Vektorlarning chiziqli bog’ligi aftin kordinatalari haqida tushuncha

a₂, a₃ bazis vektorlari bo`yicha yagona usulda yoyilishi mumkin.
n-o`lchovli haqiqiy arifmetik fazo (R_n) ortogonal bazisi deb, vektorlari juft-jufti bilan o`zaro ortogonal bo`lgan bazisga aytiladi.
R_n fazo ortonormallangan bazisi deb esa, har bir vektori normallangan ortogonal bazisga aytiladi.
n-o`lchovli n ta e<sub>1</sub>(1; 0; …; 0), e<sub>2</sub>(0; 1; …; 0), …, e<sub>n</sub>(0; 0; …; 1) vektorlardan iborat ortonormallangan bazisga R<sub>n</sub> fazo kanonik bazisi deyiladi.
Xususan, i(1; 0), j(0; 1) bazis R<sub>2</sub> fazo kanonik bazisi deyilsa, i(1; 0; 0), j(0; 1; 0), k(0; 0; 1) bazis esa R<sub>3</sub> fazo kanonik bazisi deyiladi.
Tekislikda (fazoda) ortonormallangan bazisli Dekart koordinatalar sistemasiga to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi deyiladi (9.3-rasm, 9.4-rasm).

3-rasm 4-rasm

R_n fazoda berilgan ixtiyoriy chiziqli erkli vektorlar sistemasini fazo bazisigacha to`ldirish mumkin.

V-bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy to’plam , R esa R yoki S dan iborat sonli maydon bo’lsin .
Ta’rif:Agar V to’plamning ixtiyoriy ikkita elementi uchun kushish amali va V to’plamning ixtiyoriy elementi bilan R maydonning ixtiyoriy elementlarining ko’paytirish amali aniqlangan bo’lib, quyidagi shartlar bajarilsa:
1. X+Y=Y+X X, Y V
2. X+(Y+Z)=(X+Y)+Z X,Y,Z V
3. V da shunday element mavjudki, har qanday XV uchun X+=X bajariladi.
4. V dagi ixtiyoriy X element uchun unga qarama-qarshi deb nomlanadigan shunday (-X)V element mavjudki , X+(-X)= o’rinli;
5. (+)X=X+X ,  R,  V
6. (X+Y)=X+Y  R,X,YV
7. (X)=()X ,R,XV
8. 1x=x 1 R, XV
u holda V to’plamda Rmaydon ustida vektor fazo deyiladi. R va S maydonlar uchun RS munosabat o’rinli ekanligidan xar bir kompleks vektor fazoni xaqiqiy vektor fazoni xaqiqiy vektor fazosi sifatida qarash mumkin.
Misollar:
1. R va S sonlar maydonining xar biri o’zi ustida vektor fazo bo’ladi. Bundan tashqari S maydonning R maydon ustida vektor fazo ham deb qarash mumkin.
2. Darajasi n(n0) dan katta bo’lmagan haqiqiy (yoki kompleks) koeffistentli bir o’zgaruvchili barcha ko’p hadlar to’plami K_nX haqiqiy (yoki kompleks) vektor fazo bo’ladi.
3. Darajasi 5 ga teng bo’lgan haqiqiy koeffistentli yuir o’zgaruvchili barcha ko’p hadlar to’plami vektor fazo tashkil etmaydi, chunki darajasi 5 gateng bo’lmagan ko’phad bo’lishi mumkin.
4. L₂–fazo
L₂=X=(X₁,X_2…, X_n…)x_i R, ² < }, ya’ni L₂ to’plamning elementlari ² < (1) shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlarning ketma-ketliklardan tashkil topgan. Agar bu to’plamda ikkita vektorning yig’indisini X+U=(x₁, x_2, ..., x_n…)+(y₁, y₂, …,y_n…)=(x₁+y₁, x₂+y₂,…, x_n+y_n…) tenglik bilan, vektorni songa ko’paytirish amalini esa x=(x₁,x₂, …,x_n...) tenglik bilan aniqlasak, L₂ to’plam haqiqiy vektor fazo bo’ladi, L₂ to’plamdan olingan ikkita x va u vektorlarning yig’indisi yana shu to’plamga tegishli bo’lishi, ya’ni yig’indi vektorning (1) shartni qanoatlantirishi quydagicha isbotlanadi. X,UL₂ elementlar uchun x+u=(x₁+y₁, x₂+y_2,...,x_n+y_n…) vektorni quramiz. Quyidagi tenglik
(x_i-y_i)²0
Har qanday x_i va y_i xaqiqiy sonlar uchun bajariladi. Bundan
x_i²+y_i²2 x_i y_i
yoki
2x_i²+2y_i²(x_i + y_i)²
kelib chiqadi. Bu tenglikdan foydalanib
ifoda uchun 2( + )
tenglik bajarilishini hosil qilamiz. Demak
<  tengsizlik ham o’rinli bo’ladi, ya’ni x+uL₂ kelib chiqadi.
5. m-fazo, m to’plam chegaralangan barcha ketma-ketliklardan tashkil topgan bo’lsin, ya’ni

{x={x_n}EK_Xx_iK_X }

Bu to’plam ham xuddi yuqoridagidek usul bilan amallarni aniqlasak, uning haqiqiy vektor fazo ekanligini ko’rsatish mumkin.
6. s-fazo. s-to’plam barcha haqiqiy ketma-ketliklardan iborat, ya’ni

S={x={x_n}x_iR}

Bu to’plam yuqoridagi L₂ va m to’plamlar kabi vektor fazo tashkil etadi.
7. S[a,b]-to’plam [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lgan haqiqiy (yoki kompleks) o’zgaruvchi li barcha funksiyalardan tashkil topgan. Unda
(f+g)(x)=f(x)+g(x) f,gC[a,b]
( f)(x)= f(x) R(yoki C) fC[a,b]
tengliklar bilan vektorlarni qo’shish va vektorlarni songa ko’paytirish amallarini aniqlasak, vektor fazo ta’rifidagi 1-8 shartlar bajariladi, ya’ni C[a,b] to’plam haqiqiy (yoki kompleks) vektor fazo tashkil etadi.
Vto’plam Rmaydon ustida vektor fazo tashkil etilsin.Agar V fazoning x,u,.....,z vektori uchun kamida bittasi 0 dan farqli bo’lgan ,,...,   R skalyarlar mavjud bo’lib,
x+u+...z=0 (2)
tenglik bajarilsa, u holda x,u,...,z vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan, agar (1) tenglik faqatgina barcha skalyarlar ==…==0 bo’lgandagina bajarilsa, bu vektorlar sistemasini chiziqli erkli deyiladi.
Misollar: 1. S to’plam haqiqiy vektor fazo bo’lib, uning
x=2+i
y=-1+3i
vektorlarni chiziqli bog’lanmagandir. Haqiqatdan ham,
x+u=0 , R
ya’ni (2+i)+ (-1+3i)=0 tenglikdan (2-)+(-3) i=0 tenglik kelib chiqadi. Kompleks sonlarning tenglik shartidan foydalanib,
2-=0
-3=0 sistemani hosil qilamiz. Oxirgi sistema faqatgina =0 va =0 trivial echimga ega bo’ladi. Demak x va u vektorlar chiziqli erklidir.
Agar S to’plam o’zi ustida vektor fazo deb qarasak, berilgan x=2+I va y=-1+3i vektorlar chiziqli bog’langan bo’ladi, chunki x+u=0 (2) tenglikni qanoatlantiruvchi  va  lar kompleks son bo’lishini e’tiborga olsak, bu (2) tenglama cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi. Masalan =1 bo’lsa, (2+i)-1+3i=0
= yoki = (-1-7i)0 ya’ni =- (2’) tenglamani bitta echimi bo’ladi.
2. K_n[x] vektor fazoning f₁(x)=1, f₂(x)=x, f₃(x)=x², f₄(x)=x³ vektorlari sistemasi chiziqli bog’lanmagan. Haqiqatdan ham,
₁f₁+₂f₂+₃f₃+_nf_n=0 tenglik
₁+₂x+₃x²+₄x³=0 ko’rinishga ega bo’ladi. Ko’phadlarning tenglik shartidan foydalanib, ₁=₂=₃=₄=0 tengliklarni hosil qilamiz. Demak f₁, f₂, f₃, f₄ vektorlar sistemasini chiziqli erklidir. Shunisi e’tiborligi, bu to’plamda ixtiyoriy son nN uchun n ta vektordan iborat chiziqli erkli sistemani ko’rsatish mumkin.