Vektorni differensiallash qoidalari

Vektorni differensiallash qoidalari
Bir necha vektor yig’indisining hosilasi shu vektorlar hosilalarining yig’indisiga teng.
Darhaqiqat , avvalo , ikki vektor yig’indisi R (t) = r(t) + q(t) berilgan bo’lsin . Bu yerdan R = r(t + ) – r(t) + q(t + – q(t) = + bo’ladi. Buning ikkala tomonini ga bo’lib , limitga o’tamiz
= + lim yoki (t) = (t) + (t) .
Vektorlarning soni ikkidan ortiq bo’lganda ham bu da’vo xuddi shu yo’l bilan isbotlanadi . Endi , r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k vektorni differensiallaylik, natijada :
(t) = (t) i + (t) j + (t) k
hosil bo’ladi. Xuddi shunga o’xshash
( r(t) q(t) ) = q + r ,
= + .
Misol uchun , bu tenliklardan ikkinchisini isbotlaymiz.
Ushbu
= - .
ayirmani olib , bir – biriga teng va ishoralari qarama qarshi hadlarini qo’shamiz :
= - + - .
Umumiy ko’paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarsak :
= + = +
hosil bo’ladi . Endi ga bo’lib , limitga o’tamiz:
= + .
bo’lganda lim = 0 , demak :
( rq ) = +
bo’ladi.
Natijalar : 1. O’zgaruvchan birlik vektorning xosilasi shu vektorga perpendikulyar vektordir. Haqiqattan , o’zgaruvchan birlik vektorni m bilan belgilab , mm = 1 tenglikdan foydalanamiz.
Uning ikki tomonidan hosila olamiz m + m = 0 yoki 2 m = 0, bundan m kelib chiqadi .
Bu natijaning geometrik ma’nosini quyidagicha tushunish mumkin : o’zgaruvchan birlik m vektorning oxiri aylana chizadi yoki sferada yotadigan chiziq chiza boradi . bu chiziqqa urinma bo’lgani uchun , u aylana yoki sferaning radiusiga , ya’ni m ga perpendikulyar bo’ladi (18-chizma) .
Uzunligi o’zgarmas boshqa vektorlar uchun ham xuddi shu natijani olamiz , ya’ni bunday har bir vektorning hosilasi ham vektor bo’lib , shu vektorga perpendikulardir.
2. m ning koordinata o’qlari bilan tashkil qilagan burchaklarini desak m = i + j + k bo’ladi.
3. m birlik vektor XOY tekisligida yotgan bo’lsa , uni m = m ( shaklida yozish mumkin . burchak 0 dan 360 gacha o’zgarganda, o’zgarganda , m ( ning godografi aylana bo’ladi ( 19- chizma ) . m ( ning yoyilmasi quyidagi shaklda bo’ladi :
m ( = i + j = i .
Uning = - i hosilasi m ( ga perpendikular bo’lgan
m ( vektordir . Bu vektorning yoyilmasi :
m ( ) = i ) + j
yoki
m ( ) = - i + j ;
demk,
m ( ) = - ya’ni
m ‘ ( m (
bo’ladi.
4. Chiziqlarga nisbatan yuqorida qo’yilgan shartlarga binoan x (t) , y (t) , z (t) funksiyalar uzluksiz bo’lib , istalgan tartiblarcha hosilalarga ega . Shuning uchun
x(t) , y(t) , z(t) funksiyalarni Teylor formulasi bo’yicha yoyib , ya’ni :
x (t + ) = x(t) + x’(t) + x”(t) + (t) + (t + ;
y ( t + = y(t) + y’(t) + y”(t) + (t) + (t + ;
z (t + = z(t) + z’(t) + z”(t) + (t) + (t + ,
ularning birinchisini i ga , ikkinchisini j ga , uchinchisini k ga ko’paytirib , hadma – had qo’shsak , natijada r(t) vektor- funksiyaning Teylor formulasi bo’yicha yoyilmasi chiqadi.
r ( r + = r(t) + r’(t) + r”(t) + +
Bu yerda quyidagi qiymatga ega :
= ( t + i + (t + j + (t + ) k ( 0 < < 1)
Ta’rif . Agar r(t) = bo’lsa , R(t) = ifoda r(t) vektor funksiyaning aniqmas integrali deyiladi.
= R(b) – R(a) ifoda r(t) vektor funksiyaning aniq integrali bo’ladi .
Vektor funksiyadan olingan integrallar matematik analizdagi integrallahs qoidalariga bo’ysunadi .
Vektorlar nazariyasini yakunlab , vektorlarning yana ba’zi xssalariga to’xtab o’tamiz.
Yo’nalishi o’zgarmas bo’lgan o’zgaruvchan vektorning xossasi . O’zgaruvchan vektor funksiyaning yo’nalishi o’zgarmas bo’lsa va bu yo’nalishdagi birlik vektorni bilan belgilasak , u holda vektor funklsiyani r(t) = = shaklida yozish mumkin. Bu vektorning hosilasini olamiz:
= = = r(t). Endi ni bilan belgilasak = r(t) bo’ladi. Bu esa
va r (t) vektorlarning kolleniar ekanligini ko’rsatadi. Aksincha , va r(t) kolleniar bo’lsa , r(t) vektor – funksiyaning yo’nalishi doimiy bo’ladi . Buni isbotlaymiz. r(t) ning yo’nalishi o’zgaradi deb faraz qilaylik . U vaqtda ham o’zgaruvchan bo’ladi . Demak , = + bo’ladi. Endi = ga binoan , = + = r(t) + = r(t) +
bo’ladi. Bundan = 0 yoki = 0 kelib chiqadi . Bu esa vektorning doimiy vektor ekanligini isbotlaydi.
Demak, r’(t) = r(t) bo’lsa , r(t) ning yo’nalishi o’zgarmas bo’ladi.
O’zgarmas tekislikka parallel vektor. Agar r(t) vektor- funksiya ma’lum bir tekislikka parallel vaziyatda o’zgarsa , u holda r(t) vektor tekislikning n normal vektoriga perpendikular , ya’ni r(t) n = 0 bo’ladi. Bundan ikki marotaba hosila olamiz: r’(t) n = 0 , r”(t) = 0 . Bu uchta tenglikdan r(t) , r’(t) va r”(t) ning har biri n vektorga perpendikular ekanligi ko’rinadi. Demak, bularning uchalasi ham bir tekislikka parallel , ya’ni o’zaro komplanardir . Shuning uchun bu uchchala vektorning aralash ko’paytmasi nolga teng : ( r(t) r’(t) r’’(t) ) = 0. Aksincha , (r(t) r’’(t)) = 0 bo’lsa , r(t) doimo bir tekislikka parallel bo’ladi. Buni isbotlashni o’quvchiga havola qilamiz.