Vi всероссийской студенческой конференции (28-29 марта 2012 г.) Уфа Башкирский гау 2012

ИССЛЕДОВАНИЕ БИЛЛИАРДНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 
Пусть на плоскости имеется замкнутая кривая Г. Внутри области, 
ограниченной этой кривой, равномерно движется точка по отрезкам прямых, 
упруго отражаясь от кривой по закону «угол падения равен углу отражения». 
Такие траектории называются биллиардными. Задача состоит в том, чтобы 

---

исследовать возможные типы биллиардных траекторий. Биллиардные 
траектории разделяют на периодические и непериодические. Если точка через 
некоторое время возвращается в исходное положение с первоначальной 
скоростью, то такая траектория называется периодической. 
Рассмотрим точечный шар в круге W, ограниченном окружностью. Его 
траекториями являются вписанные в окружность ломаные В
0
В
1
В
2
В
3
…, 
обладающие свойством равенства в точках В
0
,В
1
,В
2
,В
3
,… углов падения и 
отражения, отсчитываемых от касательных. Все звенья траектории равны 
между собой и равны опирающиеся на них центральные углы. Обозначим через 
α радианную меру центрального угла. Вид биллиардной траектории 
определяется числом α. 
Теорема. Если дробь 
α
π
 является рациональным числом, то биллиардная 
траектория периодична. Если число 
α
π
иррационально, то траектория 
непериодична. 
При исследовании биллиардной траектории в круге доказано следующее 
утверждение. 
Теорема. Никакая непериодическая биллиардная траектория в круге не 
содержит двух параллельных звеньев. 
При доказательстве применен метод «от противного».
Теория биллиардов связана с классической механикой и оптикой. 
Методы теории биллиардов применимы к задачам о переливании 
жидкости. Задачи на переливание жидкости можно легко решать, вычерчивая 
биллиардную траекторию точечного шара, отражающего от сторон ромба. 
В теории биллиардов еще немало вопросов, которые остаются открытыми. 
Библиографический список 
1. Г.А. Гальперин, А.Н.Земляков. Математические бильярды. 1990. 288с. 
2. А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем.- 
М.: МЦНМО, 2005.464 с. 
 
УДК 621.635 
Мустафин Т.Ф., Валиахметов Р.И., ФГБОУ ВПО Башкирский ГАУ 
Научный руководитель – Бадретдинов И.Д., ассистент