Z5 ustidagi ko`phad doc
Download 152.71 Kb.
|
sodapdf-converted
- Bu sahifa navigatsiya:
- Tarif
|
10-50 xossalardan ko‘ramizki, koeffitsiyentlari K halqadan olingan ko‘phadlar to‘plamining o‘zi ham ko‘phadlar ustida aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.
Bu halqa K halqa ustidagi ( x o‘zgaruvchili) ko‘phadlar halqasi deyilib, K[x] kabi belgilanadi. Barcha halqalardagi kabi ko‘phadlar halqasida ham qo‘shish amaliga teskari amal ayirish amali aniqlangan. Kelgusida biz amalning halqa aksiomalaridan kelib chiqadigan asosiy sodda xossalarini ko‘rsatamiz. (2) va (3) ko‘rinishda berilgan ko‘phadlarning ayirmasi (5) formula yordamida topiladi. Bu tenglikning o‘rinli ekanligini ayrimani f1 (x) f1 (x) f2 ( x) f1 (x) ( f2 (x)) ko‘rinishda ifodalasa osongina isbotlanadi. x ni o‘z ichiga olmagan ko‘phadlar, ya'ni (1) ifodada n 0 bo‘lgan holda K halqaning elementlari bo‘ladi. Ulardagi qo‘shish va ko‘paytirish amali, 2 n ta'rifdan ko‘rinadiki K halqada bajariladi. Boshqacha aytganda, K halqa halqaning qism halqasi bo‘ladi. K[x] Ifodadagi a0 , a1 x, a2 x , . . . , a xn qo‘shiluvchilar ko‘phadning hadlari deyiladi. Xususan, a0 ozod had deyiladi. Odatda (yozuvni soda bo‘lishi uchun)ko‘phadning yozuvida koeffitsiyenti nolga teng bo‘lgan hadlar tashlab yuboriladi. Masalan: 6 0 x 3x2 4x3 0 x4 ko‘phad 6 3x2 4x3 kabi yoziladi. axk ko‘rinishidagi ko‘phad bir had deyiladi. Ko‘phadlarning yig‘indisi ta'rifiga ko‘ra (1) ko‘phadni a0 , a1 x, a x 2 , ..., a xm 2 n birhadlarning yig‘indisi deb qarasak, ko‘phadning yozuvidagi «+» belgini qo‘shish amali deb qarash mumkin bo‘ladi. (a)xk axk birhadga qarama-qarshi birhad deyiladi. Shuning uchun qandaydir ko‘phadga (a)xk birhadni qo‘shish deganda ko‘phaddan axk birhadni o‘rniga - axk Masalan: ni yozish imkonini beradi. 1 (3)x 2x2 ko‘phad o‘rniga 1 3x 2x2 ko‘phadni yozish mumkin. Endi K halqa birlik elementga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. ko‘phadni qaraymiz. Ko‘phadlarni ko‘paytirish formulasiga ko‘ra, ( p( x))2 p(x) p( x) 1x 2 ( p( x))3 ( p(x))2 p(x) 1x3 p(x) 1x va xokozolarga ega bo‘lamiz. Umuman, ( p( x))k ( p(x)) k1 p(x) 1xk bo‘ladi . K x halqada 1xk ko‘phadni a elementga ko‘paytirsak, a ( p(x))k axk hosil bo‘ladi. Odatda ( p(x))k ifodani pk (x) kabi belgilash ishlatiladi. Nihoyat, bir nechta xuddi shunday tengliklarni qo‘shish natijasida a0 , a1 , a2 ,..., an K x 0 1 2 n 0 1 2 n a a p(x) a ( p(x))2 ... a ( p(x))n a a x a x 2 ... a xn ga ega bo‘lamiz. Bu tenglik qanday ma'noni anglatadi? Uning chap tomoni ko‘phadning ta'rifiga ko‘ra ko‘phadning ifodasini bildiradi, o‘ng tomonida esa a0 , a1 , a2 ,..., an elementlar va K x halqaning p(x) elementlari o‘rtasida bu halqadagi qo‘shish va ko‘paytirish amali bajarildi. Shuning uchun K halqada birlik element mavjud bo‘lsa biz p(x) deb belgilagan ko‘phadni x harfi orqali ifodalab ko‘phadning formal ifodasiga mazmun berdik. Ko‘phad haqidagi dastlabki ma'lumotlarning yakunida ko‘phadning darajasi tushunchasini va unga bog‘liq bo‘lgan boshqa bir nechta tushunchalarni kiritamiz. Ta'rif : Noldan farqli bo‘lgan f ( x) a a x a x2 ... a xn 0 1 2 n ko‘phadning darajasi deb, ak 0 bo‘lgandagi eng katta k soniga aytiladi. f (x) ko‘phadning darajasi дap. f (x) kabi belgilandi. Nolinchi darajali ko‘phad- bu K halqaning noldan farqli elementidir. Darajasi n 0 bo‘lgan ko‘phad a a x a x2 ... a xn n 0 1 2 n ko‘rinishda yoziladi, bu yerda koeffitsiyenti deyiladi. Ta'rif : an 0 va a xn uning bosh hadi , an esa bosh Bosh koeffitsiyenti 1 ga teng bo‘lgan (agar K halqada birlik element mavjud bo‘lsa) ko‘phad normallashgan ko‘phad deyiladi. Ko‘phadlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini ifodalovchi (4) va (6) formulalardan ko‘rinadiki yig‘indi ko‘phad max n, m dan ko‘paytma ko‘phad esa n m dan yuqori darajali hadga ega bo‘lmaydi. Bundan дар.( f1(x) f2 (x)) maxдар. f1( x),дар. f2 ( x) дар. f1 (x) f2 (x) дар. f1( x) дар. f2 (x) (9) (10) (Ko‘paytirishning kommutativligi yoki assotsiativligini talab qilmadik). K x halqada ko‘paytirish amali yuqoridagi u yoki bu hossani qanoatlantirishi uchun bu xossalarning K halqada o‘rinli bo‘lishini talab qilish lozim bo‘ladi. Shu nuqtai nazardan K halqada butunlik sohasi bo‘lishini, ya'ni birlik elementli nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan, kommutativ,assotsiativ halqa bo‘lgan holni ko‘rib chiqamiz. Shunday qilib qaralayotgan ko‘phadlarning koeffitsiyentlari butunlik sohasidan olingan bo‘lsin. K butunlik sohasi bo‘lganda ko‘phadlarni ko‘paytirish amali uchun o‘rinli bo‘lgan bir nechta qo‘shimcha xossalar kelib chiqadi. 60. Ko‘paytirishning kommutativligi, ko‘paytirishning ta'rifidan (6) va (7) formulalardan bevosita kelib chiqadi. Avvalo bir hadlarni ko‘paytirishning kommutativligini isbotlaymiz. bxm axn abxnm ax n va bx m birhadlar uchun bxm axn baxnm bo‘ladi. K halqada ko‘paytirish kommutativ bo‘lgani uchun axn bxm bxm axn ab ba bo‘ladi, demak, bo‘ladi. Endi f1 (x) va f2 (x) lar ko‘phadlar bo‘lsin f1 (x) f2 (x) ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan u v ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng, bunda hadi. u f1 (x) ko‘phadning hadi, v esa f2 (x) ko‘phadning Masalan: (2 3x x2 )(3 5x) 2 3 2 5x (3x)5x x2 3 x2 5x v u ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng, bunda ham u va v lar yuqoridagi ma'noga ega. Masalan: (3 5x)·(2 - 3x x ) 3·2 3·(-3x) 3· x 5x·2 5x·(-3x) 5x·x Yuqorida isbotlandiki, birhadlarning ko‘paytirish kommutativ u holda f1 (x) ko‘phadning u hadi va f2 (x) ko‘phadning v hadi uchun u v v u tenglik o‘rinli. Bundan f1 (x) f2 (x) f2 ( x) f1 (x) kelib chiqadi. 70. Ko‘paytirishning assotsiativligi.( f1 (x) f 2 (x)) f3 (x) ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan (u v) w ko‘rinishidagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng, bu yerda u - f1 (x) ko‘phadning, v – f2 (x) ko‘phadning, w - f3 (x) ko‘phadning hadi. Xuddi shuningdek, f1(x) ( f 2 (x) f3 (x)) ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan u (v w) ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisidan iborat, bunda u v va w lar yuqoridagi ma'noga ega. Shuning uchun u, v, w birhadlar uchun (u v) w u (v w) ekanini isbotlash kifoya. axn , bxm ,cx p birhadlar uchun (axn bxm ) cx p abxnm cx p abcx nm p ax n (bxm cx p ) axn bcx m p abcx nm p (ab)c a(bc) bo‘lgani uchun bo‘ladi.
(bxm cx p ) |
