Xususiy hosilali differensial tanglamalar va ularni yechish usullari

Mathcad dasturida xususiy hosilali differensial tenglamalarni

yechish
Differensial tenglamalar sistemasining “qattiq sistema” bo`lish ta’rifini keltiramiz. n - tartibli differensial tenglamalar sistemasi

^dx  Bx dt


qattiq sistema deyiladi [7], agar quyidagi shart o`rinli bo`lsa:

• 
  B matrisa barcha xos sonlarining haqiqiy qismi musbat bo`lsa:
  

(5.1)

Re(_k )  0, k  0, 1, ..., n 1;
max Re(_k )

• 
  Sistemaning qattiqlik soni deb ataluvchi
  

_{s } 0k n1

k
min Re( )
0k n1
son, katta bo`lsa.

dx _
dt
f t, x
(5.2)

 ^{x (t)} 
 ^{f t, x , x ,..., x } 
^ x ^{0 }

 ¹ 
_ 1 1 2 n _
 ¹ 

_{ } x₂ (t) _{ ,    } f ₂ t, x₁ , x₂ ,..., x_n _{ ,
}  _x ⁰ 

^x  
f t, x _{
 x} 0
 ² 

_....... _
 x_n (t) _
........................... _
 f _n t, x₁ , x₂ ,..., x_n _
... _
 _x ⁰ 

 n 

(5.2) chiziqsiz differensial tenglamalar sistemasini qattiqlikka tekshirishda B

matrisa rolida

F_i
x_j

xususiy hosilalar matrisasi ishlatiladi.

Uncha katta bo`lmagan qattiqlik soni bilan berilgan sistemalarni yechish uchun ode23t, shunga o`xshash sistemalarni baholash uchun ode23tb, funksiyalari xizmat qiladi.

Bu funksiyalarning qo`llanilishini aniq misollarda ko`ramiz.


5.1.-masala. Quyidagi chegaraviy masalani [2,25; 2] intervalda yeching:

d ²x _
dt²
₄ dx dt
 13x  e
sin(t ) _,

(5.3)

x(0, 25)  1, x^(0, 25)  1.

MATLAB funksiyalaridan foydalanish mumkin bo`lishi uchun tenglamani

sistemaga keltiramiz. Buning uchun

_{y } dx
dt

almashtirish bajaramiz va

^{ dy}  4 y 13x  e^sin(t) ,
^ dt

dx



^  y,
 dt
tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz. Sistema uchun quyidagi


_ y(0, 25)  1,


^x(0, 25)  1,
boshlang`ich shart o`rinli bo`lsin.
(5.4)

(5.5)

(5.4) sistemani hisoblash funksiyasini tuzamiz (2.8-listing). 2.9- listing da (5.4) tenglamani ode45 funksiyasi yordamida yechish tasvirlangan, yechim grafigi 32-rasmda keltirilgan.

5.1-listing.

function F=FF(t,x)

F=[-4*x(1)-13*x(2)+exp(t); x(1)];
end

5.2-listing.

% boshlang`ich shart vektorini hosil qilamiz x0=[1,-1];

% Integrallash intervalini, ya‟ni ikki sonli massivni
% hosil qilamiz interval=[0.25 2];
% ode45 funksiyasiga murojaat qilamiz

[T,X]=ode45(@FF, interval, x0);
% grafik yechimni chiqarish plot(T,X(:,1),‟:‟,T,X(:,2),‟-‟);
legend(“y”, „x - Yechim‟); grid on;

1-rasm. (5.4) sistemaning grafik yechimi.

Differensial tenglamalar va ularning sistemalarini yechish uchun mo`ljallangan boshqa funksiyalarga ham shu tarzda murojaat qilish mumkin. Differensial tenglamalarni yechishda qo`llaniladigan MATLAB funksiyalarini izchil o`rganish uchun paketning ma’lumotlar tizimiga [4] murojaat qilish zarur.

Xulosa

Differensial tenglamalarning yechimlari aniq (analitik) va taqribiy (sonli) bo`lishi mumkin. Ba’zi differensial tenglamalarni aniq yechish mumkin bo`lsa, amaliyotda shunday tenglamalar, ayniqsa, ularning shunday sistemalari mavjudki, ularning aniq yechimlarini topib bo`lmaydi. Hattoki, analitik yechimga ega bo`lgan tenglamalar uchun ham ba`zi hollarda oldindan berilgan qiymatlardagi sonli yechimlarni topishga to`g`ri keladi. Shuning uchun ham oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish usullari rivoj topdi.

Ushbu referatda hisoblash matematikasining amaliyotda ko`p uchraydigan va kompyuterda hisoblashlari zaruriyati yuqori bo`lgan masalalarni MatLab matematik paketida yechish uslubiyotini tadqiq qilish maqsad qilib qo`yilgan edi. Boshqa matematik paketlarning ichida aynan MatLab paketining tanlab olinishi, unda dasturlash imkoniyatining mavjudligi va hisoblash jarayonini to`liq kuzatish va boshqarish mumkinligidadir.
Mathcad tizimi Amerikaning MathWorks firmasi mahsuloti bo’lib, bu tizim katta imkoniyatlarga ega bo’lgan dasturiy mahsulotdir [5]. Uning birinchi versiyasi 1970 yilda foydalanuvchilarga havola etilgan. U ilmiy va muhandislik masalalarini yechuvchi ko’plab maxsus dasturlardan tashkil topgan. Uning asosiy elementi - bu MatLab sistemasining yadrosi. Bunga qo’shimcha tarzda unda 60 ga yaqin buyruqlar kompleksi ("Toolboxes") biriktirilgan. U Curve Fitting Toolbox, Optimization Toolbox, Partial Differential Equation Toolbox, Statistics Toolbox, Symbolic Math Toolbox va boshqa amaliy dasturlar paketlaridir. MatLab tizimining boshqa kompyuter algebrasi tizimlariga nisbatan yana bir muhim tomoni shundaki, unda dasturlash imkoniyatining mavjudligi va hisoblash jarayonini boshqarish hamda kuzatish mumkinligidadir.
Ushbu referat “Mathcad dasturida xususiy hosilalali differensial tenglamalarni yechish” mavzusiga bag`ishlangan bo`lib, bunda differensial
tenglamalar haqida umumiy tushunchalar berilgan, xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularni yechish usullari keltirilgan. Shuningdek, differensial tenglamalarni yechish bo`yicha MatLab dasturining funksiyalari tadqiq qilingan, hamda MatLab dasturida xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechish misollar orqali batafsil yoritilgan.