Vektorlar va ular ustida amallar Mundarija: I. bob. Vektor tushunchasi va eng oddiy amallar

Isbot.  Vektorni koordinatalar sistemasining boshiga - O nuqtasiga joylashtiramiz . Keyin uning oxiri qaysidir nuqtaga to'g'ri keladi  .
Nuqta orqali Oyz , Oxz va Oxy  koordinata tekisliklariga parallel uchta tekislik chizamiz (2.11 xx rasm). Keyin olamiz:
. (2.22)
(2.22) da vektorlar Ox , Oy va O z o'qlari bo'ylab vektorning komponentlari deyiladi . 
Birlik vektorlari bo'lgan vektor tomonidan hosil qilingan burchaklarni mos ravishda o'tkazing  va belgilang . Keyin komponentlar uchun quyidagi formulalarni olamiz:
=  =  , = = , = = (2.23) 
(2.21), (2.22) (2.23) dan biz quyidagilarni topamiz:
== ;  _ == ; _ = = (2.23)
– vektorning koordinatalari bu vektorning mos ravishda Ox , Oy va O z  koordinata o‘qlariga proyeksiyalaridir .
Izoh . Raqamlar  vektorning yo'nalish kosinuslari deyiladi  .
Vektorning moduli  (to'rtburchaklar parallelepipedning diagonali) quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
. (2.24)
(2.23) va (2.24) formulalardan kelib chiqadiki, yo'nalish kosinuslarini formulalar yordamida hisoblash mumkin:
=  ;  =  ;  =  . (2,25)
(2.25) dagi har bir tenglikning ikkala qismini ko'tarib, hosil bo'lgan tengliklarning chap va o'ng qismlarini hadlar bo'yicha qo'shib, formulaga kelamiz:
(2.26)
- har qanday uchta burchak fazoda ma'lum bir yo'nalishni emas, balki faqat kosinuslari munosabat bilan bog'liq bo'lgan burchaklarni hosil qiladi (2.26).
Radius vektori va nuqta koordinatalari . Vektorning boshlanishi va oxiri bo'yicha ta'rifi . Keling, ta'rifni kiritaylik.
Ta'rif . Radius vektori (belgilangan ) O koordinatasini shu nuqta bilan  bog'lovchi vektordir (2.12-rasm xx):
. (2.27)
Kosmosdagi har qanday nuqta ma'lum bir radius vektoriga to'g'ri keladi (va aksincha). Shunday qilib, fazodagi nuqtalar vektor algebrasida radius vektorlari bilan ifodalanadi.
Shubhasiz, M  nuqtaning koordinatalari uning radius vektorining koordinata o'qlariga proyeksiyalaridir :
(2,28')
va shunday qilib,
(2,28)
– nuqtaning radius vektori koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari shu nuqtaning koordinatalariga teng bo‘lgan vektordir. Bundan ikkita yozuv kelib chiqadi:  va  .
Vektorning proyeksiyalarini uning boshlang'ich nuqtasi va tugash nuqtasi  koordinatalari bo'yicha hisoblash uchun formulalarni olamiz .
Radius vektorlari va vektorni chizamiz  (2.13-rasm). Biz buni tushunamiz
=  =  (2.29)
– vektorning koordinata vektorlariga proyeksiyalari vektorning oxiri va boshi mos keladigan koordinatalarining ayirmalariga teng.