Ushbu kurs ishim "Ostrogradskiy formulasi tatbiqlari" mavzusiga bag‘ishlangan bo‘lib, ko‘pgina ma’lumotlar keltirilgan

Teorema: Biror sirtning konturi bo’yicha olingan vector sirkulyatsiyasi shu sirt orqali o’tuvchi urinma oqimiga teng.
Izoh: Agar sirt tekislikka parallel tekislikning bir bo’lagi bo’lsa, bo’ladi va biz Grin formulasini Stoks formulasining xususiy holi kabi hosil qilamiz.
Agar


bo’lsa, (2.3.9) formuladan har qanday fazoviy yopiq egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integralning nolga teng bo’lishi kelib chiqadi, ya’ni:

Bundan egri chiziqli integrallash egri chiziqning shakliga bog’liq emasligi ko’rinadi.
Tekis egri chiziq uchun ko’rsatilganidek, (16) shartning bajarilishi uchun (9) shart yetarligina emas, zaruriy shart ham ekanligini ko’rsatish mumkin.
Bu shartlar bajarilgandaintegral ostidagi ifoda biror funksiyaning to’liq differensiali bo’ladi:

demak,

Bu ham ikki o’zgaruvchining funksiyasi (4-paragrafga qarang) uchun hosil qilingan mosformula singari isbot qilinadi.
1-misol. moddiy nuqta dinmikasining asosiy tenglamalarini yozamiz:

Bunda m-nuqtaning massasi; nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning koordinatalar o’qidagi proeksiyalari; esa tekislikning koordinatalar o’qidagi proeksiyalari. Yuqorida yozilgan tenglamalarning chap va o’ng tamonlarini

Ifodalarga ko’paytiramiz. Berilgan tengliklarni hadma-had qo’shsak:


bo’lgani uchun, bunday yoza olamiz:

va nuqtalarni tutashtiruvchi traektoriya bo’yicha integral olamiz.

bunda va va nuqtalardagi tezliklar.
Keying tenglik tirik kuchlar haqidagi teoremani ifodalaydi: bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o’tishdagi kinetic energiyaning ortirmasi massaga ta’sir etuvchi kuchning bajargan ishiga teng.
2-misol. birlik massani vaziyatdan vaziyatga ko’chirgandagi massaning qo’zg’almas markaziga bo’lgan niyuton tortish kuchining bajargan ishi aniqlansin.

6-rasm
Yechish. Koordinatalar boshi tortishning qo’zg’almas markaziga joylashgan bo’lsin. Birlik massaning ixtiyoriy vaziyatiga mos keluvchi M nuqtaning radius-vektorini r bilan (6-rasm), r-vektor bo’yicha yo’nalgan birlik vektorni esa r⁰ bilan belgilaymiz. U holda bo’ladi, bunda tortishish doimiysi. kuchning koordinatalar o’qidagi proeksiyalari

Bu holda kuchning yo’lda bajargan ishi mana bunga teng:

(chunki ). Agar va nuqtalar radius-vektorlarning uzunliklarini va bilan belgilasak:

Shunday qilib, bu yerda ham egri chiziqli integral integrallash egri chizig’ning shakliga bog’liq bo’lmay, faqat boshlang’ich va oxirgi nuqtalarining vaziyatlariga bog’liqdir. funksiya massa hosil qilgan tortish maydonning