Uyda qoling!

Talabalar uchun matematika fanidan “

Uyda

qoling!

” onlayn olimpiadasi 6-soni masalalari.

Boshlanish vaqti: 10:00, 17.05.2020

Tugash vaqti: 18:00, 17.05.2020

Masalalar.

Masalalar Karim Raximov, Abror Pirnapasov va Xakimboy Egamberganovlar

tomonidan yig‘ildi, tuzildi va saralandi.

1. (8 ball ) Quyidagi limitni toping:

lim

n→∞

Z

1

0

n

p

x

n

+ (1 − x)

n

dx.

2. (8 ball ) Aytaylik A va B matritsalar n×n matritsalar bo‘lib 4AB = A+2B

shartni qanoatlantirsin. Quyidagini isbotlang:

rank(A

2

) + rank(B

2

) ≤ 2 rank(AB)

3. (8 ball ) Aytaylik n ≥ 3 biror butun son. Quyidagi

n

X

j=1

a

j

= 0

shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy a

1

, a

2

, . . . , a

n

haqiqiy sonlar uchun quyidagi

tengsizlikni isbotlang:









P

i

a

i

a

j

n

2











2

+

1

3

≥

2

P

i

a

i

a

j

a

k

3

n

3



.

1

Qiyin masalani oson qadamlar bilan yechamiz.

Quyida qadamlar berilgan. Shularni isbotlang. Ballar qiyinchilik darajasiga

qarab bo‘lingan. Umumiy ball=26.

Ushbu masala orqali gruppa automorfizm gruppa sining ba’zi xossalarini

o‘rganamiz. Oldiniga gruppa gomomorfizmiga doir bir nechta masalalar orqali

qadamma-qadam keltirib boramiz. Berilgan masalalarni oldingi qadamlarga er-

gashish orqali isbotlash talab etiladi, zero har bitta qadam o‘zidan oldingilariga

bog‘liqdir.

1-Ta’rif. Aytalik, (G, ·), (G

1

, ·

1

) gruppalar va h : G → G

1

funksiya (grup-

palar kategoriyasidagi morfizm) berilgan. Agar barcha a, b ∈ G lar uchun

h(a · b) = h(a) ·

1

h(b).

(1)

shart bajarilsa, h ga G dan G

1

ga gomomorfizm deyiladi. h ning yadrosi (kernel)

va aksi (image) deganda, mos ravishda quyidagi

Ker h := {g ∈ G : h(g) = e

1

}

va

Im h := {h(g) ∈ G

1

: g ∈ G}

(2)

nazarda tutiladi, bu yerda e

1

− G

1

ning birlik elementi.

1-Teorema. Ker h - G ning normal qism gruppasi, Im h - G

1

ning qism

gruppasi bo‘ladi.

2-Ta’rif. h : G → G

1

gomomorfizm berilgan.

• agar u G ni G

1

ga suyektiv akslantirsa (ya’ni ustiga akslantirsa), h epi-

morfizm deyiladi;

• agar h inyektiv bo‘lsa u monomorfizm deyiladi,;

• ham epimorfizm, ham monomorfizm bo‘lgan gomomorfizmga izomorfizm

deyiladi.

3-Ta’rif. Agar G va G

1

gruppalar orasida isomorfizm mavjud bo‘lsa, u

holda ular o‘zaro izomorf deyiladi va G ' G

1

ka’bi belgilanadi.

2-Teorema.

h : G → G

1

gomomorfizm berilgan bo‘lsin.

U holda h

monomorfizm bo‘lishi uchun Ker h = {e} bo‘lishi zarur va yetarlidir, bu yerda

e− G ning birlik elementi.

Ma’lumki, agar H ⊂ G gruppa G ning normal qism gruppasi ya’ni H C G

bo‘lsa, u holda

G/H := {gH : g ∈ G}

2

quotient group ni aniqlashimiz mumkin, bu yerda gruppa amali

(g

1

H) ·

G/H

(g

2

H) = (g

1

·

G

g

2

)H

ka’bi aniqlanadi. Demak, 1-Teorema dan Ker h C G bo‘lganligi uchun ya‘ni

normal qism gruppa bo‘lganligi uchun, G/Ker h quotient gruppa aniqlangan

bo‘ladi.

3-Teorema. (Izomorfizmning 1-teoremasi) Bizga h : G → G

1

epimorfizm

berilgan bo‘lsin, ya’ni suryektiv gomomorfizm. U holda

G/Ker(h) ' G

1

(3)

bo‘ladi.

4-Ta’rif. Agar G

1

sifatida ham G ni o‘zini oladigan bo‘lsak, h : (G, ·) →

(G, ·) ga G dan o‘z-o‘ziga gomomorfizm deyiladi, ya’ni, barcha a, b ∈ G lar

uchun

h(a · b) = h(a) · h(b).

Agar h : (G, ·) → (G, ·) izomorfizm bo‘lsa, u holda unga automorfizm deyiladi

va G ning barcha automorfizmlari to‘plami Aut(G) kabi belgilanadi.

Step 1. (2 ball) Agar h, f ∈ Aut(G) bo‘lsa, u holda h ◦ f ham G ning

automorfizmi ekanligini isbotlang, bu yerda ◦– funksiyalar kompozitsiyasi

(superpozitsiya). Undan tashqari (Aut(G), ◦) gruppaligini ko‘rsating.

5-Ta’rif. (Aut(G), ◦) gruppaga G ning automorfizm gruppa si deyiladi.

Aytaylik a ∈ G uchun θ

a

: G → G funksiya (morfizm) quyidagicha aniqlan-

gan:

∀b ∈ G

uchun

θ

a

(b) = aba

−1

∈ G.

U holda θ

a

∈ Aut(G) bo‘ladi (oldingi teoremalardan foydalanib, mustaqil

tekshirib ko‘rishingiz mumkin).

6-Ta’rif. θ

a

ga G ning ichki automorfizmi (inner automorphism) deyiladi

va barcha ichki automorfizmlari to‘plami Inn(G) kabi belgilanadi, ya’ni

Inn(G) := {θ

a

: a ∈ G}.

(4)

1-Teorema va 3-Teorema dan foydalangan holda quyidagini ko‘rsating:

3

Step 2. (6 ball) Inn(G) gruppa Aut(G) ning normal qism gruppasi, ya’ni

Inn(G) C Aut(G) ekanligini isbotlang hamda

Inn(G) ' G/Z(G)

(5)

ekanligini ko‘rsating, bu yerda Z(G) := {g ∈ G : ∀a ∈ G, ga = ag} −G

ning markazi.

Yuqoridagi qadamdan foydalanib, quyida keltirilgan uchta steplarni yeching.

Step 3. (4 ball) Agar G cyclic gruppa (|G|= n) bo‘lsa, Aut(G) ni toping.

|G|= |Aut(G)|+1 bo‘ladigan cheksiz ko‘p G gruppa mavjudligini ko‘rsating.

Step 4. (6 ball) |Aut(G)|= |G|+1 bo‘ladigan G gruppa mavjud emasligini

isbotlang.

Step 5. (8 ball)

• |Aut(G)|= |G|+2 bo‘ladigan barcha G gruppalarni toping.

• |Aut(G)|= |G|−2 bo‘ladigan barcha G gruppalarni toping.

Yechimlaringizni 17.05.2020 yil soat 18:00 gacha [phone] nomerga

telegramda jo‘natishingiz mumkin.

4