Выпуклого программирования

На тему: Выпуклого программирования

Выполнил(а): Шавкатов Диёр

Проверил(а): ___________________

Самарканд – 2023
ПЛАН:


Введение
1. Понятие нелинейного программирования
2. Выпуклое программирование
3. Градиентные методы решения задач выпуклого программирования
Заключение
Список литературы решение нелинейное программирование


Введение

Интенсивное развитие методов математического программирования связано с тем, что оптимизационные задачи играют большую роль в самых различных областях человеческой деятельности. Сейчас основное внимание уделяется развитию методов выпуклого программирования. Построен целый ряд алгоритмов, проведены исследования их сходимости. Однако эти алгоритмы применяются довольно редко, и нет достаточной информации, позволяющей судить об их сравнительной эффективности. При использовании методов выпуклого программирования решение исходной задачи обычно определяется как предел минимизирующей последовательности решений более простых (вспомогательных) экстремальных задач.

Полагая в основу тип вспомогательных задач, большинство методов выпуклого программирования можно разделить на две группы.
- К первой группе относятся методы, при реализации которых на каждом шаге приходится решать задачу минимизации линейной или выпуклой функции при линейных ограничениях. Это различные варианты метода возможных направлений (метод отсечения, проекций градиента).
- Ко второй группе относятся методы, с помощью которых искомое решение определяется как предел последовательности безусловных минимумов специальным образом сконструированных вспомогательных функций: метод штрафных функций, центров, множителей Лагранжа.
Мы рассмотрим градиентный метод решения задач выпуклого программирования.

1. Понятие нелинейного программирования

В большинстве инженерных задач построение математической модели не удается свести к задаче линейного программирования.

Математические модели в задачах проектирования реальных объектов или технологических процессов должны отражать реальные протекающие в них физические и, как правило, нелинейные процессы. Переменные этих объектов или процессов связанны между собой физическими нелинейными законами, такими, как законы сохранения массы или энергии. Они ограничены предельными диапазонами, обеспечивающими физическую реализуемость данного объекта или процесса. В результате, большинство задач математического программирования, которые встречаются в научно-исследовательских проектах и в задачах проектирования – это задачи нелинейного программирования (НП). Пусть в математической модели проектируемого объекта или процесса непрерывная функция представляет собой функцию цели (функцию качества),

задают ограничения в виде равенств

задают ограничения в виде неравенств, где

- вектор параметров проектируемого объекта, процесса или системы, оптимальные значения которых должны быть найдены.
Тогда задача нелинейного программирования может быть сформулирована следующим образом:
найти вектор , доставляющий минимум (максимум) целевой функции при m линейных и (или) нелинейных ограничений в виде равенств

и (p-m) линейных и (или) нелинейных ограничений в виде неравенств

В течение последних двух десятилетий из нелинейного программирования выделились самостоятельные разделы:

-выпуклое программирование,
-квадратичное программирование,
-целочисленное программирование,
-стохастическое программирование,
-динамическое программирование и др.
Задачи выпуклого программирования – это задачи, в которых определяется минимум выпуклой функции (или максимум вогнутой), заданной на выпуклом замкнутом множестве. Эти задачи среди задач нелинейного программирования наиболее изучены.
Среди задач выпуклого программирования более подробно изучены задачи квадратичного программирования. В этих задачах целевая функция – квадратичная, а ограничения – линейны.