Xos vektor va xos qiymatlar. Xarakteristik tenglama

Fan: algebra va sonlar nazariyasi Mavzu: chiziqli almashtirishlari ustida bajariladigan amallar. Xos son va xos vektorlar. Xarakteristik ko’phad.

O’qituvchi: M.A.Qodirova

maydon ustida berilgan vektor fazo bo`lsin. -bu fazoning chiziqli operatori bo`lsin.

Ta`rif. Agar vektor skalyar bilan vektor ko`paytmasiga teng bol`sa, vektor operatorning xos vektori deyiladi.

Agar nolmas vektor ko`paytmasiga teng bo`lib, tenglik o`rinli bo`lsa, skalyar operatorning xos qiymati deyiladi.

Agar vektor operatorning xos vektori bo`lsa tenglikni qanoatlantiruvchi skalyarga yagona bo`ladi. bo`lgani uchun tenglikdan kelib chiqadi. Shuning uchun bo`lsa, vektor xos qiymatga tegishli deyiladi.

•  

Misol. V-nol bo`lmagan vektor fazo tanlangan skalyar bol`sin. ni deb tanlaylik. skalyar operatorning xos qiymati bo`ladi (yagona!) vektor xos qiymatga tegishli operatorning xos vektori deyiladi.

Misol. V-nol bo`lmagan vektor fazo tanlangan skalyar bol`sin. ni deb tanlaylik. skalyar operatorning xos qiymati bo`ladi (yagona!) vektor xos qiymatga tegishli operatorning xos vektori deyiladi.

Teorema. fazoning chiziqli operatori bo`lsin va bu operatorning xos vektorlari to`plami to`plam bilan ustma-ust tushadi.

Isboti. Yadroning ta`rifiga ko`ra,

Agar bo`lsa, u holda

Shunday qilib vektor operatorning xos vektori bo`ladi.

operatorning xos vektori bo`lsin, ya`ni bo`lsin, u holda

Demak,

•  

maydon ustingi vektor fazo uning bazisi -bu fazoning chiziqli operatori, operatorning tanlangan bazisga ko`ra, matritsasi bo`lsin.

maydon ustingi vektor fazo uning bazisi -bu fazoning chiziqli operatori, operatorning tanlangan bazisga ko`ra, matritsasi bo`lsin.

operatorning ga tegishli xos vektorini topish uchun ni torish kerak. bo`lsin uning (koordinatalari) tanlangan bazisdagi koordinatalar ustuni

bo`lsin

ga ko`ra, vektorning ustun koordinatalari

, ya`ni bo`ladi. bo`lishi uchun

(1)

bo`lishi zarur va etarli.

•  

(1) ni chiziqli tenglamalar sistemasi quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

(1) ni chiziqli tenglamalar sistemasi quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

(2)

vektor operatorning xos vektori bo`lishi uchun uning satr koordinatalari (2) sistemaning nolmas echimi bo`lishi zarur va etarli. Shunday qilib quyidagi teoremani isbotladik:

Teorema. fazoning chiziqli operatori va operatorning tanlangan bazisga nisbatan matritsasi bo`lsin. vektorning operatorning ga tegishli xos vektori bo`lsin uchun vektorning koordinatalar satri (2) sistemaning nolmas echimi bo`lishi zarur va etarli.

•  

maydon ustidagi arifmetik ustun vektorlarning o`lchovi fazasi bo`lsin. maydon ustidagi tartiblangan matritsa bo`lsin. akslantirishni qaraylik. chiziqli operator bo`ladi.

maydon ustidagi arifmetik ustun vektorlarning o`lchovi fazasi bo`lsin. maydon ustidagi tartiblangan matritsa bo`lsin. akslantirishni qaraylik. chiziqli operator bo`ladi.

Ta`rif. tartiblangan matritsa bo`lsin. Agar X-nol bo`lmagan vektor va AX ni skalyar va X vektor ko`paytmasi ko`rinishida, ya`ni ko`rinishida ifodalanish mumkin bo`lsa, X ustun vektor A matritsaning xos vektori deyiladi. Bunda matritsaning xos qiymati deyiladi.

•  

Teorema. maydon ustuni matritsa bo`lsin. element matritsaning xos qiymatu bo`lishi uchun

Teorema. maydon ustuni matritsa bo`lsin. element matritsaning xos qiymatu bo`lishi uchun

bo`lishi zarur va etarli.

Isboti. element matritsaning xos qiymati bo`lishi uchun ustun vektor mavjud bo`lishi kerakki,

bo`lishi zarur va etarli. Boshqacha aytganda

(3)

tenglama nolmas echimga ega bo`lishi kerak.

(3) ni ta noma`lumli chiziqli tenglamalar sistemasining matritsaviy ko`rinishi deyish mumkin. Bu tenglama esa echimga ega bo`lishi uchun matritsa determinant nolga teng bo`lishi zarur va etarli.

•  

Natija. element matritsaning xos qiymati bo`lishi uchun teskarilanmaydigan bo`lishi zarur va etarli.

Natija. element matritsaning xos qiymati bo`lishi uchun teskarilanmaydigan bo`lishi zarur va etarli.

Ta`rif. tartiblangan matritsa bo`lsin. tenglama matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.

Natija. skalyar A matritsaning xos qiymati bo`lishi uchun bu matritsa xarakteristik tenglamasining ildizi bo`lishi zarur va etarli.

Misol. matritsaning xos qiymatini toping.

 

•  

•