Vektorlar va ular ustida amallar Mundarija: I. bob. Vektor tushunchasi va eng oddiy amallar

Koordinata shaklidagi vektorlar ustida chiziqli amallar . Bazisning kiritilishi vektorlar ustidagi chiziqli amallarni raqamlar ustidagi oddiy chiziqli amallar - bu vektorlarning koordinatalari bilan almashtirish imkonini beradi.
Bir oz asos berilsin  . Shubhasiz, bu asosda vektorning koordinatalarini o'rnatish vektorning o'zini to'liq aniqlaydi. Quyidagi takliflar mavjud:
a) ikkita vektor  va  agar ularning tegishli koordinatalari teng bo'lsa, teng bo'ladi:
; (2.14)
b) vektorni songa ko'paytirishda  uning koordinatalari shu songa ko'paytiriladi:
; (2.15)
v) vektorlarni qo'shganda ularning tegishli koordinatalari qo'shiladi:
. (2.16)
Biz bu xususiyatlarning dalillarini o'tkazib yuboramiz; b) xossasini faqat misol tariqasida isbotlaylik. Bizda ... bor
==  _
=  =  .
Izoh . Kosmosda (tekislikda) cheksiz ko'p asoslarni tanlash mumkin.
Biz bir bazisdan ikkinchisiga o'tishga misol keltiramiz, turli asoslarda vektor koordinatalari o'rtasidagi munosabatni o'rnatamiz.
1-misol . Asosiy tizimda  uchta vektor mavjud :  ,  va  . Asosda  ,  ,  vektor  parchalanishga ega  .  Bazisdagi vektorning koordinatalarini toping  .
Yechim . Bizda kengaytmalar mavjud:  ,  ,  ; shuning uchun  =  +2  +  = =  , ya'ni  bazisda  .
2-misol . Qaysi bir asosda  to‘rt vektor ularning koordinatalari bilan berilgan bo‘lsin:  ,  ,  va  .
Vektorlar  asosni tashkil qiladimi yoki yo'qligini aniqlang; ijobiy javob bo'lsa,  bu asosda vektorning parchalanishini toping.
Yechim . 1) vektorlar chiziqli mustaqil bo'lsa, asos bo'ladi.  ( ) vektorlarning chiziqli birikmasini tuzamiz va qaysi biri uchun yo‘qolishini  aniqlaymiz : =0. Bizda ... bor:
=  +  +  =
=  .
Koordinata shaklidagi vektorlar tengligini aniqlash orqali quyidagi (chiziqli bir jinsli algebraik) tenglamalar tizimini olamiz:  ;  ;  , uning determinanti  =1  , ya'ni sistemada (faqat) ahamiyatsiz yechim mavjud  . Bu vektorlarning chiziqli mustaqil ekanligini anglatadi  va shuning uchun ular asosni tashkil qiladi.
2) bu asosda vektorni kengaytiring . Bizda:  =  yoki koordinata shaklida  .
Koordinata ko'rinishidagi vektorlar tengligiga o'tib, chiziqli bir jinsli bo'lmagan algebraik tenglamalar tizimini olamiz:  ;  ;  . Uni yechish (masalan, Kramer qoidasiga ko'ra) biz quyidagilarni olamiz:  ,  ,  va (  )  . Bizda vektorning parchalanishi  bazisda mavjud  :  =  .