Uyda qoling!
Download 147.64 Kb. Pdf ko'rish
|
1 5044103922789122250
Talabalar uchun matematika fanidan “ Uyda
qoling! ” onlayn olimpiadasi 6-soni masalalari. Boshlanish vaqti: 10:00, 17.05.2020 Tugash vaqti: 18:00, 17.05.2020 Masalalar. Masalalar Karim Raximov, Abror Pirnapasov va Xakimboy Egamberganovlar tomonidan yig‘ildi, tuzildi va saralandi. 1. (8 ball ) Quyidagi limitni toping: lim n→∞
Z 1 0 n p x n + (1 − x) n dx.
2. (8 ball ) Aytaylik A va B matritsalar n×n matritsalar bo‘lib 4AB = A+2B shartni qanoatlantirsin. Quyidagini isbotlang: rank(A 2
2 ) ≤ 2 rank(AB) 3. (8 ball ) Aytaylik n ≥ 3 biror butun son. Quyidagi n X j=1 a j = 0 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy a 1 , a
2 , . . . , a n haqiqiy sonlar uchun quyidagi tengsizlikni isbotlang: P i a i a j n 2
2 + 1 3 ≥ 2 P i a i a j a k 3 n 3 . 1 Qiyin masalani oson qadamlar bilan yechamiz. Quyida qadamlar berilgan. Shularni isbotlang. Ballar qiyinchilik darajasiga qarab bo‘lingan. Umumiy ball=26. Ushbu masala orqali gruppa automorfizm gruppa sining ba’zi xossalarini o‘rganamiz. Oldiniga gruppa gomomorfizmiga doir bir nechta masalalar orqali qadamma-qadam keltirib boramiz. Berilgan masalalarni oldingi qadamlarga er- gashish orqali isbotlash talab etiladi, zero har bitta qadam o‘zidan oldingilariga bog‘liqdir. 1-Ta’rif. Aytalik, (G, ·), (G 1 , · 1 ) gruppalar va h : G → G 1 funksiya (grup- palar kategoriyasidagi morfizm) berilgan. Agar barcha a, b ∈ G lar uchun h(a · b) = h(a) · 1 h(b).
(1) shart bajarilsa, h ga G dan G 1 ga gomomorfizm deyiladi. h ning yadrosi (kernel) va aksi (image) deganda, mos ravishda quyidagi Ker h := {g ∈ G : h(g) = e 1 }
Im h := {h(g) ∈ G 1 : g ∈ G} (2) nazarda tutiladi, bu yerda e 1 − G
1 ning birlik elementi. 1-Teorema. Ker h - G ning normal qism gruppasi, Im h - G 1 ning qism gruppasi bo‘ladi. 2-Ta’rif. h : G → G 1 gomomorfizm berilgan. • agar u G ni G 1 ga suyektiv akslantirsa (ya’ni ustiga akslantirsa), h epi- morfizm deyiladi; • agar h inyektiv bo‘lsa u monomorfizm deyiladi,; • ham epimorfizm, ham monomorfizm bo‘lgan gomomorfizmga izomorfizm deyiladi. 3-Ta’rif. Agar G va G 1 gruppalar orasida isomorfizm mavjud bo‘lsa, u holda ular o‘zaro izomorf deyiladi va G ' G 1 ka’bi belgilanadi. 2-Teorema. h : G → G 1 gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda h monomorfizm bo‘lishi uchun Ker h = {e} bo‘lishi zarur va yetarlidir, bu yerda e− G ning birlik elementi. Ma’lumki, agar H ⊂ G gruppa G ning normal qism gruppasi ya’ni H C G bo‘lsa, u holda G/H := {gH : g ∈ G} 2
quotient group ni aniqlashimiz mumkin, bu yerda gruppa amali (g 1 H) · G/H
(g 2 H) = (g 1 · G g 2 )H ka’bi aniqlanadi. Demak, 1-Teorema dan Ker h C G bo‘lganligi uchun ya‘ni normal qism gruppa bo‘lganligi uchun, G/Ker h quotient gruppa aniqlangan bo‘ladi. 3-Teorema. (Izomorfizmning 1-teoremasi) Bizga h : G → G 1 epimorfizm berilgan bo‘lsin, ya’ni suryektiv gomomorfizm. U holda G/Ker(h) ' G 1 (3)
bo‘ladi. 4-Ta’rif. Agar G 1 sifatida ham G ni o‘zini oladigan bo‘lsak, h : (G, ·) → (G, ·) ga G dan o‘z-o‘ziga gomomorfizm deyiladi, ya’ni, barcha a, b ∈ G lar uchun
h(a · b) = h(a) · h(b). Agar h : (G, ·) → (G, ·) izomorfizm bo‘lsa, u holda unga automorfizm deyiladi va G ning barcha automorfizmlari to‘plami Aut(G) kabi belgilanadi. Step 1. (2 ball) Agar h, f ∈ Aut(G) bo‘lsa, u holda h ◦ f ham G ning automorfizmi ekanligini isbotlang, bu yerda ◦– funksiyalar kompozitsiyasi (superpozitsiya). Undan tashqari (Aut(G), ◦) gruppaligini ko‘rsating. 5-Ta’rif. (Aut(G), ◦) gruppaga G ning automorfizm gruppa si deyiladi. Aytaylik a ∈ G uchun θ a : G → G funksiya (morfizm) quyidagicha aniqlan- gan: ∀b ∈ G
uchun θ a (b) = aba −1 ∈ G. U holda θ a ∈ Aut(G) bo‘ladi (oldingi teoremalardan foydalanib, mustaqil tekshirib ko‘rishingiz mumkin). 6-Ta’rif. θ a ga G ning ichki automorfizmi (inner automorphism) deyiladi va barcha ichki automorfizmlari to‘plami Inn(G) kabi belgilanadi, ya’ni Inn(G) := {θ a : a ∈ G}. (4) 1-Teorema va 3-Teorema dan foydalangan holda quyidagini ko‘rsating: 3
Step 2. (6 ball) Inn(G) gruppa Aut(G) ning normal qism gruppasi, ya’ni Inn(G) C Aut(G) ekanligini isbotlang hamda Inn(G) ' G/Z(G) (5)
ekanligini ko‘rsating, bu yerda Z(G) := {g ∈ G : ∀a ∈ G, ga = ag} −G ning markazi. Yuqoridagi qadamdan foydalanib, quyida keltirilgan uchta steplarni yeching. Step 3. (4 ball) Agar G cyclic gruppa (|G|= n) bo‘lsa, Aut(G) ni toping. |G|= |Aut(G)|+1 bo‘ladigan cheksiz ko‘p G gruppa mavjudligini ko‘rsating. Step 4. (6 ball) |Aut(G)|= |G|+1 bo‘ladigan G gruppa mavjud emasligini isbotlang. Step 5. (8 ball) • |Aut(G)|= |G|+2 bo‘ladigan barcha G gruppalarni toping. • |Aut(G)|= |G|−2 bo‘ladigan barcha G gruppalarni toping. Yechimlaringizni 17.05.2020 yil soat 18:00 gacha +16572018299 nomerga telegramda jo‘natishingiz mumkin. 4 Download 147.64 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling