Yopiq sirtning tashqi tomoni olinadi

bu yerda yopiq sirtning tashqi tomoni olinadi.
Quyidagi formulalar ham xuddi shunga o‘xshash hosil qilinadi:


(63), (64), (65) tengliklarni hadma-had qo‘shib, Ostrogradskiyning (61) formulasiga kelamiz, shuni isbotlash talab qilingan edi. Bu formula teoremaning shartini qanoatlantiruvchi sohalarga bo‘lish mumkin bo‘lgan istalgan fazoviy soha uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Bu formula yordamida yopiq sirtlar bo‘yicha sirt integrallarini hisoblash qulay bo‘ladi.

Skalyar maydon gradiyenti va unga doir misollar Skalyar va vector maydonlar ta’rifi

soha ham sirtning, ham sirtning tekislikdagi proeksiyasi bo‘lgani uchun (11) formuladagi ikki karrali integrallarni ularga teng bo‘lgan

sirt integrallari bilan almashtirish mumkin. Natijada quyidagini hosil qilamiz:

Ikkinchi qo‘shiluvchida sirtning tashqi tomonini ichkisiga almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:


bu yerda yopiq sirtning tashqi tomoni olinadi.
Quyidagi formulalar ham xuddi shunga o‘xshash hosil qilinadi:


(63), (64), (65) tengliklarni hadma-had qo‘shib, Ostrogradskiyning (61) formulasiga kelamiz, shuni isbotlash talab qilingan edi. Bu formula teoremaning shartini qanoatlantiruvchi sohalarga bo‘lish mumkin bo‘lgan istalgan fazoviy soha uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Bu formula yordamida yopiq sirtlar bo‘yicha sirt integrallarini hisoblash qulay bo‘ladi.