Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning o’qqa proyeksiyasi. Vektorni bazislar bo’yicha yoyish

Misol: _{ } parabolada fokal radius vektori 20 bo`lgan nuqta topilsin.
Yechilishi: M(x;y) nuqta olsak<sub> 
 </sub>formulaga ko`ra 20=x+2 x=18 _{ }
Javob:_{ }
Misol:_{ } parabolaning _{ }=1 ellips bilan kesishish nuqtalarini toping.
Yechilishi: Ellips tenglamasidagi_{ } ni o`rniga parabola tenglamasidagi<sub> </sub> ni qo`yamiz. 16_{ }
4_{ }+75x-100=0D=_{ }

Javob: A_{ }

Ikkinchi tartibli aylanma sirtlar.
Ta’rif. Biror affin reperda ikkinchi tartibli algebraik tenglama bilan aniqlanadigannuqtalar to’plami ikkinchi tartibli sirtdeb ataladi:
𝑆: 𝑎11𝑥2 + 𝑎22𝑦2 + 𝑎33𝑧2 + 2𝑎12𝑥𝑦 + 2𝑎13𝑥𝑧 + 2𝑎23𝑦𝑧 + 2𝑎14𝑥 +
+2𝑎₂₄𝑦 + 2𝑎₃₄𝑧 + 𝑎₄₄ = 0, (2.1.1)
Bunda
𝑎112 + 𝑎222 + 𝑎332 + 𝑎122 + 𝑎132 + 𝑎232 ≠ 0, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖, 𝑖,𝑗 = 1, 2,3,4. (2.1.2)
Avvalo, bu sirtning biror 𝑢 to’g’ri chiziq bilan kesishishi masalasini ko’rib chiqaylik. Faraz qilaylik, 𝑢 to’g’ri chiziq 𝑆 sirt qaralayotgan affin reperda quyidagi parametric tenglamalar bilan berilgan bo’lsin:
𝑥 = 𝑥₀ + 𝑙𝑡
𝑢: 𝑦 = 𝑦₀ + 𝑚𝑡 (2.1.3)
𝑧 = 𝑧₀ + 𝑛𝑡
𝑆 bilan 𝑢 ning kesishmasini topish uchun ularning tenglamalarini birgalikda yechish kerak. Shuning uchun (2.1.3) dagi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ning qiymatlarini (2.1.1) ga qo’yamiz:
𝑎₁₁(𝑥₀ + 𝑙𝑡)² + 𝑎₂₂(𝑦₀ + 𝑚𝑡)² + 𝑎₃₃(𝑧₀ + 𝑛𝑡)² + 2𝑎₁₂(𝑥₀ + 𝑙𝑡)(𝑦₀ + 𝑚𝑡) + +2𝑎₁₃(𝑥₀ + 𝑙𝑡)(𝑧₀ + 𝑛𝑡) + 2𝑎₂₃(𝑦₀ + 𝑚𝑡)(𝑧₀ + 𝑛𝑡) + 2𝑎₁₄(𝑥₀ + 𝑙𝑡) +
+2𝑎₂₄(𝑦₀ + 𝑚𝑡) + 2𝑎₃₄(𝑧₀ + 𝑛𝑡) + 𝑎₄₄ = 0.
Qavslarni ochib, o’xshash xadlarni ixchamlasak, 𝑡 ga nisbatan kvadrat tenglama hosil bo’ladi:
𝑃𝑡² + 2𝑄𝑡 + 𝑅 = 0, (2.1.4)
bunda:
𝑃 = 𝑎11𝑙2 + 𝑎22𝑚2 + 𝑎33𝑛2 + 2𝑎12𝑙𝑚 + 2𝑎13𝑛𝑙 + 2𝑎23𝑚𝑛,
𝑄 = 𝑙(𝑎11𝑥0 + 𝑎12𝑦0 + 𝑎13𝑧0 + 𝑎14) + 𝑚(𝑎21𝑥0 + 𝑎22𝑦0 + 𝑎23𝑧0 + 𝑎24) +
+𝑛(𝑎₃₁𝑥₀ + 𝑎₃₂𝑦₀ + 𝑎₃₂𝑧₀ + 𝑎₃₄), (2.1.5)
𝑅 = 𝑎11𝑥02 + 𝑎22𝑦02 + 𝑎33𝑧02 + 2𝑎12𝑥0𝑦0 + 2𝑎13𝑥0𝑧0 + 2𝑎23𝑦0𝑧0 +
+2𝑎14𝑥0 + 2𝑎24𝑦0 + 2𝑎34𝑧0 + 𝑎44
(2.1.5) dan ko’rinib turibdiki, 𝑃 koeffitsient 𝑢 to’g’ri chiziqning ( 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) nuqtasiga bog’liq bo’lmasdan, 𝑢 ning faqat yo’naltiruvchi vektorigagina bog’liqdir.
Ta’rif. Yo’naltiruvchi vektorlari 𝑃 = 0 shartni qanoatlantiradigan barcha to’g’ri chiziqlar berilgan sirtga nisbatan asimptotik yo’nalishga ega bo’lgan to’g’ri chiziqlar deyiladi, yo’naltiruvchi vektorlarni esa asimptotik yo’nalishli vektorlar deyiladi.
Agar 𝑢 to’g’ri chiziq 𝑆 sirtga nisbatan asimptotik yo’nalishga ega bo’lmasa (ya’ni 𝑃 ≠ 0 bo’lsa), u holda (2.1.4) kvadrat tenglama ikkita 𝑡₁, 𝑡₂ ildizga ega bo’ladi, bunda 𝑡₁, 𝑡₂ ikkkita turli haqiqiy son bo’lsa, to’g’ri chiziq sirt bilan ikkita umumiy nuqtaga egadir.
𝑡₁, 𝑡₂ qo’shma kompleks sonlar bo’lsa , u holda to’g’ri chiziq sirt bilan ikkita mavhum umumiy nuqataga ega, 𝑡₁ = 𝑡₂ da to’g’ri chiziq sirt bilan ustma – ust tushadigan ikkita umumiy nuqtaga ega bo’lib to’gri chiziq sirtga urinadi deyiladi.