Wenshu Zhoua b *, Zheng Yao

Доказательство. Для любого и любого ) с мы имеем

где
Для , которому позволяют, где . Начиная с функции расстояния - Lipschitz с постоянным 1, теорема Rademacher’s подразумевает, что это дифференцируемо почти всюду (см. [17, стр 49-51]). Следовательно, для любого может быть выбран как испытательная функция. Заменяя этим в (2.1), мы происходим

и следовательно

Начиная с мы получаем

где C - уверенный постоянный независимый политик . Поэтому, замечая , мы имеем

где C - уверенный постоянный независимый политик . Тогда, для любого и для a.e. мы получаем

Предположите, что там существует таким образом что . Тогда это следует (2.2) это

тогда позволяя , чтобы привести к противоречию. Следовательно
a.e. в
Это подразумевает это
a.e. в
Заключение (1) следует из этого и произвольности
Подобным доказательством как во что (1), заключение (2) может быть доказано. Доказательство Теоремы 2.2 полно.
3. Большое поведение времени решений
Нашим первым главным результатом, а именно, оценка распада как является следующее:
Теорема 3.1. Позвольте и и . Если u - слабое решение проблемы (1.1) - (1.3), то там существует положительный постоянный C, зависящий только от p и таким образом что

Доказательство. Беря в составном равенстве, удовлетворенном , мы происходим

и следовательно

Позволить

Тогда это следует (3.1) и это

Неравенством Poincaré’s мы происходим, это там существует положительный постоянный C, зависящий только p и таким образом что

который и (3.2) подразумевают это

С другой стороны, это следует из неравенства Hölder’s это

где C - положительная константа, зависящая только p и и следовательно

который дает

Это заканчивает доказательство Теоремы 3.1.
Кроме того, мы получаем следующую оценку распада .
Теорема 3.2. Позвольте и . Если u - слабое решение проблемы (1.1) - (1.3), то там существует положительные константы L зависящий только от p, N и , таким образом что
a.e. в
Чтобы доказать Теорему 3.2, мы должны установить следующую теорему сравнения.
Теорема 3.3. Позвольте . Предположите, что u₂ и ui - слабое решение глотка и подрешение для (1.1) на , соответственно, и, a.e. в для некоторого и . Если a.e. в , и a.e. на , то a.e. в .