Vektor maydonidagi ikkinchi tartibli amallar

VEKTOR MAYDONIDAGI IKKINCHI TARTIBLI AMALLAR
NABLA OPERATORI BILAN ALMASHTIRISH


fazoning sohasida

vektor maydon berilgan bo‘lsin, unda funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar.
Ta’rif. vektor maydonning diverginsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb nuqtaning skalyar maydoniga aytiladi, u ko‘rinishda yoiladi va

formula bilan aniqlanadi, bu yerda xususiy hosilalar nuqtada hisoblanadi.
Divergensiyadan foydalanib, Ostogradskiyning (10) formulasini vektor shaklida qayta yozish mumkin:

Uni bunday ifodalash mumkin: yopiq sirt orqali o‘tuvchi (bu sirt tashqi normali yo‘nalishida orientirlangan) vektor maydon oqimi shu sirt bilan chegaralangan hajm bo‘yicha maydon divergensiyasidan olingan uch karrali integralga teng.
Divergensiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi:



bu yerda skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
1.Divergensiyaning invariant ta’rifi. Divergensiyani (67) formula yordamida aniqlash koordinata o‘qlarini tanlash bilan bog‘liq. Ostogradskiyning (16) formulasidan foydalanib, divergensiyaning koordinatalar o‘qlarini tanlash bilan bog‘liq bo‘lmagan boshqa ta’rifini berish mumkin.
Bu formulaning o‘ng qismida uch karrali integral turibdi. O‘rta qiymat haqidagi ma’lum teoremaga ko‘ra bu integral hajm bilan integral osti funksiyasining sohaning biror nuqtasidagi qiymati ko‘paytmasiga teng. Shuning uchun (67) Ostogradskiy formulasini quyidagicha yozish mumkin:

yoki

Agar soha nuqtaga tortilsa yoki bo‘lsa, u holda nuqta ga intiladi. Natijada limitga o‘tib, quyidagini hosil qilamiz:

yoki

Endi divergensiyaning koordinata o‘qlarini tanlash bilan bog‘liq bo‘lmagan invariant ta’rifini berish mumkin.
Ta’rif. nuqtada vektor maydonning divergensiyasi deb, nuqtani o‘rab olgan yopiq sirt orqali o‘tuvchi maydon oqimining shu sirt bilan chegaralangan qismning hajmiga nisbatining bu hajm nuqtaga tortilgandagi, ya’ni dagi limitiga aytiladi.
2.Divergensiyaning fizik ma’nosi. (68) divergensiya tushunchasiga fizik talqin beramiz.
Faraz qilaylik, sohada oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni berilgan bo‘lsin.
Ushbu

nisbat hajm birligiga bo‘lingan suyuqlik miqdorini aniqlaydi, ya’ni manbaning ( bo‘lganda) yoki ( bo‘lganda) o‘rta hajmiy quvvatini ifodalaydi. Bu nisbatning limiti

(17) divergensiya bo‘lib, u berilgan nuqtadagi suyuqlik sarfining hajm birligiga nisbatini ifodalaydi.
Agar bo‘lsa, suyuqlik sarfi musbat, ya’ni nuqtani o‘rab olgan cheksiz kichik sirt orqali tashqi normal yo‘nalishida suyuqlik oqib kirganidan ko‘proq oqib chiqib ketadi. Bunda nuqta manba bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, u holda nuqta qurdum bo‘ladi. kattalik manbaning yoki qurdumning quvvatini ifodalaydi.
Agar bo‘lsa, u holda nuqtada na manba na qurdum bo‘ladi. (67) vektor shaklida yozilgan Ostogradskiy teoremasi oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonida yopiq sirt orqali oquvchi suyuqlikning oqimi hamma manbalar ba qurdumlar quvvatlarining yig‘indisiga teng bo‘lishini, ya’ni qaralayotgan sohada vaqt birligi ichida paydo bo‘ladigan suyuqlik miqdoriga teng bo‘lishini ifodlaydi.