Yakkalangan maxsus nuqtalar

1–Teorema. nuqta bartaraf etiladigan maxsus nuqta bo’lganligi uchun funksiyani shu nuqta atrofidagi Loran qatorini bosh qismi mavjud bo’lmasligi zarur va yetarli.
Isbot (Zarurligi) bartaraf etiladigan maxsus nuqta bo’lsin. U holda chekli limit mavjud. Shuning uchun funksiya qaralayotgan atrofida chegaralangandir.
Koshi tengsizligiga ko’ra tengsizlik o’rinli.
Oxirgi tengsizlikdan da limitga o’tsak, Demak, bosh qismi yo’q.

Yetarliligi. funksiya nuqta atrofidagi Loran qatoriga yoyilmasining bosh qismi mavjud bo’lmasin. Bu tengsizlikdan –chekli son. bartaraf etiladigan maxsus nuqta.

2–Toerema. yakkalangan maxsus nuqta funksiya uchun qutb maxsus nuqta bo’lishligi uchun uning nuqta atrofidagi Loran qatori yoyilmasi bosh qismini cheklitasi 0 dan farkli bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. (Zarurligi.) qutb maxsus nuqta bo’lsin, ya’ni deb belgilash kiritamiz. funksiya nuqtaki atrofida golomorfdir va . Bundan

yoyilma o’rinli bo’ladi. –natural son.

funksiya nuqtalarni qandaydir atrofida analitik funksiya birligi uchun bu funksiyalarning shu nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyish mumkin.
Demak,
.
Yetarliligi. funksiya nuqtani teshik atrofida Loran qatoriga yoyish mumkin bo’lsin. funksiyani kiritamiz. . Bundan bo’lganligi uchun . Demak, nuqta funksiya uchun qutb maxsus nuqta ekan. 1 va 2 teoredan quyidagi 3 chi teorema kelib chiqadi.
3–Teorema. yakkalangan maxsus nuqta muhim maxsus nuqta bo’lishligi uchuch funksiyaning nuqta atrofidagi Loran qatori yoyilmasida manfiy darajalarni cheksiztasi katnashishi zarur va yetarli.