Yuqori tartibli hosila va differensiallar

Hosila va differensialni hisoblash qoidalari

Reja:

1. 
   Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Yuqori tartibli hosila va differensiallar
   
2. 
   Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi
   

Yuqori tartibli hosila va differensiallar


1. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida teoremalar. Elemen-tar funksiyalar hosilalari jadvali
Limitlar haqida teoremalar kabi, differensiallanuvchi funksiyalar haqida ham teoremalar mavjud.
u(x) va v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, k biror-bir o`zgarmas son bo`lsa, u holda x nuqtada
a) u(x) + v(x); b) k u(x); c) u(x) · v(x); d)
funksiyalar ham differensiallanuvchi bo`ladi va quyidagilar o`rinli :
1) [u(x) + v(x)]  = u(x) + v(x); d[u(x) + v(x)] = du(x) + dv(x).
2) [k u(x)]  = k u(x); d[k u(x)] = k du(x).
3) [u(x) · v(x)] = u(x) · v(x) + u(x) · v(x);
d[u(x) · v(x)] = u(x) · dv(x) + v(x) · du(x).

4) ;

, ( v(x) ≠0).

Funksiya hosilasini hisoblashda differensiallash qoidalaridan tash-qari, elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan ham foydalaniladi.

f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
C (o`zgarmas)	0		sin x	cos x
x^p	x^p-1		cos x	-sin x
			tg x
a^x	a^xlna		ctg x
f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
e^x	e^x		arcsin x
loga |x|			arccos x
			arctg x
ln |x|			arcctg x

Misollar. Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydala-nib, quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang:

1. . 2. .
1.
.
2.


2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali
y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat y = f [g(x)] murakkab funksiya berilgan bo`lsin.
Agar u = g(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuvchi, o`z navbati-da y = f (u) funksiya u₀ = g(x₀) nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda y = f [g(x)] murakkab funksiya ham x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuv-chi bo`ladi va yoki y(x₀) = f (u₀) · g(x₀).
Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi, shu funksiyani tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko`paytmasiga teng.
Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y(x<sub>0</sub>) · dx = f (u<sub>0</sub>) · du tengliklar o`rinli, bu yerda du = g(x₀) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialini hisoblash uchun uning biror o`zgaruvchi bo`yicha hosilasini shu o`zgaruvchining differensialiga ko`paytirish yetarli. Bun-da differensialni hisoblash shakli o`zgarishsiz qolib, o`zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning erkli yoki erksizligiga bog`liq emas.Ushbu xossa birinchi tartibli differensial shaklining invariantlik xossasi deyiladi.
Misol.
1.  funksiyaning birinchi tartibli hosilasi va differensialini hisoblaymiz:


2. y = x^sin x (x > 0) funksiya hosilasini hisoblash uchun, dastlab tenglikning ikkala tomonini logarifmlaymiz va so`ngra hosila olamiz:
(lny) = (sin x · lnx) <=> .
Natijada, .
3. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar
y = f(x) funksiya uchun birinchi tartibli hosila y aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning ikkinchi tartibli y hosilasi u dan olinadigan hosila (agar uning mavjudlik sharti bajarilsa) sifatida aniqlanadi: y = (y).
Yuqoridagi mulohazani davom ettirib, funksiyaning uchinchi, to`r-tinchi va hokazo, ixtiyoriy n – tartibli hosilalarini aniqlash mumkin. Yuqori tartibli hosilalarni yozishda quyidagi belgilar qo`llaniladi:
f ⁽ⁿ⁾(x), y_xxx, y^V, y, .
Shunday qilib, y = (y), y⁽⁴⁾ = (y), . . . , y⁽ⁿ⁾ = (y^{(n -1)}).
Yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda, birinchi tartibli hosilani hisoblash qoidalari kabi qoidalar qo`llaniladi. Masalan, y = sin<sup>2</sup>x funk-siya uchun y = (sin<sup>2</sup>x) = 2sin x(sinx) = 2sin x cos x = sin2x, y = (sin 2x)=  = 2cos2x, y = (2cos2x) = - 4sin2x va hokazo.
Quyida keltirilgan ba`zi funksiyalarning yuqori n – tartibli hosila-lari uchun tegishli formulalarni olish va ularni jadval holida yig`ish mumkin:

f (x)	f ^(n)(x)
x^p	p(p-1)(p-2)…(p-n+1)x^p-n
e^x	e^x
e^kx	k^ne^kx
Lnx
sin kx	k^n sin(kx+ )
cos kx	k^n sin(kx+ )

y = f (x) funksiyaning yuqori tartibli differensiallari ham ketma – ket ravishda, mos hosilalari kabi aniqlanadi:

d²y = d(dy) – ikkinchi tartibli differensial;
d³y = d(d²y) – uchinchi tartibli differensial;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dⁿy = d(d^{n -1}y) - n-tartibli differensial.
Agar y = f (u) funksiya berilgan bo`lib, u erkli o`zgaruvchi yoki x ning chiziqli u = kx + b funksiyasidan iborat bo`lsa, u holda:
d<sup>2</sup>y = y(du)<sup>2</sup>, d<sup>3</sup>y = y<sup>(3)</sup>(du)<sup>3</sup>, . . . , d<sup>n</sup>y = y<sup>(n)</sup>(du)<sup>n</sup>.
Agarda y = f (x) funksiyada u = g(x) ≠ kx + b bo`lsa, u holda yuqori tartibli differensiallar uchun invariantlik xossasi o`rinli bo`lmaydi, chunki d²y = f (u) · (du)² + f (u) · d²u va hokazo.