Z da neytral element mavjud, bu soni, a+0=0+a=a

3-Amaliy ish.
(Z,+) sistemani qaraymiz, bu butun sonlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Ya’ni:
(1)bu amalga nisbatan yopiq a,bϵZ=> a+bϵZ

(2) Z da neytral element mavjud, bu 0 soni , a+0=0+a=a

(3) + amal assosiativ, ya’ni , (a+b)+c=a+(b+c)

b= -a

(4) Z barcha elementlari teskarilanuvchi berilgan a uchun ZbϵZ, a+b=0,

Endi (Z,+) gruppaning xos qism gruppalarini aniqlaymiz,

Ta’rif: A to’plam (Z,+) gruppaning qism gruppasi deyiladi agar u A Z, Z ning qism to’plami bo’lsa va qo’shishga nisbatan gruppa tashkil etsa …
(Z,+)ning barcha qism gruppalari nZ={na; nϵN; aϵZ}; (nZ,+)dan iborat ya’ni n natural sonning karraligi. Bu qism gruppalarning tartibi cheksiz chunki teskarisidan faraz qilsak ya’ni qandeydir chekli qism gruppa G≤(Z,+) bo’lsin, u holda Gda eng kata element n≠0 bo’lsin, G qism gruppa qo’shish va teskariga nisbatan yopiq bo’lgani uchun n+n=2nϵG va -nϵG, shu ikkovidan biri qarama qarshilik bo’ladi.
(n<0 yoki n>0 ga bog’liq holda) n eng katta element degan farazimizga. Demak (Z,+) qism gruppalarining tartibi cheksiz.

4-Amaliy ish.

C* gruppaning + elementning tartibi cheksiz ekanligini ko’rsating.
C*=C {0}
Ta’rifi: (G, ) gruppa elementi gϵG ning tartibi n ga teng deyiladi. Agar neN mavjud bo’lib (gⁿ=e) bo’lsa, bu yerda eϵG gruppaning birlik elementi.


n martta
Agar ko’paytma birlik elementga teng bo’lmasa ya’ni gⁿ≠e bo’lsa, g elementni tartibi cheksiz bo’ladi.
Isbot: C* gruppani “+” qo’shish amaliga nisbatan qaraylik ya’ni (C*,+). Teskarisidan faraz qilaylik, ya’ni + ning tartibi n ga teng bo’lsa ya’ni + + + +… + =0 (1)

n ta
(1)tenglikni ikki tomoniga + ni qo’shsak u holda 0+ + = + ga ega bo’lamiz. Bu tenglik + ning tartibi 1 ekanligini beradi. Bu esa farazimizga zid. Biz tartibi n bo’lsin deb faraz qilgandik. Agar C to’plamni ko’paytirishga nisbatan qarasak ya’ni (C*,•) gruppani qarasak u holda uning birlik ebmenti 1ga teng va + ϵC* elementning tartibi cheksiz ekanligi yuqoridagidek ko’rsatiladi, ya’ni nϵN

n ( + )=1 teskaridan farza, ikki tomoni + ga ko’paytirsak ( + )= bundan + ning tartibi 1ga teng ekanligi kelib chiqadi. Bu farzimizga zid tartibini n deb olgandik.


5-Amaliy ish
{ aϵR} va R ning izomorfligimi ko’rsating.
Ta’rif: G va H gruppalar izomorf deyiladi. Agar bir qiymatli f: G→H akslantirish mavjud bo’lsa, ya’ni f(x+y)=f(x)+f(y), x,yϵ G
f( )=x akslantirishni qaraymiz
f( =a, f( =b
f( + = f( )=a+b=f +f →chiziqli
a±b => => f ≠f inektiv
____________
f( cR surektiv
Demak { aϵR} va R izomorf.