  l  to'g'ri  chiziqning  nechta  nuqtasi 

 

tekislikka tegishli bo'ladi? 



4. nuqta berilgan to'g'ri chiziq va berilgan a tekislikka ham tegishli bo'lsa, to'g'ri chiziq va 

 



tekislik o'zaro qanday joylashadi? 

5. Agar to'g'ri chiziq 

 tekislikka, to'g'ri chiziq 



 tekislikka tegishli bo'lsa, bu to'g'ri chiziqlar 

bitta tekislikda yotmaydi deyish mumkinmi?  

 

 



Foydalanilgan adabiyotlar

  

 



[1]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- I qism Toshkent ―O’qituvchi‖   2004 yil 

[2]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- II qism Toshkent ―O’qituvchi‖   2004 yil 

[3]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriyadan masalalar to’plami‖   - Toshkent ―O’qituvchi‖  2001 yil 

[4]- A.V.Pogorelov ―Geometriya‖   - 7-11 sinflar uchun Toshkent ―O’qituvchi‖  2001 yil 



 

 



Mavzu: FAZODA IKKI TO'G'RI CHIZIQNI O’ZARO JOYLASHISHI: KESISHUVCHI VA 

  

PARALLEL  TEKISLIKLAR. IKKI TEKISLIKNING PARALLELLIK ALOMATI.



 

 

 



 

Reja: 


 

1.

 



Fazodagi parallel to'g'ri chiziqlar 

2.

 



Parallel to'g'ri chiziq va tekislik 

3.

 



Parallel tekisliklar 

4.

 



To'g'ri chiziqlarning parallellik alomati 

5.

 



To'g'ri chiziq va tekislikning paralellik alomati 

6.

 



Ikki tekislikning parallellik alomati 

 

 



1-  t  a'  r  i  f.  Fazodagi  ikkita  a  va  b  to  'g'ri  chiziq  bir  tekislikda  yotsa  va  kesishmasa,  ular 

parallel to’g'ri chiziqlar deyiladi. 

a  va  b  to'g'ri  chiziqlarning  parallelligi  a  //  b  kabi  yoziladi.  Tekislikda  bo'lgani  kabi,  fazoda 

quyidagi teorema o'rinli. 

1 – t e o r e m a. Fazoning berilgan to'g'ri chiziqda yotmagan nuqtasidan shu to'g'ri chiziqqa 

parallel yagona to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. 

I s b o t i. a — berilgan to'g'ri chiziq va M— bu to'g'ri chiziqda yotmagan nuqta bo'lsin (13 – 

chizma).  a  to'g'ri  chiziq  va  M  nuqta  orqali 

  tekislik  o'tkazamiz.  So'ngra   



  tekislikda  M  nuqta 

orqali to'g'ri chiziqqa parallel a

1

 to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Ular uchun tekislikdagi barcha xulosalar 

o'rinli.  Jumladan,  berilgan  M  nuqta  orqali  berilgan  to'g'ri  chiziqqa  parallel  yagona  to'g'ri  chiziq 

o'tkazish  mumkin.  Haqiqatan,  agar  berilgan  M  nuqta  orqali  va  a  to'g'ri  chiziqqa  parallel  ravishda 

o'tkazilgan  boshqa  a



to'g'ri  chiziq  mavjud  deb  faraz  qilsak,  a  va  a



2

  to'g'ri  chiziqlar  orqali 



tekislik o'tkazish mumkin. Ikkinchi tomondan,  

, tekislik to'g'ri chiziq va M nuqta orqali o'tadi, 



demak, avvalgi bobda isbotlanganiga ko'ra, u  

 tekislik bilan ustma-ust tushadi. Bundan, parallel 



to'g'ri  chiziqlar  aksiomasi  bo'yicha  a

1

  va  a



2

  to'g'ri  chiziqlarning  ustma-ust  tushishi  kelib  chiqadi. 

Teorema isbotlandi. 

Bizga   

  tekislik  hamda  ikkita  a  va  b  to'g'ri  chiziqlar  berilgan  bo'lsin.  a  to'g'ri  chiziq   



 

tekislik bilan nuqtada kesishsin, to'g'ri chiziq esa  



 tekislikda yotsin, lekin u  nuqta orqali 

o'tmasin (14  – chizma). a va b to'g'ri chiziqlar orqali tekislik o'tkazish mumkin emas, chunki, aks 

holda, to'g'ri chiziq va nuqta orqali ikkita har xil tekisliklar o'tkazish mumkin bo'ladi: ulardan  

                                         

 

        13- chizma.                                                             14 – chizma.  



biri  —  a  to'g'ri  chiziqni  kesib  o'tuvchi   

  tekislik  bo'lsa,  ikkinchisi  esa  a  to'g'ri  chiziq  unda 



yotadigan tekislikdir. Sunday bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib, fazodagi to'g'ri chiziqlar uch xil 

bo'lishi mumkin: 

1. Kesishuvchi to'g'ri chiziqlar. 

2. Parallel to'g'ri chiziqlar. 

3. Parallel bo'lmagan va kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar. 

2-ta'rif. Fazodagi o'zaro parallel bo'lmagan va kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar ayqash to’g’ri 



chiziqlar deyiladi. 

2  –  t  e  o  r  e  m  a  (to'g'ri  chiziqlarning  parallellik  alomati).  Uchinchi  to’g’ri  chiziqqa  parallel 



ikkita to’g’ri chiziq o'zaro paralleldir. 

 

I s b o t i. Faraz qilaylik,  



b

a

 va  

c

b  bo'lsin.  

c

a

 bo'lishini isbotlaymiz. va to'g'ri chiziqlar 

o'zaro  kesishmaydi,  chunki,  aks  holda,  a  va  c  to'g'ri  chiziqlarning  kesishish  nuqtasi  orqali  bitta  

to'g'ri  chiziqning  o'ziga  parallel  ikkita  har  xil  a  va  c  to'g'ri  chiziq  o'tishi  kerak  edi,  lekin  bunday 

bo'lishi mumkin emas. 



va to'g'ri chiziqlar ayqash bo'lsin, deb faraz qilaylik. Parallel va to'g'ri chiziqlar orqali 

 



tekislik, parallel va to'g'ri chiziqlar orqali esa  

 tekislik o'tkazamiz (15-chizma). 



a  to'g'ri  chiziq  va  c  to'g'ri  chiziqning  biror  C  nuqtasi  orqali 

  tekislik  o'tkazamiz.   



  va 


 

tekisliklarning  kesishish  chizig'i  m  to'g'ri  chiziq  bo'lsin.  U  holda  b,  c,  m  to'g'ri  chiziqlar  bitta  a 



tekislikda yotadi, bunda c\\b bo'ladi. Shu sababli to'g'ri chiziq bilan kesishuvchi  to'g'ri chiziq, 

unga  parallel  b  to'g'ri  chiziqni  biror  P  nuqtada  kesib  o'tishi  lozim.  m  va  b  to'g'ri  chiziqlar,  mos 

ravishda,  

 va 



 tekisliklarda yotadi. Shu sababli ular uchun umumiy P nuqta ularning kesishish 

chizig'i bo'lgan to'g'ri chiziqda yotadi. Lekin bunda va to'g'ri chiziqlar, teoremaning shartiga 

zid ravishda, umumiy nuqtaga ega bo'ladi. 

Demak, va to'g'ri chiziqlar kesishuvchi ham, ayqash ham bo'lishi mumkin emas, ular faqat 

parallel bo'ladi, ya'ni a // c . Teorema isbotlandi. 

Bitta  to'g'ri  chiziqda  yoki  parallel  to'g'ri  chiziqlarda  yotuvchi  ikkita  va  undan  ko'p  kesmalar 

o'zaro parallel deyiladi. 

M a s a 1 a . Agar ikki parallel to'g'ri chiziqning biri tekislikni kesib o'tsa, ikkinchisi ham shu 

tekislikni kesib o'tadi.  

                      

 

                           15-chizma.                                                             16- chizma. 



 

Y c c h i 1 i s h i.  



b

a

 bo

lib, to'g'ri chiziq  



 tekislikni nuqtada kesib o'tsin (16- chizma). 

Ikkita parallel a va to'g'ri chiziq orqali yagona 

 tekislik o'tkazish mumkin. 



 va  


 tekisliklar 

umumiy A nuqtaga ega, shu sababli ular, S

2

 aksiomaga binoan, to'g'ri chiziq bo'yicha kesishadi.

 



tekislikda  c  to'g'ri  chiziq  parallel  to'g'ri  chiziqlardan  birini  —  a  to'g'ri  chiziqni  A  nuqtada  kesib 

o'tadi. Demak, to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqni ham nuqtada kesib o'tadi. 

Modomiki,  AB  to'g'ri  chiziqning  A  va  S  nuqtalari   

  tekislikda  yotgan  ekan,  AB  to'g'ri 



chiziqning  o'zi  ham   

  tekislikda  yotadi.  Shuningdek,  B  nuqta  b  to'g'ri  chiziqqa  tegishli 



bo'lganligidan, to'g'ri chiziq, haqiqatan ham,  

 tekislikni nuqtada kesib o'tadi. 



3 – t a ' r i f.  Agar a to'g'ri chiziq va  



 tekislik cheksiz davom ettirilganda ham kesishmasa, 



ular parallel deyiladi. 

to'g'ri chiziq va  

 tekislikning parallelligi  





a

 kabi belgilanadi.  

3 – t e o r e m a (to'g'ri chiziq va tekislikning paralellik alomati). Agar to'g'ri chiziq tekislikda 



yotgan biror to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, u tekislikning o'ziga ham parallel bo'ladi. 

I s b o t i. Teoremaning shartiga ko'ra AB



CD, CD 



(17-chizma). Shu sababli AB va CD 

to'g'ri chiziqlar orqali  

 tekislik o'tkazish mumkin. U holda 





 = CD bo'ladi hamda  

 va  



 

tekisliklarning  barcha  umumiy  nuqtalari  CD  to'g'ri  chiziqda  yotadi.  AB  to'g'ri  chiziq   



  tekislik 

bilan  qandaydir  P  nuqtada  kesishadi,  deb  faraz  qilaylik.  AB  to'g'ri  chiziq   

  tekislikda 



yotganligidan,  P  nuqta

  tekislikka  tegishli  bo'ladi.  Ikkinchi  tomondan,  P  nuqta   



  tekislikka 

tegishli. P nuqta  

 va  



 tekisliklarga tegishli bo'lganligidan, u tekisliklarning kesishish chizig'i 

— CD to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lishi kerak. Shunday qilib, AB va CD to'g'ri chiziqlar umumiy 

nuqtaga ega, ya'ni ular kesishadi. Bu esa teoremaning shartiga zid. Bundan farazimizning noto'g'ri 



 

10 


ekanligi  kelib  chiqadi.  Demak,  AB  to'g'ri  chiziq   

  tekislik  bilan  kesishmaydi,  ya'ni  ular  parallel 



bo'ladi.  

4 – t e o r e m a. Agar  

 tekislik (18 – chizma) boshqa  



 tekislikka parallel AB to'g'ri chiziq 



orqali  o'tib,  shu   

  tekislikni  kesib  o'tsa,  kesishish  chizig’i  berilgan  AB  to'g'ri    chiziqqa  parallel 



bo'ladi. 

          

          

 

            17- chizma.                                     18- chizma.                                   19 – chizma. 

 

I s b o t i. Modomiki, AB va CD to'g'ri chiziqlar bitta  



 tekislikda yotgan ekan, parallel to'g'ri 

chiziqlar uchun birinchi shart bajariladi. AB va CD to'g'ri chiziqlar kesishmaydi, chunki, aks holda, 

AB  to'g'ri  chiziq  CD  bilan  kesishgach,  u   

  tekislik  bilan  kesishishi  lozim.  Shartga  ko'ra  esa  AB 



to'g'ri  chiziq  va   

  tekislik  kesishmaydi.  Demak,  farazimiz  noto'g'ri,  shunday  qilib,  AB\\  CD. 



Teorema isbotlandi. 

N a t i j a . Agar a to 'g'ri chiziq kesishuvchi  

 va  



 tekisliklarning har biriga parallel bo'Isa 

(19 – chizma), u tekisliklarning kesishish chizig'i b ga ham parallel bo'ladi, ya 'ni a ||  

||  



,  




b munosabatlardan a\\b bo'lishi kelib chiqadi. 

4-  t  a'  r  i  f.  Agar  ikkita  tekislik  cheksiz  davom  ettirilganda  ham  kesishmasa,  ular  parallel 



tekisliklar deyiladi. 

– t e o r e m a (ikki tekislikning parallellik alomati). Agar  

 tekislikdagi ikkita kesishuvchi 



AB va AC to'g'ri chiziqlar  

 tekislikdagi ikkita kesishuvchi A



1

B

1

 va A

1

C

1

 to'g'ri chiziqlarga, mos 

ravishda, parallel bo'Isa, tekisliklar ham o'zaro parallel bo'ladi (20 – chizma). 

           I  s  b  o  t  i.  Modomiki,  AC\\  A



1

C

1

,  A

1

C

1

   



 

ekan,  AC\\  P  bo'ladi.  Shunga  o'xshash,  AB||

,  A



t

C

t

\\ 

,  A1B1





  bo'ladi.  Isbotni  teskarisini  faraz  qilish 

yo'li bilan o'tkazamiz.  

 va  


 tekisliklar DE to'g'ri 

chiziq  bo'ylab  kesishsin,  deb  faraz  qilamiz.  U  holda 

yuqorida isbotlangan teoremaga muvofiq, tekisliklar 

 kesishgan DE to'g'ri chiziq bir vaqtning o'zida bitta A                                

                   20 – chizma.                                 nuqta orqali o'tuvchi ikkita AB va AC to'g'ri chiziqqa 

parallel  bo'ladi.  Bunday  bo'lishi  mumkin  emas  va  demak,  farazimiz  noto'g'ri.  Bundan   

  ||   



 

ekani kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. 



               

                                 

 

                        21- chizma.                                                            22- chizma. 



 

 

11 


Endi parallel tekisliklarning xossalarini qaraymiz.  

6 – t e o r e m a. Agar ikkita parallel  

 va  



 tekislik uchinchi  

 tekislik bilan kesishsa, ularning 



kesishish chiziqlari parallel bo'ladi(21 - chizma). 

I  s  b  o  t  i.   

  va   


  tekisliklar   

  tekislik  bilan  a  va  b  to'g'ri  chiziqlar  bo'yicha  kesishsin. 



Demak, va to'g'ri chiziqlar bitta  

 tekislikda yotadi, lekin ular kesishmaydi, chunki aks holda,  



  va   


  tekisliklar  kesishishi  lozim  bo'ladi,  bu  esa  shartga  ziddir.  Shunday  qilib,  a  va  b  to'g'ri 

chiziqlar bitta tekislikda yotadi va kesishmaydi, demak, || ekan. Teorema isbotlandi. 

7 – t e o r e m a. Parallel to'g'ri chiziqlarning parallel tekisliklar orasida joylashgan kesmalari 



teng bo'ladi. 

I s b o t i.  

 va  


 — parallel tekisliklar hamda AA



l

 va BB

1

 —  

 va 



 tekisliklar orasida 

joylashgan parallel kesmalar bo'lsin (22-chizma). Kesmalarning va uchlari  

 tekislikda, A



1

 va 


B

1

 uchlari esa  



 tekislikda yotadi. Parallel AA



1

 va BB



1

 to'g'ri chiziqlar orqali,  

 va  



 tekisliklar 

bilan AB va A

1

B

1

 to'g'ri chiziqlar bo'yicha kesishadigan  

 tekislik o'tkazamiz (6- teorema). U holda 



AA

1

BB

to'rtburchak — parallelogramm bo'ladi va shu sababli AA



1

 = BB

1. 

Teorema isbotlandi. 

8-  t  e  o  r  e  m  a.  Agar  to’g’ri  chiziq  parallel   

  va   



  tekisliklarning  biriga  perpendikular 



bo'lsa, ularning ikkinchisiga ham perpendikular bo’ladi.   

I s b o t i. BB



1

 to'g'ri chiziq orqali parallel tekisliklarni parallel BC\\ B

1

C

1

 CD 

C

1

D

1

 to'g'ri 

chiziqlar  bo'yicha  kesadigan  ikkita  har  xil  P  va  Q  tekislik  o'tkazamiz  (23-chizma).  Shartga  ko'ra 

BB

1

  



, shu sababdan BB

1

  

 BC va BB



1

  

 BD bo'ladi. U holda BB



to'g'ri chiziq B



1

C

1

 va B



1

D

1

 

to'g'ri  chiziqlarga  ham  perpendikular  bo'ladi.  To'g'ri  chiziq  va  tekislikning  perpendikularlik 

alomatiga ko'ra, BB

1

 



  bo'lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. 

          

                        

 

                         23- chizma.                                                          24 - chizma. 



9 – t e o r e m a (teskari teorema). Agar ikki tekislik bitta to’g'ri chiziqqa perpendikular bo'lsa, 

ular o’zaro parallel bo'ladi. 

I s b o t i.  



,



 tekisliklar berilgan va AB  



AB 



 bo'lsin (24  - chizma). Teskarisini 

faraz  qilamiz,  ya'ni   

  va   


  teki sliklar  kesishsin.  AB  to'g'ri  chiziq  va   

  ,   


  tekisliklar 

kesishish chizig'ining ixtiyoriy nuqtasi orqali  

 tekislik o'tkazamiz.  



 tekislik  

 tekislikni AC 



to'g'ri  chiziq  bo'yicha,   

  tekislikni  esa  BC  to'g'ri  chiziq  bo'yicha  kesib  o'tadi.  AB 



 



bo'lganligidan,  AB 



    AC  bo'ladi.  Shunday  qilib,   

  tekislikda  C  nuqtadan  AB  to'g'ri  chiziqqa 



ikkita  CA  va  CB  perpendikularlar  o'tkazildi,  bunday  bo  lishi  mumkin  emas.  Demak,   

  va   



 

tekisliklar parallel. Teorema isbotlandi. 



 

Mustahkamlash  uchun savol va topshiriqlar: 

1. Fazoda qanday to'g'ri chiziqlar parallel deyiladi? 

2. Fazoda qanday to'g'ri chiziqlar ayqash deyiladi? 

3. Fazoda to'g'ri chiziqlarning parallellik alomati. 

4. Tekislikka parallel to'g'ri chiziqning ta'rifi. 

5. To'g'ri chiziq va tekislikning parallellik alomati. 

6. Ikki tekislik qachon parallel deyiladi? 

7. Tekisliklarning parallellik alomati. 

8. Parallel tekisliklar orasida joylashgan parallel to'g'ri chiziqlarning xossasi. 

9. Parallel tekisliklardan birini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziqning xossasi. 



 

12 


10. Parallel to'g'ri chiziqlardan birini kesib o'tuvchi tekislikning xossasi. 

 

Mustaqil yechish uchun masalalar 



1. SABCD to'rtburcha muntazam piramida berilgan. Piramida asosining markazi orqali SB qirraga 

parallel  to'g'ri  chiziq  o'tkazilgan.  Agar  piramida  yon  qirrasining  uzunligi  18  sm  ga  teng  bo'lsa, 

to'g'ri chiziqning piramida ichida yotgan OK kesmasi uzunligini toping. 

J a v o b: 9 sm. 

2.  ―a‖  to'g'ri  chiziq   

  tekislikda  yotadi,  ―b‖  to'g'ri  chiziq  esa  ―а‖  to'g'ri  chiziqqa  parallel.  ―b‖ 



to'g'ri chiziq  

 tekislikni kesib o'tadimi? 



J a v o b: yo'q. 

3.  AB  kesmaning  A  nuqtasi   

  tekislikda  yotadi.  AB  kesmaning  B  uchi  va  C  nuqtasi  orqali   



 

tekislikni  B



1

  va  C

1

  nuqtalarda  kesib  o'tuvchi,  o'zaro  parallel  bo'lgan  BB



1

  va  CC

1

  to'g'ri  chiziqlar 

o'tkazilgan. Agar AB:AC =5:3 kabi va BB=25 sm bo'lsa, CC

1

 kesmaning uzunligini toping. 

J a v o b: 15 sm. 

4.  AB  kesmaning  A  nuqtasi   

  tekislikda  yotadi.  Bu  kesmaning  B  nuqtasi   



  tekislikdan  15  sm 

masofada  joylashgan.  AB  kesmada  C  nuqta  shunday  olinganki,  AC—12  sm,  AB—18  sm.  C 

nuqtadan  

 tekislikkacha bo'lgan masofani toping. 



J a v o b: 10 sm. 

5. 


 tekislik ABC uchburchakning AB tomoniga parallel va AC tomonini A



l

 nuqtada, BC tomonini 

B

1

 nuqtada kesib o'tadi. Agar AB=22 sm, AA

1

 : A

1

C= 8 : 3 kabi bo'lsa, A

1

B

1

 kesmaning uzunligini 

toping. 


J a v o b: 6 sm. 

6.    ABCD  parallelogramm  va  uni  kesib  o'tmaydigan   

  tekislik  berilgan.  Parallelogrammning 



uchlaridan   

  tekislikni,  mos  ravishda,  A



1

B

1

C

1

D

1

  nuqtalarda  kesib  o'tuvchi  o'zaro  parallel  to'g'ri 

chiziqlar o'tkazilgan. Agar BB

1

 = 8 sm, CC



1

 = 11 sm, DD



1

 =18 sm bo'lsa, AA

1

 kesmaning uzunligini 

toping. 


J a v o b: 15 sm. 

 

Foydalanilgan adabiyotlar



  

 

 



[1]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- I qism Toshkent ―O’qituvchi‖   2004 yil 

[2]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- II qism Toshkent ―O’qituvchi‖   2004 yil 

[3]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriyadan masalalar to’plami‖   - Toshkent ―O’qituvchi‖  2001 yil 

[4]- A.V.Pogorelov ―Geometriya‖   - 7-11 sinflar uchun Toshkent ―O’qituvchi‖  2001 yil 

 

 

 



 

13 


  

TO'G'RI CHIZIQ VA TEKISLIKNING O'ZARO JOYLASHISHI:KESISHUVCHI TO’G’RI 

CHIZIQ VA TEKISLIKLAR. TO’G’RI CHIZIQ VA TEKISLIKLARNING 

PERPENDIKULYARLIK ALOMATLARI. 

 

 

Reja: 



1.

 

To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro perpendikularligi 



2.

 

To'g'ri chiziq va tekislikning perpendikularlik alomati 



3.

 

P nuqtadan  

 tekislikkacha bo'lgan masofa 



4.

 

Uch perpendikular haqida 



5.

 

Perpendikular tekisliklar 



6.

 

Ikki tekislikning perpendikularlik alomati 



 

1 – t a' r i f. Agar fazoda berilgan ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak 90° ga teng bo'lsa, ular 



o'zaro perpendikular to'g'ri chiziqlar deyiladi. 

a va b to'g'ri chiziqlarning perpendikularligi a



 



ko'rinishda yoziladi. Ta'rifdan perpendikular 

to'g'ri chiziqlarning o'zaro kesishuvchan, shuningdek, ayqash bo'lishi ham kelib chiqadi. 

2 – t a' r i f. Agar a to'g'ri chiziq,  



 tekislikdagi, u bitan kesishish nuqtasi A orqali o'tuvchi 



ixtiyoriy to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lsa, a to'g'ri chiziq  

 tekislikka perpendikular deyiladi. 



(25- chizma). 

1 – t e o r e m a (to'g'ri chiziq va tekislikning perpendikularlik alomati). Agar a to'g'ri chiziq, 



uning  

 tekislik bilan kesishish nuqtasi orqali o'tuvchi ikkita to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lsa, 



a to'g'ri chiziq  

 tekislikning o'ziga ham perpendikular bo'ladi. 



I  s  b  o  t  i.  a  to'g'ri  chiziqning   

  tekislik  bilan  kesishish  nuqtasi  A  orqali  a  to'g'ri  chiziqqa 



perpendikular  bo'lgan  ikkita  AB  va  AC  to'g'ri  chiziqlar  o'tkazilgan  bo'lsin  (26-  chizma).  a  to'g'ri 

chiziq  


 tekislikdagi nuqta orqali o'tuvchi yana bitta AD to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lishini 

isbotlash lozim bo'ladi. 

 tekislikda AB va AC to'g'ri chiziqlarni, masalan, B va nuqtalarda kesib o'tuvchi EC to'g'ri 



chiziq o'tkazamiz, u AD to'g'ri chiziq bilan nuqtada kesishadi. 

a  to'g'ri  chiziqdagi  A  nuqtaning  har  xil  tomonlarida  o'zaro  teng  AA

1

=AA

2

  kesmalarni 

joylashtiramiz. So'ngra A



1

 va A

nuqtalarni B, C va D nuqtalar bilan tutashtiramiz. Natijada, ikkita  

              

                       

 

                           25- chizma. 



26 – chizma 

teng  yonli  A



1

A

2

B  va  A

1

A

2

C  uchburchaklarni  hosil  qilamiz:  teng  proyeksiyalarga  ega  og'malar 

sifatida, A



1

B= A

2

va A

1

A

2

C. U holda tomonlari teng uchburchaklar sifatida,  



A



1

BC=



A



2

BC 

bo'ladi,  Bundan, 



A

1

CB=



A



2

CB  bo'lishi  kelib  chiqadi.  Endi 



A



1

CD  va 



A



2

CD  larni 

taqqoslaymiz.  Ularda  CD  —  umumiy  tomon,  A



1

C  —  A

2

C  hamda   



A



1

CD  =



A



2

СD  ,  shuning 

uchun  ular  ikki  tomoni  va  ular  orasidagi  burchagi  bo'yicha  o'zaro  teng.  Bundan  A



1

D  =  A

2

bo’lishini olamiz. Uchta tomonlari bo'yicha 



A

1

AD= 



A



2

AD bo'ladi. Bundan  



A



1

AD=  



A



2

AD 

bo'lishi kelib chiqadi. Bu burchaklar — qo'shni burchaklar bo'lganligidan, ularning bar biri 90° ga 

teng, ya'ni A

1

A

2



AD. Teorema isbotlandi.  

3 – t  a' r i f. Tekislikni kesib o'tib, unga perpendikular bo 'Imagan to'g ri chiziq, bu tekislikka 

og’ma deyiladi. 

Berilgan  A  nuqtadan   

  tekislikka  AB  perpendikular  va  AC  og'ma  o'tkazilgan  bo'lsin  (27  – 



chizma).  Peipendikular  va  og'malar  tekislikni  kesib  o'tadigan  B  va  C  nuqtalarni  tutashtirib,  a 

 

14 


tekislikka  AC  og'maning  proyeksiyasi  deb  ataladigan  BC  kesmani  hosil  qilamiz  va  quyidagicha 

yozamiz: 

 

 

pr



AC = BC


 

2  –  t  e  o  r  e  m  a.  Agar   

  tekislikdan  tashqarida  yotuvchi  P  nuqtadan  bu  tekislikka  PA 



perpendikular va PB, PC,... og’malar o’tkazilgan bo'lsa; 

1) proyeksiyalari teng og’malar teng bo'ladi; 

2) ikkita og’madan qaysi birining proyeksiyasi katta bo'lsa, o'sha og'ma katta bo'ladi. 

I s b o t i. Agar barcha uchburchaklar tekisliklarini  

PAB tekisligining ustiga yotqizsak (28 –



chizma),  fazodagi  teorema  planimetriyadagi  teoremaga  keltiriladi.  U  holda  barcha  og'malarning 

proyeksiyalari  bitta  AD  to'g'ri  chiziqda  yotadi.  Planimetriyada  isbotlangan  teorema  bo'yicha  AD> 



AB> AC dan PD> PB PC bo'lishi kelib chiqadi. 

         

                       

 

                           27- chizma.                                                              28 - chizma. 



I  z  o  h.  PA  –  to'g'ri  burchakli  uchburchakning  kateti,  PD,  PB,  PC,...  gipotenuzalardan  iborat 

(29-chizma), shuning uchun PA kesmaning uzunligi shu nuqtadan o'tkazilgan ixtiyoriy og'maning 

uzunligidan kichik bo'ladi. 

4-  t  a'  r  i  f.  P  nuqtadan   

  tekislikkacha  bo'lgan  masofa  deb,  P  nuqtadan   



  tekislikka 



o'tkazilgan perpendikularning uzunligiga aytiladi. 

P(x

0

; y

0

; z

0

)

 

nuqtadan  

 : Ax By Cz + D = 0 tekislikkacha bo'lgan masofa  



2

2

2



0

0

0



C

B

A

D

Cz

By

Ax

d





  kabi yoziladi. 

Planimetriyadagi kabi, teskari tasdiqlar ham bajariladi. 

3 – t  e o r e m a (teskari teorema). Agar berilgan P nuqtadan  

 tekislikka PA perpendikular 



va PB, PC, ... og’malar o'tkazilgan bo'lsa; 

1) teng og’malar teng proyeksiyalarga ega bo’ladi; 

2) ikkita proyeksiyadan qaysi biri katta og’maga mos kelsa, o’sha proyeksiya katta bo'ladi. 

4  –  t  e  o  r  e  m  a  (uch  perpendikular  haqida).  Tekislikda  og’maning  asosi  orqali  uning 



proyeksiyasiga  perpendikular  ravishda  o’tkazilgan  to'g’ri  chiziq  og’maning  o'ziga  ham 

perpendikular bo'ladi. 

I  s  b  o  t  i.  Berilgan   

  tekislikka  PA  perpendikular  va  PB  og'ma  o'tkazilgan  bo'lsin  (30-



chizma).  A  va  B  nuqtalarni  tutashtirib,  PB  og'maninga  tekislikka  AB  proyeksiyasini  olamiz.  

nuqtadan   

  tekislikka  AB  ga  perpendikular  CD  to'g'ri  chiziq  o'tkazamiz  va  CD 





PB  bo'lishini 

isbotlaymiz. 

CD  to'g'ri  chiziqda  ixtiyoriy,  o'zaro  teng  BC=  BD  kesmalarni  joylashtiramiz.  U  holda,  o'zaro 

teng  AC  =  AD  proyeksiyalarga  ega  bo'lgan  fazodagi  og'malar  sifatida,  PC=  PD  bo'ladi.  Endi  

PCD teng yonli uchburchak bo'ladi va shuning uchun uning PB medianasi balandlik ham bo'ladi, 



ya'ni PB 



CD. Teorema isbotlandi. 

         

                           

 

                            29 - chizma.                                                         30 - chizma. 



Yuqoridagi chizmadan foydalanib, isbotlangan tasdiqqa teskari teoremani ham isbotlash mumkin. 

 

15 


5  –  t  e  o  r  e  m  a  (teskari  teorema).  Tekislikda  PB  og’maning  asosi  orqali  og’maga 

perpendikular  ravishda  o'tkazilgan  CD  to'g’ri  chiziq  og’maning  AB  proyeksiyasiga  ham 

perpendikular bo'ladi. 

Isbotini mustaqil ravishda amalga oshirish tavsiya qilinadi. 

Endi  to'g'ri  chiziqlar  hamda  tekisliklarning  parallelligi  va  perpendikularligi  orasidagi 

bog'lanishni ifodalovchi ba'zi tasdiqlarni qaraymiz. 

6  –  t  e  o  r  e  m  a.  Agar   

  tekislik  o’zaro  parallel  AB,  A



1

B



to'g'ri  chiziqlarning  bittasiga 

perpendikular bo'lsa, u to'g'ri chiziqlarnirig ikkinchisiga ham perpendikular bo'ladi. 

I s b o t i.  

 tekislik va AB 



1

1

B



A

berilgan hamda AB 



  bo'lsin (31-chizma).



 tekislikda 



nuqta orqali ikkita BC va BD to'g'ri chiziqlarni o'tkazamiz.  

 tekislikda B



1

 nuqta orqali B

1

C

1

\\ 

BC, B

1

D



BD to'g'ri chiziqlarni o'tkazamiz. Shartga ko'ra, AB



 bo'lgandan, AB



BC, AB



BD 

bo'ladi.  U  holda,  mos  tomonlari  parallel  burchaklar  sifatida,   



A

1

B

1

C

1

  =   



ABC,   



A

1

B

1

D

1

  =  



ABD bo'ladi. To'g'ri chiziq va tekisliklarning perpendikularlik alomatidan (1- teorema), A



1

B

1



 

bo'lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. 

7  –  t    e  o  r  e  m  a  (teskari  teorema).  Agar  ikkita  (AB  va  A

1

B

1

)  to'gri  chiziq  bitta  tekislikka 

perpendikular bo'lsa, ular o'zaro parallel bo'ladi. 

I s b o t i. Teskarisini faraz qilish yo'lini tutamiz.  AB



, A



1

B

1



lekin A

1

B

1

 to'g'ri chiziq 

AB  to'g'ri  chiziqqa  parallel  bo'lmasin  (32-chizma).  B

1

  nuqta  orqali  B



1

C

1

\\BA  to'g'ri  chiziqni 

o'tkazamiz. Yuqorida isbotlangan teoremadan B



1

C

1



 

 bo'lishi kelib chiqadi. Kesishuvchi B



1

A

1

 va 

B

1

C

1

  to'g'ri  chiziqlar  orqali 

  tekislikni  o'tkazamiz.  Bunda 



  va


  tekisliklarning  kesishish 

chizig'i  B

1

D

1   

boladi.  B



1

A

1



,  B

1

C



1



  bo'lganligidan,  B

1

A

1



B



1

D

va  B



1

C

1



B



1

D

bo'ladi. 

Shunday qilib, B

1

  nuqtadan bitta, B

1

D

1

 to'g'ri chiziqqa ikkita perpendikular o'tkazilganligini olamiz 

               

                      

 

                          31- chizma.                                                         32- chizma. 



Bunday bolishi mumkin emas, demak, farazimiz noto'g'ri va B

1

A

1

BA bo'ladi. Teorema isbotlandi. 

6  –  t  a'  r  i  f.  Agar  ikkita  tekislik  o'zaro  kesishganda  ikki  yoqli  burchak  hosil  qiisa,  ular 



o'zaro perpendikular tekisliklar deyiladi. 

8  –  t  e  o  r  e  m  a  (ikki  tekislikning  perpendikularlik  alomati).  Agar  a  tekislik  boshqa 



 

tekislikka  perpendikular  bo'lgan  AB  to'g'ri  chiziq  orqali  o'tsa, 



  tekislik   

  tekislikka 



perpendikular bo’ladi. 

I  s  b  o  t  i.   

  va   


  tekisliklar  DE  to'g'ri  chiziq  bo'ylab  kesishsin  (35-chizma).   

 

tekislikda  A  nuqta  orqali  DE  to'g'ri  chiziqqa  perpendikular  AC  to'g'ri  chiziqni  o'tkazamiz.  Shartga 



ko'ra,  AB



  bo'lganligidan,  AB



DE  va  AE



AC  bo'ladi.  Demak, 



BAC  —  to'g'ri  burchakdan 

iborat. U holda unga mos BDEC ikki yoqli burchak ham to'g'ri burchakdan iborat. Ya'ni  

 va  



 

tekisliklar o'zaro perpendikular bo'ladi. Teorema isbotlandi. 



9  –  t  e  o  r  e  m  a.  Ikkita  perpendikular  tekislikning  birida  yotuvchi  to'g'ri  chiziq,  shu 

tekisliklar kesishgan to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lsa,  u ikkinchi tekislikka ham perpendikular 

bo'ladi. 

   


      

       


 

            35 - chizma.                             36 - chizma.                                  37 - chizma. 



 

16 


I s b o t i.  



 va ular to'g'ri chiziq bo'ylab kesishsin, ya'ni 



с



(36-chizma).



 

tekislikda b





to'g'ri chiziq o'tkazilgan va b



 ekanligini isbotlash talab qilinadi. 

  tekislikda  b  to'g'ri  chiziq  va   



  tekislik  kesishgan  nuqtadan  a



c  to'g'ri  chiziqni 

o'tkazamiz. va to'g'ri chiziqlarning har ikkalasi ham  

 va  


 tekisliklar o'zaro kesishadigan c 

to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'ladi. Demak, va b to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak  

 va  



 

tekisliklar  orasidagi  burchakka  teng.  Shartga  ko'ra, 





  bo'lganligidan,  a  va  b  to'g'ri  chiziqlar 

orasidagi burchak 90° ga teng bo'ladi. Shunday qilib, to'g'ri chiziq  

 tekislikda yotuvchi ikkita 



va  a  to'g'ri  chiziqqa  perpendikular  bo'lishi  va,  demak,  b  to'g'ri  chiziq   

  tekislikning  o'ziga  ham 



perpendikular bo'lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. 

N a t i j a. Agar ikkita  

 va  



 tekislik uchinchi  

 tekislikka perpendikular bo’Isa, ular 



kesishadigan to 'g'ri chiziq  

 tekislikka perpendikular bo'ladi (37 - chizma). 



 



Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling