Universiteti qoshidagi sobir rahimov akademik litseyi


Download 1.49 Mb.
Pdf просмотр
bet9/13
Sana08.04.2017
Hajmi1.49 Mb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
1

,  S

2

,  …,  S

n  –  1

  bo'lsin.  Piramidadagi  parallel 

kesimlarning xossasidan foydalanib (4 teoremaga q.) quyidagi 

2

2

1



h

n

h

S

S







;     

2

2

2



:

2

h



n

h

S

S







;     .....;     



2



2

1

:



1

h

n

h

n

S

S

n





 



 

tengliklarni yozamiz. Bundan  



S

1

 = 

2

1



n

S;     S

2

 =

2

2



2

n

S;     .....;     S

n – 1 

=

2

2



)

1

(



n

n



va 

V

1

 =

n

h

(S

1

 + S

2

 + ... + S

n - 1

)S =

3

n



Sh

(1

2

 + 2

2

 + ... + n

2

) = 

3

n



Sh • 

6

n



(2n

2

 + 3n + 1) 

munosabatlarni olamiz. Natijada piramidaning hajmi uchun yozilgan (11) tengsizlik 

2

6n



Sh

(2n

2

 + 3n + 1) - 

n

Sh



2

6n



Sh

(2n

2

 + 3n + 1), 

n

Sh

2

2

6n



Sh



n

Sh



V - 

3

Sh



n



Sh

2

2

2n



Sh

 

ko'rinishni  oladi.  n  ning  cheksiz  ortishi  bilan tengsizlikning  chap  va  o'ng  tomonidagi  ifodalar  bir-

biridan juda kam farq qiladi. Shuning uchun ular orasidagi V - 

3

Sh



 ifoda ham noldan juda kam farq 

qiladi. Demak, yetarli katta lar uchun 



V - 

3

Sh



 = 0 

bo'ladi,  ya'ni  piramidaning  hajmi  uchun  talab  qilingan  (10)  formulaga  ega  bo'lamiz.  Teorema 

isbotlandi. 

6 – t e o r e m a. Agar P va Q – tetraedr ikkita yog'ining yuzlari, a – bu yoqlar kesishadigan 



qirraning uzuntigi, 



 esa bu yoqlar orasidagi ikki yoqli burchak bo'lsa, tetraedrning hajmi 



V = 

a

PQ

3

sin



2



                    (12) 

bo'ladi. 

I  s  b  o  t  i.  SABC  tetraedrda  S



ABC 

=  P,  AB  =  a  hamda  ABC  va    ASB  tekisliklar  orasidagi 

burchak  

 bo'lsin. ASB yon yoqning SK = d   balandligini o'tkazamiz     (93 – chizma). U holda 



=

3

1



a • d va d = 

a

Q

2

 bo'ladi. Piramidaning SO = h balandligini o'tkazamiz. U holda 



SKO to'g'ri  

burchakli va 



SKO 

 bo'ladi. Bu uchburchakdan piramidaning balandligini topamiz: 



 

61 


 

93 – chizma. 



h = dsin





a

Q

sin



2

                     (13) 

Piramida  asosi  ABC  ning  yuzi  P  bo'lganligidan,  uning 

hajmi uchun talab qilingan (12) formulani hosil qilamiz. Teorema 

isbotlandi. 

7  –  t  e  o  r  e  m  a.  Agar  tetraedr  ikkita  qarama-qarshi 

qirrasining  uzunliklari  a  va  b  ga,  ular  orasidagi  masofa  d  ga 

hamda  berilgan  qirralar  orasidagi  burchak 



  ga  teng  bo'lsa, 



tetraedrmng hajmi 

V = 

6

1



a • b • d • sin 



                    (14) 



bo’ladi. 

8 – t e o r e m a. Fazoda D nuqtadan o’tuvchi uchta to'g'ri chiziq berilgan bo'lib, ularning 



bittasida  A

l

  va  A

2

;  ikkinchisida  B



va  B

2

;  uchinchisida  C

1

  va  C



2

  nuqtalar  olingan  bo'lsin.  Agar 

DA

1

B

1

C

1

 tetraedrning hajmi V

1

, DA

2

B

2

C

2

 tetraedrning hajmi V



bo’lsa, 

2

1



2

1

2



1

2

1



*

*

DC



DC

DB

DB

DA

DA

V

V

                    (17) 



munosabat o'rinli bo'ladi. 

 

Berilgan SA



1

A



... A

n

 piramidada uning asosiga parallel 

 tekislik o'tkazamiz. Piramida yon 



qirralarining 

 tekislik bilan kesishish nuqtalarini B



1

, B

2

, ... B

n

 deb belgilaymiz. Natijada B

1

, B



... 

B

n

  kesim  berilgan  piramidani  ikkita  qismga  –  SB

1

B



...  B

n

  piramidaga  va  A

1

A



...  A

n

B

1

B



...  B

ko'pyoqqa  ajratadi.  A



1

A

2  ... 

A

n

 ko'pyoqning  ikkita yog'i  parallel tekisliklarda yotadi,  qolgan yoqlari 

trapetsiyalardan iborat bo'ladi. Bunday ko'pyoq kesik piramida deb ataladi (94 – chizma). Parallel 

tekisliklarda  yotuvchi  yoqlar  uning  asoslari,  trapetsiyalar  esa  kesik  piramidaning  yon  yoqlari 

deyiladi. Yon yoqiar kesishadigan kesmalar kesik piramidaning yon qirralari deyiladi. Yon yoqlar 

va  asoslar  kesishadigan  kesmalar  kesik  piramida  asoslarining  qirralari  (tomonlari)  deb,  yuqori 

asosning  ixtiyoriy  nuqtasidan  pastki  asos  tekisligiga  o'tkazilgan  OO



1

  perpendikular  kesik 

piramidaning balandligi deb ataladi. Asoslarning uchlari esa uning uchlari deyiladi. Kesik piramida 

asoslarining mos diagonallari orqali o'tkazilgan kesim diagonal kesim deb ataladi.  

Agar kesik piramidada: 

1) asoslar muntazam ko'pburchaklardan iborat; 

2) asoslarning markazlarini birlashtiruvchi OO



1

 kesma balandlikdan iborat bo'lsa, u muntazam kesik 

piramida deb ataladi

.

 



Kesik piramida yon yoqlari yuzlarining yig'indisi uning yon sirtining yuzi deyiladi. 

Agar kesik piramida yon sirtining yuziga uning yuqori va pastki asoslari yuzlarini qo'shsak, 

kesik piramida to'la sirtining yuzi hosil bo'ladi: 

S

to’la

 = S

yon

 + S

yu.asos

 + S

p. asos                    

(18) 


Bundan buyon S

yon 

 kesik piramidaning yon sirtiniS

to’la 

esa uning to'la sirtini bildiradi. 

 

94 – chizma. 



Muntazam kesik piramida yon yog'ining balandligi 

uning apofemasi deyiladi. 

9 – t e o r e m a. Muntazam kesik piramida yon sirtining yuzi 

uning asoslari perimetrlari yig’indisining yarmi bilan 

apofemasi ko'paytmasiga teng. 

S = 

2

2



1

P

P



• l                     (19) 

bunda p



 va p

2

 – asoslar perimetrlari, l – piramidaning 

apofemasi. 



 

62 


                         

 

                            95 – chizma.                                                      96 – chizma. 



I s b o t i. Muntazam kesik piramidaning har bir yon yog'i teng yonli trapetsiyadan iborat. 

Agar  l  =  KK



1

  apofema,  a  =  AE  va  b  —  A

1

E

1

  lar  piramidaning,  mos  ravishda,  pastki  va  yuqori 

asoslari tomonlari bo'lsa (95 – chizma), AEE



1

A

1

 yon yoqning yuzi, trapetsiyaning yuzi sifatida, 

S

1

 = 

2

b



a



• l                    (20) 

bo'ladi.  Bu  (20)  ifodani  piramida  yon  yoqlari  soni  n  ga  ko'paytirib,  piramidaning  yon  sirti  yuzi 

uchun 


S

yon

 = n • S

1

 = 

2

*



*

b

n

a

n



• l 

formulani olamiz. Lekin n • a pastki asosning perimetri p

ga, n • b esa yuqori asosning perimetri p



2

 

ga teng, ya'ni n • a  = p



1



 

n • b = p

2

 bo'lganligidan, 

S

yon

 = 

2

2



1

p

p



• l 

ya'ni talab qilingan (19) formulani hosil qilamiz. 

10  –  t  e  o  r  e  m  a.  Agar  S



1

  va  S

2

  –  kesik  piramidaning,  mos  ravishda,  pastki  va  yuqori 

asoslari  yuzlari, h — uning balandligi bo'lsa, kesik piramidaning hajmi 

V = 

3

1



h (S

1

 + 

2

1



S

S

+S

2

)               (21) 

bo'ladi. 

Tarixiy ma'lumotlar 

Al-Xorazmiy  ―Al-jabr  val-muqobala  hisobi  haqida‖  asarining  o'lchash  haqidagi  bobida 

kesik piramidaning  hajmini hisoblashga oid  quyidagi  ma'lumotlar keltirilgan:  ,,Agar piramidaning 

pastki asosi to'rt gazga to'rt gaz, balandligi o'n gaz va uning yuqori asosi ikki gazga ikki gaz deyilsa, 

u  holda,  bizga  ma'lumki,  har  bir  o'tkir  uchli  piramida  shunday  bo'ladiki,  uning  asosi  yuzining 

uchdan  birining  balandligiga  ko'paytmasi  uning  hajmidir.  Shuning  uchun  bu  piramidaning  uchi 

bo'lmaganligi  sababli,  biz  uning  uchini  tiklash  uchun  qanchalik  ko'tarish  kerak  ekanligini 

bilmoqchimiz.  Uning  uchi  yo’q,  lekin  bu  o’n  gazning  uning  butun  uzunligiga  nisbati  ikkining 

to'rtga nisbati ekanligini bilamiz. Biroq ikki – to'rtning yarmi, shuning uchun, agar nisbat shunday 

bo'lsa,  u  holda  o'n  uzunlikning  yarmi  va  (demak)  uzunlik  –  yigirma  gaz.  Shunday  qilib,  biz 

uzunlikni bilamiz. Asosning uchdan birini, ya'ni besh-u uchdan birni olamiz, buni uzunlikka, ya'ni 

yigirma  gazga  ko'paytiramiz;  buning  ko'paytmasi  bir  yuz  olti-yu  uchdan  ikki  gaz.  Biz  uni  (to'liq) 

piramidagacha  to'ldirish  uchun  qo'shganimizni,  undan  (o'lchami)  ikkiga  ikki  bo'lgan  yuza  uchdan 

birini o'nga qo'shganimizni yoki o'n uch-u uchdan birni, ya'ni to'liq piramida hosil qilish uchun biz 

qo'shgan hajmni ayiramiz. Agar biz buni bir yuz olti-yu uchdan ikki gazdan ayirsak, to'qson uch-u 

uchdan bir qoladi. Ana shu piramidaning hajmidir‖. 

Abu Ali ibn Sino ,,Donishnoma‖ asarining o'n ikkinchi bobida geometrik jismlar haqida fikr 

yuritadi.  Jumladan,  uchburchakli  piramidani  ikkita  o'zaro  teng,  berilgan  piramidaga  o'xshash 

piramidalarga hamda ikkita teng prizmalarga ajratish usulini bayon qilgan. 

 

Takrorlash uchun savol va topshiriqlar 

1. Piramida ko'pyoq bo'ladimi? 



 

63 


2. Qanday piramida muntazam piramida deyiladi? 

3. Uchburchakli; to'rtburchakli; olti burchakli muntazam piramidaning asosi qanday shakldan iborat 

bo'ladi? 

4. Muntazam piramidaning balandligi qanday o'tadi? 

5. Piramidaning yon qirralari teng, asosi esa ixtiyoriy ko'pburchak bo'lsa, uning balandligi qanday 

o'tadi? 


6.  Parallelogramm,  romb,  kvadrat,  to'g'ri  to'rtburchaklardan  qaysi  biri  yon  qirralari  o'zaro  teng 

bo'lgan piramidaning asosida yotadi? 

7. Muntazam piramidaning apofemasi deb nimaga aytiladi? 

8.  Parallelogramm,  romb,  to'g'ri  to'rtburchaklardan  qaysi  biri  yon  yoqlarining  balandliklari  teng 

bo'lgan to’rtburchakli piramidaning asosida yotadi? 

9. Oltiburchakli piramidada nechta diagonal kesim o'tkazish mumkin? 

10. Piramida asosining yuzi va asosga parallel kesimining yuzi qanday bog'lanishda bo'ladi? 

11. Muntazam piramida yon sirtining yuzi qanday hisoblanadi? 

12. Muntazam bo'lmagan piramida yon sirtining yuzi qanday hisoblanadi? 

13. Piramida yon sirtining yuzi qanday hisoblanadi? 

14. Piramidaning hajmi qanday hisoblanadi? 

15. Muntazam kesik piramida yon sirtining yuzi, to'la sirtining yuzi qanday hisoblanadi? 

16. Muntazam kesik piramidaning hajmi qanday hisoblanadi? 

17. Agar kesik piramidaning balandligi marta orttirilsa, uning hajmi qanday o'zgaradi? 

18. Piramidaning apofemasi marta kichraytirilsa, uning yon sirti qanday o'zgaradi? 

19.To'rtburchakli  muntazam  piramida  asosining  tomoni  ikki  marta  orttirilsa,  piramidaning  hajmi 

qanday o'zgaradi? 

20.  Piramidaning  hajmini  to'rt  marta  orttirish  uchun  uning  balandligini  qanday  o'zgartirish  lozim 

bo'ladi? 

 

Mustaqil yechish uchun masalalar 



1.  To'rtburchakli  muntazam  piramidaning  balandligi  12sm,  asosining  tomoni  16sm  bo'lsa, 

piramidaning yon qirrasini toping.   

 

 

 



 

 

J a v o b: 20sm. 



2.  Uchburchakli  muntazam  piramidaning  balandligi  1sm,  asosining  tomoni  6sm  bo'lsa,  uning 

apofemasini toping.   

 

 

 



 

 

 



 

J a v o b: 2sm. 

3.  Oltiburchakli  muntazam  piramidaning  balandligi  8sm,  asosining  tomoni  4m  bo'lsa,  uning  katta 

diagonal kesimining yuzini hisoblang. 

 

 

 



 

 

J a v o b: 32sm



2

4. To'rtburchakli muntazam piramida diagonal kesimining yuzi 12 2 sm



2

, piramidaning balandligi 

esa 4sm. Piramida asosining yuzini hisoblang. 

 

 



 

 

J a v o b: 36sm



2

5. Uchburchakli muntazam piramida asosining tomoni 12sm, uning yon qirrasi 10sm. Piramida yon 



sirtining yuzini hisoblant. 

 

 



 

 

 



 

 

J a v o b: 72sm



2

6.  To'rtburchakli  muntazam  kesik  piramida  asoslarining  tomonlari  6sm  va  3sm.  Piramidaning 



balandligi 4sm bo'lsa, uning yon sirtining yuzini va hajmini hisoblang. 

J a v o b: 90sm

2

, 21 


sm

3



7. Uchburchakli muntazam piramida asosining tomoni 4sm. Piramidaning balandligi asosning o'rta 

chizig'iga teng bo'lsa, uning hajmini hisoblang. 

J a v o b: 

3

3

8



sm

3



8. To'rtburchakli muntazam piramidaning diagonal kesimi uning asosiga tengdosh bo'lib, asosining 

tomoni esa ga teng. Piramida yon sirtining yuzini hisoblang. 

 

 

J a v o b: 3 a



2

9.  To'rtburchakli      muntazam      piramida      yon      sirtining  yuzi  14,76  m



2

,  to'la  sirtining  yuzi  18m

2

 

bo'lsa, piramidaning balandligini toping. 



 

 

 



 

 

J a v o b: 4m. 



10. Uchburchakli muntazam piramidaning yon qirrasi 10sm, yon sirtining yuzi 144sm

2

 bo'lsa, uning 



apofemasini toping.   

 

 



 

 

 



 

J a v o b: 6 yoki 8sm. 

11.  Uchburchakli  piramidaning  yon  qirralari  o'zaro  perpendikular  va  ularning  har  biri  m  ga  teng. 

Piramidaning hajmini hisoblang. 

J a v o b: 

6

1



m

3

. 



 

64 


12. Agar muntazam piramida asosining yuzi ga, yon sirtining yuzi esa ga teng bo'lsa, piramida 

asosidagi ikki yoqli burchaklarni toping. 

J a v o b: cos

S

Q



13.  To'rtburchakli  muntazam  piramida  asoslarining  tomonlari  8m  va  2m,  piramidaning  balandligi 

esa 4m. Piramida to'la sirtining yuzini hisoblang.   

 

 



 

J a v o b: 168m

2



 



14.  Balandligi  h  =  8sm  bo'lgan  uchburchakli  muntazam  piramida  asosining  uzunligi  a  =  8sm 

bo'lgan  tomoni  orqali  qarama-qarshi  yon  qirraga  perpendikular  tekislik  o'tkazilgan.  Kesimning 

yuzini hisoblang. 

 

 



 

 

 



 

 

 



J a v o b: 24sm. 

15.  Piramidaning  asosi  tomoni  20dm  bo'lgan  kvadratdan  iborat.  Piramidaning  balandligi  asosning 

bitta uchi orqali o'tadi va 21dm ga teng. Piramida yon sirtining yuzini hisoblang. 

J a v o b: 10m

2



16.  Piramidaning  asosi  diagonallari  6m  va  8m  ga  teng  bo'lgan  rombdan  iborat.  Piramidaning 



balandligi asos diagonallarining kesishish nuqtasidan o'tadi va 1m ga teng. Piramida to'la sirtining 

yuzini hisoblang. 

 

 

 



 

 

 



 

 

J a v o b: 50m



2

17.  Piramidaning  yon  qirrasi  o'zaro  teng  to'rtta  qismga  bo'lingan  va  bo'linish  nuqtalaridan  uning 



asosiga  parallel  tekisliklar  o'tkazilgan.  Piramida  asosining  yuzi  400sm

2

  bo'lsa,  kesimlarning 



yuzlarini hisoblang.   

 

 



 

 

J a v o b: 25sm



2

, 100sm


2

, 225sm


2

18. Uchburchakli muntazam kesik piramida asoslarining tomonlari 8sm va 4sm. Uning yon qirrasi 



va  yuqori  asosining  qarama-qarshi  tomonining  o'rtasi  orqali  tekislik  o'tkazilgan.  Hosil  bo'lgan 

kesimning yuzi 6 3 sm

2

 ga teng. Piramida yon sirtining yuzini hisoblang. 



J a v o b: 24 3 sm

2



 

 

 



Foydalanilgan adabiyotlar

  

 



 

[1]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- I qism Toshkent ―O’qituvchi‖   2004 yil 

[2]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriya‖- II qism Toshkent ―O’qituvchi‖   2004 yil 

[3]- I.Isroilov, Z.Pashayev ―Geometriyadan masalalar to’plami‖   - Toshkent ―O’qituvchi‖  2001 yil 

[4]- A.V.Pogorelov ―Geometriya‖   - 7-11 sinflar uchun Toshkent ―O’qituvchi‖  2001 yil 


 

65 


  

Mavzu: Silindr, kоnus vа kоnusning kеsimlаri. 

 

Reja: 


 

1.

 



Silindrik sirtlar. 

2.

 



To'g'ri doiraviy silindr. 

 

1. To'g'ri doiraviy silindr. Bizga l chiziq va to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin. 



1  –  t  a'  r  i  f.  Berilgan  m  to'g'ri  chiziqqa  parallel  va  l  chiziqni  kesib  o'tuvchi  a  to'g'ri 

chiziqning harakati natijasida hosil bo'lgan sirt silindrik sirt deyiladi (97 – chizma). 




Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling