Universiteti qoshidagi sobir rahimov akademik litseyi


Download 1.49 Mb.
Pdf просмотр
bet2/13
Sana08.04.2017
Hajmi1.49 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Tarixiy ma'lumotlar 

Uch  perpendikular  haqidagi  teorema  Evklidning  ,,Negizlar"  asarida  uchramaydi.  Uni  o'rta 

asrlarda  yashagan  O'rta  Osiyo  matematiklari  kashf  etganligi  ehtimoldan  yiroq  emas,  chunki  u 

birinchi  marta  Nasriddin  Tusiy  (1201  —  1274)  ning  ,,To’la  to'rt  tomonli  haqida  risola"  nomli 

asarida  sferik  uchburchak  uchun  ,,Sinuslar  teoremasi"ni  isbollashda  dastlabki  izoh  tariqasida 

keltiriladi.  Bu  dastlabki  izohlar  orasida  Abu  Rayhon  Beruniyning  ,,Sfera  sirtida  sodir  bo'ladigan 

hodisalar  haqida  astronomiya  kaliti  to'g'risida  kitob"  nomli  asaridan  olingan  isboti  ham  mavjud. 

Beruniyning  o'sha  teoremasi  quyidagichadir:  ,Agar  ikki  tekislik  o'zaro  to'g'ri  burchakka  teng 

bo'lmagan  burchak  ostida  kesishsa  va  bu  jismlardan  birining  biror  nuqtasidan  tekisliklarning 

kesishish  chizig'iga  va  ikkinchi  tekislikka  perpendikularlar  tushirilsa,  bu  perpendikulalarning 

asoslarini tutashtiruvchi to'g'ri chiziq tekislikning kesishish chizig'i bilan to'g'ri burchak hosil qiladi.  

 

Takrorlash uchun savol va topshiriqlar 

1Fazodagi qanday to'g'ri chiziqlar perpendikular deyiladi? 

2. To'g'ri chiziq va tekislikning perpendikularligi ta'rifini bering. 

3. Qanday ikkita tekislik o'zaro perpendikular deyiladi? 

6. To'g'ri chiziq va tekislikning perpendikularlik alomati. 

7. Qanday to'g'ri chiziq tekislikka og'ma deyiladi? 

8. To'g'ri chiziq (kesma)ning tekislikka proyeksiyasi nima? 

9. Nuqtadan to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofa sifatida nima qabul qilinadi? 

10. Og'malar va ularning proyeksiyalari kattaliklari o'zaro qanday munosabatda bo'ladi? 

12. Bitta tekislikka perpendikular bo'lgan to'g'ri chiziqlarning xossalari. 

11. Uch perpendikular haqidagi teorema va unga teskari teoremani ayting. 

 

Mustaqil yechish uchun masalalar 



1. 

 tekislik berilgan. Bu tekislikdan 3 sm uzoqlikda joylashgan nechta tekislik o'tkazish mumkin? 



J a v o b: 2 ta. 

2. Berilgan A nuqtadan 

 tekislikka AB perpendikular va AC og'ma o'tkazilgan. Agar AB = 16sm, 



AC=20 sm bo'lsa, og'maning  

 tekislikka proyeksiyasini toping.  



 

J a v o b: 12 sm. 

3. Berilgan A nuqtadan  

 tekislikka ikkita AB=17 sm va AC=13 sm og'malar o'tkazilgan. Agar AB 



og'maning  berilgan  tekislikka  proyeksiyasi  15  sm  bo'lsa,  AC  kesmaning  tekislikka  proyeksiyasini 

toping.  

 

 

 



 

 

 



 

 

J a v o b: 



105 sm. 

4. AB kesma  

 tekislikni kesib o'tmaydi va uning va B uchlari tekislikdan, mos ravishda, 5 sm 



va 3 sm uzoqlikda joylashgan. Shu kesmaning o'rtasidan  

 tekislikkacha bo'lgan masofani toping. 



J a v o b: 4 sm. 

5.  AB  kesma   

  tekislik  bilan  60°  li  burchak  hosil  qiladi  va  AB  kesmaning 



  tekislikka 

proyeksiyasi 14sm ga teng. AB kesmaning uzunligini toping. 

 

 



J a v o b: 28 sm. 

6.  Muntazam  ABC  uchburchak 

  tekislikda  yotadi  va  AB=4  sm.  Uchburchakning  C  uchidan 



 

tekislikka  CK=3  sm  perpendikular  o'tkazilgan.  Hosil  bo'lgan 





ABK  ning  perimetri  va  yuzini 

toping.  

 

 

 



 

 

 



J a v o b: P= 14 sm, S = 2

21  sm



2



 

17 


 Mavzu: FAZODA DEKART KOORDINATALAR SISTEMASI. IKKI NUQTA ORASIDAGI 

MASOFA. 


 

 

Reja: 



 

1.

 



Fazodagi to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi 

2.

 



Fazodagi ikki nuqta orasidagi masofa 

3.

 



Kesmani berilgan nisbatda bo'lish 

 

 



Tekislikda xOy to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi aniqlangan bo'lsin. Agar biror nuqta 

bu  tekislikda  yotmasa,  ravshanki,  fazoda  uning  holatini  aniqlash  uchun  A  nuqtaning  tekislikdan 

chetlanishini qo'shimcha ravishda ko'rsatish zarur. 

Fazodagi  to'g'ri  burchakli  koordinatalar  sistemasini  kiritamiz.  Faraz  qilaylik,  uchta  o'zaro 

perpendikular to'g'ri chiziq nuqtada kesishsin. Har bir to'g'ri chiziqda yo'nalishni aniqlab, OxOy

Oz  kabi  belgilanadigan  koordinatalar  o'qlarini  hosil  qilamiz,  bunda  Ox  —  abssissalar  o'qi,  Oy  — 

ordlnatalar o'qi, Oz – applikatalar o'qi deyiladi (43 - chizma) 

Koordinatalar o'qlari yana uchta koordinatalar tekisligini aniqlaydi: yOz tekislik, unda (0; y; z

ko'rinishdagi  nuqtalar  yotadi,  xOy  tekislik,  unda  (x  ;  y  ;  0)  ko'rinishdaga  nuqtalar  yotadi,  xOz 

tekislik, unda (x; 0; zko'rinishdaga nuqtalar yotadi. 

Agar berilgan nuqta  OxOy yoki Oz o'qda yotsa, mos ravishda, uning koordinatalari (x; 0; 0), 

(0; y; 0), (0; 0; z) ko'rinishni oladi. 



A  nuqta  —  fazodagi  ixtiyoriy  nuqta  bo'lsin.  A  nuqtaning  xOy  tekislikka  A

1

  proyeksiyasini 

yasaymiz. A

1

 nuqta tekislikda ikkita, x va y koordinatalarga ega bo'ladi. Bu ikkita koordinatalarni 

berilgan  A  nuqtaga  mos  qilib  qo'yamiz  va  ulardan  x  ni  A  nuqtaning  abssissasi,  yni  esa  uning 



ordinatasi  deb  ataymiz.  A  nuqtaning  xOy  tekislikdan  chetlanishini  ko'rsatish  uchun  uchinchi  

koordinatani  kiritamiz.  Agar  AA



1

  chetlanish  Oz  o'qning  rnusbat  yo'nalishida  koordinata  „+" 

(musbat) ishora bilan, chetlanish qarama-qarshi yo'nalishda joylashgan bo'lsa, „—" (manfiy) ishora 

bilan olinadi. koordinata nuqtaning applikatasi deyiladi va nuqtaning koordinatalari A ( x; y; 

z) kabi yoziladi. 

xOy  tekislikda  A



1

    nuqtaning  koordinatalarini  yasashda  A

1

  nuqtadan  A

1

A

2

Oy,  A



1

A

3



O

to'g'ri  chiziqlar  o'tkazib,  A  nuqtani  A

2

  va  A

3

  nuqtalar  bilan  tutashtiramiz.  U  holda  (uch 

perpendikular haqidagi teoremaga ko'ra) AA



2

Ox, AA



3



Oy bo'ladi. 

Demak, 

nuqtaning 

koordinatalari 

shu 


nuqtaning 

mos 


koordinatalar 

o'qlariga 

proyeksiyalarining  algebraik  qiymatidan  iborat  ekan.  Bundan  A  nuqtani  koordinatalari  bo'yicha 

yasash usuli kelib chiqadi. 

M i s o l.  (2;—3; 5) nuqtani yasang. 

                         

 

                       43 – chizma                                                   44 – chizma 



Y e c h i 1 i s h i. Ox o'qda 

2

OA =2  kesmani joylashtiramiz va A



2

 nuqta orqali A

2

A

1

 \\ Oy 

to'g'ri chiziq o'tkazamiz (43- chizma). 



 

18 


Bu  to'g'ri  chiziqda  A

2

  nuqtadan  manfiy  yo'nalishda 

1

2



A

A

=3  kesmani  joylashtiramiz. 

So'ngra  A



1

  nuqtadan 

xOy

A

A

1



  to'g'ri  chiziq o'tkazamiz  va  musbat  yo'nalishda 

A

A

1

=5  kesmani 



joylashtiramiz. Yasalgan nuqta talab qilingan A(2; —3; 5) nuqta bo'ladi. 

 

Fazoda  ikkita  A(x



1

;y

1

;z

1

)  va  B(x



2

,  y

2

,  z

2

)  nuqta  berilgan  bo'lsin.  Bu  nuqtalarning  xOy 

tekislikka proyeksiyalarini A



1

 va B

1

 deb belgilaymiz (45- chizma).Yasalishiga ko'ra, A

1

(x

1

;y

1

0) va 

B(x

2

; y

2

0) bo'ladi. A

1

 va B

1

 nuqtalar xOy tekislikda yotganligidan, A



l

 B

l  

kesmaning uzunligi  

2

1

2



2

1

2



1

1

)



(

)

(



y

y

x

x

B

A



             (1) 



bo'ladi. 

A  nuqtadan  AF



BB



1

  to'g'ri  chiziq  o'tkazamiz.  U  holda,  to'g'ri  to'rtburchakning  qarama-

qarshi tomonlari sifatidaAA=FB



1

 bo'ladi. 

Bundan BF=

1

2

z



z



 bo'ladi va to'g'ri burchakli 



ABF dan Pifagor teoremasiga asosan, 

AB

2

=AF

2

+BF

2

,  

2

2



1

1

BF



B

A

AB



     (2) 

bo'lishini topamiz. 

(2) dagi A

1

B

1

 va BF larning qiymatlarini o'rniga qo'yib, fazodagi ikki to'g'ri chiziq orasidagi masofa 

uchun  


2

1

2



2

1

2



2

1

2



)

(

)



(

)

(



z

z

y

y

x

x

AB

d







      (3) 

formulani olamiz. 

   


 

          45- chizma. 

 

Izoh. (3) formula to'g'ri burchakli parallelepipedning o'lchamlari



1

2

1



2

1

2



,

,

z



z

y

y

x

x



bo'lganda, 

ularning diagonali xossasini ifodalaydi. 

1 - m a s a 1 a. Oy o'qda (-2; 4; 6) nuqtadan 11 sm uzoqlikda joylashgan nuqtani toping. 

Y e c h i 1 i s h i. Izlanayotgan nuqta Oy o'qda yotganligidan, uning koordinatalari K(0; y; 

0)  bo'ladi.  K  va  N  nuqtalar  orasidagi  KN  —  11  sm  masofa  uchun  (3)  formulani  koordinatalar 

bo'yicha yozamiz: 

11

)



6

(

)



4

(

)



2

(

2



2

2







y

 

Bu tenglikning ikki tomonini kvadratga ko'taramiz: 



4+(y-4)

2

+36=121,                       (y-4)



2

=121-40=81 

va quyidagi qiymatlarni olamiz. 

y – 4 = 


9,          y

=

 



13,          y

2

 = -5 



Shunday  qilib,  Oy  o'qda  K

1

(0;  13;  0)  va  K



2

(0;  -5;  0)  nuqtalar  topildi  hamda  TV  nuqtadan 

ularning har birigacha bo'lgan masofa 11 sm ga teng. 

J a v o b: K



1

(0; 13; 0), K



2

(0; -5; 0). 

2 - m a s a la. Fazoda A(3; 0; -1), B(-4; 1; 0), C(5; -2; -1) nuqtalar berilgan. yOz tekislikda 

A, B, C nuqtalardan baravar uzoqlikda joylashgan nuqtani toping. 

Y e c h i 1 i s h i. Izlanayotgan nuqta yOz tekislikda yotganligidan, uning uchun x=0 bo'lib, 

koordinatalar K(0; y; z) ko'rinishda bo'ladi. nuqtadan A, B, C nuqtalargacha bo'lgan masofalarni 

topamiz: 



 

19 


AK=

;

)



1

(

)



3

0

(



2

2

2







z

y

      BK=

;

)



1

(

)



4

0

(



2

2

2



z

y





   



CK=

.

)



1

(

)



2

(

)



5

0

(



2

2

2







z



y

 

Shartga ko'ra, AB= BK= CK. Shu sababli 

 

































20



4

,

10



17

2

2



1

2

4



4

25

1



2

9

,



1

2

16



1

2

9



,

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

y

z

y

z

z

y

y

z

z

y

z

y

y

z

z

y

CK

AK

BK

AK

 

 



Tenglamalar sistemasini yechamiz: 







2



17

,

5



z

y

 

U holda izlanayotgan nuqta  





 



2

17

;



5

;

0



 bo'ladi. 

J a v o b: 





 



2

17

;



5

;

0



 

3  –  m  a  s  a  l  a.  Uchlari  A(9;  3;  -5),  B(2;  10;  -5),  C(2;  3;  2)  nuqtalarda  yotgan 



ABC 

berilgan bo'lsa, ularning perimetrini toping. 

Y  e  c  h  i  1  i  s  h  i. 



ABC  ning  perimetri  P  =  AB+AC+BC.  Uchburchak  tomonlarining 

uzunliklarini yuqorida keltirib chiqarilgan ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan, ya'ni 

2

1



2

2

1



2

2

1



2

)

(



)

(

)



(

z

z

y

y

x

x

d







    

formuladan foydalanib topamiz. Bunda  

,

2

7



49

49

)



5

5

(



)

3

10



(

)

9



2

(

2



2

2









AB

 

,



2

7

49



49

)

5



2

(

)



3

3

(



)

9

2



(

2

2



2









AC

 

2



7

49

49



)

5

2



(

)

10



3

(

)



2

2

(



2

2

2









BC

 

 



bo'ladi. Shunday qilib, uchburchak teng tomonli va uning perimetri P=3*7

2

21



2

 ekan. 



J a v o b: 21 2  

 

Fazoda  uchlarining  koordinatalari  bo'lgan  A(x



1

;y

1

;z

1

)  va  B(x

2

;y

2

;z

2

)  bo’lgan  AB  kesma 

berilgan  va  P  nuqta  AB  kesmani 

  nisbatda  bo'lsin,  ya'ni   



PB

AP



  (46-chizma).    P(x;  y;  z) 

nuqtaning  koordinatalarini  A  va  B  nuqtalarning  koordinatalari  va 

qiymat  orqali  ifodalaymiz. 



Berilgan  to'g'ri  burchakli  koordinatalar  sistemasida  AB  kesmani  xOy  tekislikka  proyeksiyalaymiz. 

Faraz  qilaylik,  A,  B  va  P  nuqtalarning  proyeksiyalari,  mos  ravishda,  A



1

,B

1

,P

1

  bolsin.  A

1

,  B

1

  va  P

1

 

nuqtalar xOy  tekislikda yotganligidan, ular uchun 



=

 0 va ularning koordinatalari  A

1

(x

1

; y

1

; 0), 

 

46 - chizma. 



B

1

(x

2

; y

2

; 0), P

1

(x; y; 0) kabi bo'ladi. 

Bundan  tashqari,  AA



1

,  BB

1

  va  PP

1

  to'g'ri  chiziqlar 

parallel  va  shuning  uchun  ular  bitta  tekislikda  yotadi.  Fales 

teoremasiga ko'ra, 



1

1



1

1

B



P

P

A

PB

AP

 

deb yozish mumkin. 



Endi  xOy  tekislikdagi  A

l

B

l

  kesma  va  P

1

  nuqta  uchun 

kesmani  berilgan 

nisbatda  bo'lish  haqidagi  masalani  qarab, 



P

1

 nuqtaning koordinatalari uchun 

 

 

 

20 


,

1

2



1





x

x

x

              





1



2

1

y



y

y

 

tengliklarni olamiz. 



AB  kesmani  xOz  va  yOz  tekisliklarga  ketma-ket  proyeksiyalab,  P  nuqtaning  bu 

tekisliklardagi proyeksiyalari uchun, mos ravishda, 

,

1

2



1





x

x

x

                  





1



2

1

z



z

z

         





1



2

1

y



y

y

,                   





1



2

1

z



z

z

 

 



tengliklarni olamiz. 

Shunday  qilib,  berilgan  AB  kesmani 

nisbatda  bo'luvchi  P(x



1

;  y

1

;  z)  nuqtaning 

koordinatalari kesmaning A va B uchlari koordinatalari orqali 




Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling