Yuqori tartibli differensial tenglamalar y(n)= (X) ko’rinishdagi tenglama

Yuqori tartibli differensial tenglamalar
y⁽ⁿ⁾= (x) ko’rinishdagi tenglama
Eng sodda n‑tartibli tenglama y⁽ⁿ⁾=f(x) (1) ko’rinishidagi tenglama bo’ladi. y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))¹ ekanini e’tiborga olsak ni hosil qilamiz.
Integrallashni shunday davom ettirib quyidagilarni hoail qilamiz



(1) tenglamaning umumiy yechimini topidik y/_x=x0=y₀, y'/_x=x0=y'₀ ,...,
y^(n-1)/_x=x0=y₀^(n-1) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topish uchun C_n=y₀, C_n-1=y₀,..., C_o=y₀^(n-1) deb olish yetarlidir.
Misol. tenglama umumiy echimini topaylik
, , ,
,
1. Ushbu (1)
ko’rinishdagi tenglama noma’lum у funktsiyani oshkor holda o’z ichiga olmaydi belgilashlar kiritamiz. ko’yamiz
Bu ifodalarni (1) tenglamaga. U holda х ning noma’lum Р(х) funktsiyaga nisbatan birinchi tartibli
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, uning p=p(х,c₁) umumiy yechimini topamiz, undan keyin munosabatdan (1) tenglamaning
y= ₁)dx+c₂ umumiy integralini topamiz.
Misol
Zanjirli chiziq tenglamasini ni qaraaylik.
Yechish. deb olib, ni topamiz va biz p ga nisbatan birinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz. O’zgaruvchilarni ajratsak tenglamaga kelamiz, bu tenglamani integrallab ni hosil qilamiz, bundan ekanligini topamiz. Buni yana bir marta integrallab berilgan tenglama umumiy echimini topamiz. Boshlang’ich shartlardan foydalanib , tenglama xususiy yechimi ni nopamiz.
Izoh: Yuqoridagi usul bilan tenglamani ham ham yechish mumkin. deb olib ni hosil qilamiz. Oxirgi tenglamadan p ni xning funktsiyasi sifatida aniqlab tenglikdan y yechimni topamiz.

1. 
   х erkli o’zgaruvchini oshkor holda o’z ichiga olmagan (2)
   

ko’rinishdagi tenglama. ni (2) –tenglamaga qo’ysak
tenglamani hosil qilamiz.
Buni integrallab p ni у vа ixtiyoriy с₁ o’zgarmas miqdorning funktsiyasi kabi aniqlaylik р=р(у, с₁)
Bu qiymatni munosabatga qo’ysak, х ning у funktsiyasi uchun birinchi tartibli _,c₁) differentsial tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, dastlabki tenglamaning umumiy integralini topamiz.
Misol
tenglama umumiy integralini topaylik.
Yechish.
dap ni y ni funktsiyasi deb hisoblab, ni hosil qilamiz. Buni berilgan tenglamaga qo’ysak ga ega bo’lamiz. Oxirgi tenglamani integrallab ni hosil qilamiz. Bundan ga ega bo’lamiz., bunda deb olib ni yoki olamiz, bu erdan . Oxirgi integralni hisoblash uchun almashtirish qilamiz. U holda , bo’ladi. Buni integrallab ga yoki
tenglama umumiy integralini topamiz.