Yuqori tartibli hosila va differensiallar
Download 165.57 Kb.
|
Yuqori tartibli hosila va differensiallar
- Bu sahifa navigatsiya:
- Yuqori tartibli hosila va differensiallar 1. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida teoremalar. Elemen-tar funksiyalar hosilalari jadvali
- 2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasi
- 3. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar
Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Reja:
Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Yuqori tartibli hosila va differensiallar Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi Yuqori tartibli hosila va differensiallar 1. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida teoremalar. Elemen-tar funksiyalar hosilalari jadvali Limitlar haqida teoremalar kabi, differensiallanuvchi funksiyalar haqida ham teoremalar mavjud. u(x) va v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, k biror-bir o`zgarmas son bo`lsa, u holda x nuqtada a) u(x) + v(x); b) k u(x); c) u(x) · v(x); d) funksiyalar ham differensiallanuvchi bo`ladi va quyidagilar o`rinli : 1) [u(x) + v(x)] = u(x) + v(x); d[u(x) + v(x)] = du(x) + dv(x). 2) [k u(x)] = k u(x); d[k u(x)] = k du(x). 3) [u(x) · v(x)] = u(x) · v(x) + u(x) · v(x); d[u(x) · v(x)] = u(x) · dv(x) + v(x) · du(x). 4) ; , ( v(x) ≠0). Funksiya hosilasini hisoblashda differensiallash qoidalaridan tash-qari, elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan ham foydalaniladi.
Misollar. Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydala-nib, quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang: 1. . 2. . 1. . 2. 2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat y = f [g(x)] murakkab funksiya berilgan bo`lsin. Agar u = g(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi, o`z navbati-da y = f (u) funksiya u0 = g(x0) nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda y = f [g(x)] murakkab funksiya ham x0 nuqtada differensiallanuv-chi bo`ladi va yoki y(x0) = f (u0) · g(x0). Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi, shu funksiyani tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko`paytmasiga teng. Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y(x0) · dx = f (u0) · du tengliklar o`rinli, bu yerda du = g(x0) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialini hisoblash uchun uning biror o`zgaruvchi bo`yicha hosilasini shu o`zgaruvchining differensialiga ko`paytirish yetarli. Bun-da differensialni hisoblash shakli o`zgarishsiz qolib, o`zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning erkli yoki erksizligiga bog`liq emas.Ushbu xossa birinchi tartibli differensial shaklining invariantlik xossasi deyiladi. Misol. 1. funksiyaning birinchi tartibli hosilasi va differensialini hisoblaymiz: 2. y = xsin x (x > 0) funksiya hosilasini hisoblash uchun, dastlab tenglikning ikkala tomonini logarifmlaymiz va so`ngra hosila olamiz: (lny) = (sin x · lnx) <=> . Natijada, . 3. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar y = f(x) funksiya uchun birinchi tartibli hosila y aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning ikkinchi tartibli y hosilasi u dan olinadigan hosila (agar uning mavjudlik sharti bajarilsa) sifatida aniqlanadi: y = (y). Yuqoridagi mulohazani davom ettirib, funksiyaning uchinchi, to`r-tinchi va hokazo, ixtiyoriy n – tartibli hosilalarini aniqlash mumkin. Yuqori tartibli hosilalarni yozishda quyidagi belgilar qo`llaniladi: f (n)(x), yxxx, yV, y, . Shunday qilib, y = (y), y(4) = (y), . . . , y(n) = (y(n -1)). Yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda, birinchi tartibli hosilani hisoblash qoidalari kabi qoidalar qo`llaniladi. Masalan, y = sin2x funk-siya uchun y = (sin2x) = 2sin x(sinx) = 2sin x cos x = sin2x, y = (sin 2x)= = 2cos2x, y = (2cos2x) = - 4sin2x va hokazo. Quyida keltirilgan ba`zi funksiyalarning yuqori n – tartibli hosila-lari uchun tegishli formulalarni olish va ularni jadval holida yig`ish mumkin:
y = f (x) funksiyaning yuqori tartibli differensiallari ham ketma – ket ravishda, mos hosilalari kabi aniqlanadi: d2y = d(dy) – ikkinchi tartibli differensial; d3y = d(d2y) – uchinchi tartibli differensial; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dny = d(dn -1y) - n-tartibli differensial. Agar y = f (u) funksiya berilgan bo`lib, u erkli o`zgaruvchi yoki x ning chiziqli u = kx + b funksiyasidan iborat bo`lsa, u holda: d2y = y(du)2, d3y = y(3)(du)3, . . . , dny = y(n)(du)n. Agarda y = f (x) funksiyada u = g(x) ≠ kx + b bo`lsa, u holda yuqori tartibli differensiallar uchun invariantlik xossasi o`rinli bo`lmaydi, chunki d2y = f (u) · (du)2 + f (u) · d2u va hokazo. Download 165.57 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling