Yuqori tartibli hosila va differensiallar

4. Teskari funksiya hosilalari
y = f (x) funksiya (a; b) intervalda differensiallanuvchi bo`lib, shu intervalda uzluksiz x = g(y) teskari funksiyaga ega va y(x) ≠ 0 bo`lsin. U holda, x = g(y) teskari funksiya ham differensiallanuvchi bo`lib, tenglik o`rinli bo`ladi.
Oxirgi tenglikni u bo`yicha differensiallaymiz va y_xx mavjud bo`lsa,

Differensiallashni davom etib, teskari funksiyaning istalgan tartibli hosilasini aniqlash mumkin.
Masalan, y = e^x (y > 0) funksiya uchun x = lny teskari funksiyadir.
Uning hosilasi .


Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi


1. Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida Roll va Lagranj teoremalari
Differensiallanuvchi funksiyalar uchun o`rta qiymat haqidagi teoremalar nomini olgan tasdiqlardan asosiylari bilan tanishamiz.
Roll teoremasi: y = f (x) funksiya [a; b] kesmada aniqlangan va uz-luksiz bo`lsin. Agar funksiya (a; b) intervalda differensiallanuvchi bo`lib, f (a) = f (b) tenglik o`rinli bo`lsa, u holda (a; b) intervalga tegishli hech bo`l-maganda bitta shunday bir s nuqta topiladiki, f (c) = 0 bo`ladi.
Teoremani geometrik izohlaydigan bo`lsak, teorema shartlari bajarilganda, y = f (x) funksiya grafigi AB yoyga tegishli hech bo`lmagan-da bitta (1-rasmda ikkita D va E) nuqta topiladiki, chiziqning shu nuq-tasiga o`tkazilgan urinma 0x abssissalar o`qiga parallel bo`ladi. Teo-remaning har bir sharti ahamiyatlidir, chunki ulardan biri bajarilmasa, (a; b) intervalda f (c) = 0 tenglikni qanoatlantiruvchi s nuqta topilmasli-gi mumkin. Masalan, 2-rasmda grafigi keltirilgan funksiya uchun uzluk-sizlik sharti bajarilmagan, a<sub>1</sub> nuqta uning uzilish nuqtasi.
3-rasmda tasvirlangan funksiya uchun esa uning differensiallanuv-chanlik sharti bajarilmagan, a<sub>2</sub> nuqtada funksiya hosilaga ega emas. Egri chiziqlarga tegishli va (a; b) interval doirasida urinmalari 0x o`qiga pa-rallel bo`ladigan biror-bir nuqta mavjud emas.
Lagranj teoremasi: y = f (x) funksiya [a; b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lib, (a; b) intervalda differensiallanuvchi bo`lsa, u holda (a; b) intervalga tegishli kamida bitta s nuqta topiladiki, f (b) – f (a) = f (c) · (b–a) munosabat o`rinli bo`ladi.


1 - rasm. 2 - rasm. 3 - rasm.


Lagranj teoremasida Roll teoremasidagidek, funksiyaning [a; b] kes-maning chetki nuqtalarida teng qiymatlarga erishishi talab qilinmaydi. Teoremadan xususiy f (a) = f (b) holda, f (c) = 0 ekanligi kelib chiqadi, shu ma`noda Lagranj teoremasi Roll teoremasining umumlashmasi hi-soblanadi.
Teoremani geometrik izohlaydigan bo`lsak, uning har bir sharti o`rinli bo`lganda, y = f (x) funksiya grafigi AB yoyga tegishli hech bo`l-maganda bitta (4-rasmda ikkita D va E) nuqta topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o`tkazilgan urinma AB vatarga parallel bo`ladi.


4-rasm.

Agar b = a + Δx almashtirish kiritsak, c nuqtani c = a + θ(b –a) = = a + θΔx (θ є (0; 1) ) ko`rinishda ifodalash mumkin. Almashtirishlar e`tiborga olinsa, Lagranj formulasi f (a + Δx) – f (a) = f (a + θΔx)Δx shaklda yoziladi va Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi.