Va uzluksizligi
Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
Download 368.04 Kb.
|
4-mustaqil ishi 44
Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar�(�) = �4 − 2�2 + 3 funksiyaning [−3; 2] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin. Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz: �′(�) = (�4 − 2�2 + 3)′ = 4�3 − 4�; 2) �′(�) = 0 tenglamani yechib kritik nuqtalarni topamiz: 4�3 − 4� = 0, �(�2 − 1 ) = 0, �1 = −1, �2 = 0, �3 = 1; 3) Kritik nuqtalarning har uchalasi [−3; 2] kesmaga tegishli. Funksiyaning kritik nuqtalardagi va kesmaning chetlaridagi qiymatlarini hisoblaymiz. �(−3) = (−3)4 − 2 ∙ (−3)2 + 3 = 81 − 18 + 3 = 66, �(−1) = �(1) = = 14 − 2 ∙ 12 + 3 = 2, �(0) = 0 − 0 + 3 = 3, �(2) = 24 − 2 ∙ 22 + +3 = 11. Bu qiymatlarni taqqoslab �(−3) = 66 eng katta qiymat �(±1) = 2 eng kichik qiymat ekanligini aniqlaymiz. �(�) = �3 − 3�2 + 1 funksiyaning [1; 3] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin. Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz: �′(�) = (�3 − 3�2 + 1)′ = 3�2 − 6�; Kritik nuqtalarni topamiz: 3�2 − 6� = 0, �(� − 2) = 0, �1 = 0, va �2 = 2; Demak, kritik nuqta ikkita bo’lib, ulardan biri, ya’ni �1 = 0 nuqta qaralayotgan kesmaning ichki nuqtasi bo’lmaydi. Shuning uchun �2 = 2 kririk nuqtanigina olamiz. Shunday qilib, biz �(1), �(2) va �(3) larni topamiz. �(1) = 13 − 3 ∙ 12 + 1 = −1; �(2) = 23 − 3 ∙ 22 + 1 = −3; �(3) = 33 − 3 ∙ 32 + 1 = 1. Demak, �(3) = 1 eng katta qiymat va �(2) = −3 eng kichik qiymat bo’ladi. � = �2��� funksiyaning [1; �] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin. Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz: �′ = (�2��� )′ = 2���� + �2 ∙ 1 = 2���� + � = �(1 + 2���); � �′ = 0 tenglamani yechib kritik nuqtalarni topamiz: �(1 + 2���) = 0, � = 0, 1 + 2��� = 0, ��� = − 1, � = � 1 2 2 1 − 1 2 . Demak, �1 = 0 va �2 = �−2 kritik nuqtalar bo’lib, ularning har ikkalasi [1; �] kesmaga tegishli emas. Bundan tashqari, �1 = 0 nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga kirmaydi; Funksiyaning kesma chegaralaridagi qiymatlarini hisoblaymiz. �(1) = 12��1 = 0; �(�) = �2��� = �2. Demak, �(1) = 0 funksiyaning [1; �] kesmadagi eng kichik qiymati va �(�) = �2 funksiyaning eng katta qiymati ekan. � = ������2 funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati topilsin. Yechish: Bu yerda � argumentning o’zgarishi biror kesma bilan chegaralanmagan va funksiya (−∞; +∞) da aniqlangan. Shuning uchun biz funksiyaning qiymatlarini � ning (−∞; +∞) dagi qiymatlarida qaraymiz. 1) �′ hosilani topamiz: �′ = (������2 )′ = 2� ; 1+�4 Kritik nuqtalarni topamiz: 2� 1+�4 = 0, � = 0. Demak, � = 0 nuqta kritik nuqta. Boshqa kritik nuqtalar mavjud emas. Chunki �′ hosila � ning har qanday qiymatlarida mavjud. � = 0 nuqtaning atrofida hosilani ishorasini tekshiramiz. � < 0 da �′ = 2� 1+�4 < 0 va � > 0 da �′ = 2� > 0 1+�4 bo’lishi ma’lum. Demak, berilgan funksiya � = 0 nuqtada minimumga ega va bu minimum funksiyaning eng kichik qiymati bo’ladi. U quyidagiga teng. �(0) = �����02 = �����0 = 0. Perimetri 2� bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklar ichidan yuzi eng katta bo’lganini toping. Yechish: Biz tekshiradigan funksiya to’g’ri to’rtburchakning yuzidan iborat bo’ladi. Bu funksiya � = �� ko’rinishda bo’ladi. Masalaning shartiga asosan 2� + 2� = 2� yoki � + � = �. Bundan � ni � orqali ifodasini aniqlaymiz va uni � ga qo’yamiz: � = � − � bo’lganligi uchun � = � ∙ (� − �) yoki �(�) = �� − �2 bo’ladi. Bu yerda 0 ≤ � ≤ � bo’lishi ravshan. Shunday qilib, berilgan masala �(�) = �� − �2 funksiyaning [0; �] kesmadagi eng katta qiymatini topishga keltirildi. Uni aniqlaymiz: Funksiya hosilasini aniqlaymiz: �′(�) = � − 2�. Kritik nuqtalarni topamiz: � − 2� = 0, � = 𝑝. 2 � = 𝑝 kritik nuqtadagi funksiyaning qiymatini topamiz: 2 � � � ( ) = � ∙ ( 2 2 − �)2 = 2 �2 �2 �2 − = . 2 4 4 [0; �] kesmaning chegaralarida funksiyaning qiymatlarini topamiz: �(0) = 0, �(�) = 0. Demak, funksiyaning [0; �] kesmadagi eng katta qiymati ( � 𝑝) = 2 𝑝2 4 bo’ladi. Endi � ni topamiz: � = � − � = � − 𝑝 = 𝑝, Demak, � = �. 2 2 Shunday qilib, izlanayotgan to’g’ri to’rtburchak tomoni 𝑝 2 dan iborat bo’lgan kvadrat bo’ladi. � musbat sonni ikkita qo’shiluvchiga shunday ajratingki, bu qo’shiluvchilarning ko’paytmasi eng katta bo’lsin. Yechish: Qo’shiluvchilardan biri � bo’lsin: u holda ikkinchi qo’shiluvchi � − � bo’ladi. Bu qo’shiluvchilarning ko’paytmasi o’zgaruvchi miqdor bo’ladi. Agar biz uni � bilan belgilasak, u (� − �)� ga teng bo’ladi. Bu yerda 0 ≤ � ≤ � ekani ravshan. Shunday qilib, berilgan masala � = �� − �2 funksiyaning [0; �] kesmadagi eng katta qiymatini topishga keltirildi. Uni topamiz: Funksiyaning hosilasini topamiz: �′ = (�� − �2)′ = � − 2�; Kritik nuqtalarni topamiz: � − 2� = 0, � = �; 2 � = � kritik nuqtadagi funksiyaning qiymatini topamiz: 2 2 2 2 2 ( � (� ) = � ∙ � − � ) = � − � = � ; 2 2 2 2 4 4 [0; �] kesmaning chegaralarida funksiyaning qiymatlarini topamiz: 2 �(0) = 0, �(�) = � ∙ � − �2 = �2 − �2 = 0. ( Demak, funksiyaning [0; �] kesmadagi eng katta qiymati � � ) = � 2 4 bo’ladi. Birinchi qo’shiluvchi � = � bo’lib, ikkinchi qo’shiluvchi ham � − � = 2 � − � = � bo’lsa, qo’shiluvchilarning ko’paytmasi eng katta bo’lar ekan. 2 2 Jism �(�) = −�3 + 9�2 + 24� qonun bo’yicha to’g’ri chiziqli harakat qiladi, bunda �(�) −yo’l (metr hisobida) va � vaqt (sekund hisobida). Vaqtning qanday paytida jism harakatining tezligi eng katta va u qancha bo’ladi? Yechish: Jism harakatining tezligi yo’ldan vaqt bo’yicha olingan hosilaga teng: Ya’ni, 𝑉(�) = �′(�) = (−�3 + 9�2 + 24� )′ = −3�2 + 18� + 24. Shunday qilib, berilgan masalani yechish 𝑉(�) = −3�2 + 18� + 24 funksiyaning ekstremumini topish masalasiga keltirildi. Funksiyaning hosilasini olamiz: 𝑉′(�) = −6� + 18; Kritik nuqtalarini topamiz: −6� + 18 = 0, � = 3. Demak, funksiya birgina kritik nuqtaga ega. � = 3 nuqtaning chap va o’ng tomonida hosila ishorasini aniqlaymiz: � < 3 bo’lganda 𝑉′(3) > 0 va � > 3 bo’lganda 𝑉′(3) < 0 bo’ladi. Shunday qilib, hosila � = 3 nuqtadan o’tishda o’z ishorasini musbatdan manfiyga o’zgartirdi. Shuning uchun � = 3�. bo’lganda jismning tezligi eng katta bo’ladi va uning miqdori 𝑉(�) = −3 ∙ 32 + 18 ∙ 3 + 24 = 51 � 𝑠 bo’ladi. Tubi kvadrat shaklida va hajmi 32�3 bo’lgan usti ochiq cho’milish havzasining devorlari hamda tubini qoplash uchun sarflanadigan material eng kam bo’lishi uchun cho’milish havzasining o’lchamlari qanday bo’lishi kerak? Yechish: Asosi tomonini � bilan, chuqurligini � bilan belgilaymiz. U holda cho’milish havzasining hajmi 𝑉 = �2� bo’ladi. Suv havzasining material bilan qoplanadigan yuzasi � = �2 + 4�� bo’ladi. 𝑉 = �2� dagi � ni � orqali ifodalaymiz va uni � ga qo’yamiz. Natijada � = �2 + 4� � = �2 + 4� = �2 + 128 �2 � � ni hosil qilamiz. Hosil bo’lgan bu funksiyani (0; +∞)da ekstremumga tekshiramiz. �′ = (�2 + 128)′ = 2� − 128 ; 2� − 128 = 0; � − 64 = 0; � = 4. � �2 �2 �2 � = 4 nuqtaning chap va o’ng tomonlarida �′(�) ning ishorasini aniqlaymiz. �′(�)|�<4 < 0 va �′(�)|�>4 > 0 Demak, funksiya � = 4 nuqtada minimumga ega va bu minimum funksiyaning eng kichik qiymati bo’ladi. Suv havzasining chuqurligi � � = �2 32 = = 2. 16 Download 368.04 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling