Yuqori tartibli hosila va differensiallar

2. Teylor - Makloren formulalari va ularning qo`llanilishi.
y = f (x) funksiya x = a nuqtaning biror atrofida aniqlangan va shu atrofda f (x), f (x), …, f <sup>(n)</sup>(x), f <sup>(n+1)</sup>(x) hosilalarga ega bo`lsa, u holda atrofga tegishli har bir x uchun Teylor formulasi
,
tengligi o`rinli bo`ladi, bu yerda - Teylor formulasining Lagranj shaklidagi qoldiq hadi deb yuritiladi.
Agar x = a + Δx almashtirish kiritsak, Teylor formulasi
( θ є (0; 1) ) Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasi deb ataladigan ko`rinishini oladi.

Agar Teylor formulasida a = 0 bo`lsa, ushbu

( θ є (0; 1) )
Makloren formulasi deb ataladigan formulani olamiz.
Teylor - Makloren formulalari funksiyalarni ko`phad shaklida ifodalashda, funksiyalarning taqribiy qiymatlarini hisoblashda, funksiyalarni tekshirish va limitlarni aniqlashda qo`llaniladi.
Masalan, x = 0 nuqta atrofidagi har bir x uchun quyidagilar o`rinli:
1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

3. Aniqmasliklarni ochish Lopital qoidasi
Lopital qoidasi: a nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi, nuqta-ning o`zida differensiallanuvchi bo`lishi shart bo`lmagan f (x) va g(x) funksiyalar uchun, shu atrofda g(x) ≠ 0 va yoki yoki shartlar o`rinli bo`lib, limit mavjud bo`lsa, u holda ham mavjud bo`ladi va tenglik o`rinli.
Yuqoridagi qoida a ni ∞ bilan almashtirilgan hol uchun ham o`rinli.
Lopital qoidasi yoki ko`rinishidagi aniqmasliklarni ochishda qo`llaniladi. Agar nisbat x = a nuqtada yoki ko`rinishidagi aniqmasliklardan iborat bo`lsa, u holda qoida nisbatga qo`llaniladi va jarayon aniqmaslik ochilmaguncha davom ettiriladi.
Algebraik almashtirishlar yordamida (0 · ∞) yoki (∞ - ∞) ko`rinish-dagi aniqmasliklar yoki aniqmasliklarning biriga keltiriladi, so`ng-ra Lopital qoidasi qo`llanilib, aniqmasliklar ochiladi.
Dastlab logarifmlash yo`li bilan esa (1^∞), (∞⁰), (0⁰) ko`rinishdagi aniqmasliklar yoki aniqmasliklarga keltiriladi.
Misollar. Lopital qoidasini qo`llab, limitlarni toping:
1. .


2. .