Z5 ustidagi ko`phad doc

6. Bitiruv malakaviy ishining tuzilishi haqidagi umumiy ma'lumotlar. Bitiruv malakaviy ishi 3 ta qism, 2 ta bob va 6 ta paragrfdan iborat.
1- qism kirish, 2-asosiy qism, 3-xulosa. Asosiy qism 6 tadan paragrfga bo‘linib, o‘rganildi. Bitiruv malakaviy ishi jamida bet xajmni egalladi.
Asosiy qism.
1-BOB. Cheksiz maydon ustidagi ko‘phadlar.

1. 
   § Halqa ustidagi ko‘phad tushunchasi.
   

^K - ^ halqa bo‘lsin

Ta'rif:

0

1

2

n
а  а х  а х ² ...  а xⁿ
(1)

ko‘rinishdagi ifodaga ^x o‘zgaruvchili ko‘phad deyiladi, bu yerda
n  

nomanfiy butun son,

a₀ , a₁ , a ₂ ,, a_n

lar ^K halqaning elementlari bo‘lib ular

ko‘phadning koeffitsiyentlari deyiladi.

1. 
   ifodaning koeffitsiyentlari ^K halqadan olingan bo‘lsa ko‘phadni ^K
   

halqa ustidagi ko‘phad deyiladi.
Masalan:

1 - х ²  4х ³ - 3х ⁴ ,
- 2  3х - 5х ³  7х ⁵
lar

butun sonlar halqasi ^Z ustidagi ko‘phadlardir.

 2х 
x ² , 1 
5х ²  9х⁹

, bularesa haqiqiy sonlar halqasi ^R ustidagi

ko‘phadlardir.
Shuni ta'kidlash kerakki (1) ifoda bir butun yaxlit belgi sifatida qaraladi. Ya'ni hech qanday qo‘shish yoki ko‘paytirish amallari uning alohida qismlari

uchun bajarilmaydi. ^K halqaning ^ak
elementi
(k  0,1,2,, n)
(1)

ko‘phadning ^хk
oldidagi koeffitsiyenti deyiladi,
k  n
bo‘lgan holda ^xk

oldidagi koeffitsiyent nolga teng deb hisoblanadi. Ko‘phadlar belgilanadi.
f (x), g(x),... _kabi

Ta'rif. Agar
f₁ (x)
ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari
f₂ (x)
ko‘phadning

barcha koeffitsiyentlariga mos ravishda teng bo‘lsa, ya'ni

m
f₁ ( x)  a₀

• 
  
  1
  
  2
  a₁ x  a₂
  

n

n
x²  ...  a x

2

0
f ( x)  b

• 
  b x  b x ²  ...  b x^m
  

(3) bo‘lib,

bu yerdagi
a₀ , a₁ ,, a_n  
_, b₀ , b₁ ,, b_m    а_  b_  а_  b_ а_  b_ 
 а_i
 b_i ...,

bo‘lsa, u holda yoziladi.
f₁ (x) _va
f₂ (x)
ko‘phadlar teng deyiladi va
f₁ (x) _q
f₂ (x)
kabi

2. 
   va (3) formulalar orqali berilgan
   

f₁ (x) _va
f₂ (x)
ko‘phadlar uchun

k

k
ularning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasini quyidagicha aniqlanadi:

1. 
   
   0
   
   1
   
   2
   
   k
   
   0
   
   1
   
   2
   
   k
   ^f1
   

(x)  f ₂

10. 
     (a₀
    

• 
  b₀
  

)  (a₁
 b₁ )x  (a₂

• 
  b₂
  

)x ²  ...  (a

• 
  b_k )x
  

(4)

2. 
   
   1
   
   2
   f (x)  f
   

(x)  (a
 b )  (a

• 
  b ) x  (a
  

 b )x ² ...  (a

• 
  b ) x ^k
  

(5)

bu yerda
k  мах{n, m}
m  n
bo‘lganda ^{am  0}
_va n  m
bo‘lganda
b_n  0
deb

hisoblanadi.
Masalan:
(2 - x  3x²  5x ⁴ )  (1 - x²  x³ - 7x⁴ ) 
 (2  1)  (-1 0)x  (3 -1)x²  (0  1)x³  (5  7)x⁴  3 - x  2x²  x³  2x ⁴

_v) f₁ (x) _va
f₂ (x)
ko‘phadlarning ko‘paytmasi barcha tuzish mumkin bo‘lgan

^{u v} ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng bo‘ladi, bu yerda ^u -

f₁ (x)
ko‘phadning, ^v esa
f ₂ (x)
ko‘phadning ^ hadi. O‘xshash hadlarni

ixchamlagandan so‘ng quyidagi ko‘phad hosil bo‘ladi:

f (x)  f

10. 
     c
    

 c x  c x² .  c
_xn m

(6)

1 2

bu yerda

0 1 2
n m

k 0 k 1 k-1 2 k-2 k 0
с x^k  a  b x ^k  a x  b x^k-1  a x ²  b x ^k-2  ...  a x ^k  b 

bundan,
 (a₀ b_k

• 
  a₁b
  

k-1

• 
  a₂ b
  

k-2
 ...  a_k b ₀

)x ^k

с_k  а₀ а_k  а₁ а_k-1  a₂ b_{k -2}  a_k b₀

(7)

(bu yerda yuqoridagi kabi ^{l  n}
bo‘lganda
a_l  0 l  m
bo‘lganda

b_l  0
deb hisoblanadi.

Masalan:
(2 - 3х  х³  2х ⁴ )(-1  3х  2х ² )  -2  9х - 5х ² - 7х³  х ⁴  8х⁵  4х⁶

Xususiy holda, ^х 4 oldidagi koeffitsiyent (7) formula bo‘yicha
quyidagicha hisoblab topiladi:
2·0  (-3)·0 0·2  1·3 2·(-1)  1
Qo‘shish va ko‘paytirishning bunday aniqlash ko‘phadlarning tengligi

ta'rifiga mos keladi. Ya'ni agar
f₁ (x) _q
f₂ (x)
_va g_ x
_ g_ x
bo‘lsa, u holda

Izox:

f₁ (x)  g_ x  f_  x  g_ x ва
f_ x  g_  x  g_  x  f_  x
bo‘ladi.

1. 
   Ko‘phadning ifodasidagi ^x harfining o‘rnida ^ boshqa harf bo‘lishi mumkin. Agar ko‘phadning berilishida bu qaysi harf ekani ma'lum bo‘lsa, u
   

holda ko‘phadning belgilanishini qisqartirib, mumkin.
f , g...
ko‘rinishda yozish

2. 
   Ko‘phadning (1) ko‘rinishida berilishidan ko‘rdikki, ko‘phad mavjud bo‘lishi uchun uning koeffitsiyentlari berilishi kerak ekan. Bu koeffitsiyentlarni
   

^K halqaning qandaydir elementlari ketma-ketligi
a₀ , a₁ ,, a_n  K
o‘rinishida

ifodalash mumkin. Unga mos holda qo‘shish va ko‘paytirish amallarini bunday ketma-ketliklar ustida aniqlasak, ko‘phadni qisqaroq yozuvda ya'ni ketma-ketlik ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘ladi.
Ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish quyidagi xossalarga ega:

1⁰ . Qo‘shishning kommutativligi

f₁ (x) _va
f₂ (x)
ko‘phadlar (2) va (3)

formulalar orqali berilgan bo‘lsin. U holda ta'rifga ko‘ra

k
f₁ (x)  f ₂
(x)  (a₀

• 
  b₀
  

)  (a₁
 b₁ )x  (a₂

• 
  b₂
  

)x ²  (a

• 
  b_k
  

)x ^k

k
f₂ (x)  f₁
(x)  (b₀

• 
  a₀
  

)  (b₁
 a₁ )х  (b₂

• 
  a₂
  

)х ²  (b

• 
  a_k
  

)x ^k

bu yerda
k  max{n, m}
bo‘ladi. ^K halqada qo‘shish ya'ni
p  0,1,2,...k

bo‘lganda
a_p  b _p  b _p  a _p

bo‘lagani uchun

f₁(x)  f₂ (x)
 f₂ (x)  f₁(x)
bo‘ladi.

2⁰. Qo‘shishning assotsiativligi

f₁ (x) _, f₂ (x) _, ^{f3 (x)}
ko‘phadlar uchun

( f₁ (x)  f₂ (x))  f₃ (x)  ( f₁ (x)  f₂ (x))  f₃ (x))
tenglikning bajarilishini ^K halqada qo‘shishning assotsiativligidan foydalanib, osongina tekshirib ko‘rish mumkin.
3⁰ . Nolning mavjudligi. Barcha koeffitsiyentlari nolga teng bo‘lgan
ko‘phad nol ko‘phad deyiladi va 0 bilan belgilanadi.
Bu ko‘phad nol element (qo‘shishga nisbatan neytral element) vazifasini bajaradi.

Ko‘phadlarni qo‘shish amalining ta'rifiga ko‘ra
 f (x)
ko‘phad

uchun
f (x)  0 
f (x)
ekanligi tushunarli.

4⁰. Qarama-qarshi elementning mavjudligi.

f (x)
ko‘phaddagi barcha

koeffitsientlarni mos ravishda ularning qarama-qarshi lari bilan almashtirishdan

xosil qilingan ko‘phadni – ^{f (x)}
ya'ni
kabi belgilanadi. Ravshanki
f (x)
₊ ( f (x))  0

_– f (x)
ko‘phad
f (x)
ko‘phad uchun qarama-qarshi ko‘phaddir.

5⁰. Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan distributivligi.

3 ta ko‘phad berilgan bo‘lsin.

f₁ (x)  a₀

• 
  a₁ x  a₂
  

x ²  ...  a xⁿ

2 0 1 2 n

n

n
f (x)  b  b x  b x ²  ...  b xⁿ

f₃ (x)  с₀

• 
  с₁ x  с₂
  

x ²  ...  с xⁿ

( f₁(x)  f₂ ( x)) f₃ (x) 

ekanini isbotlaymiz.

f₁( x) f₃ ( x)  g₂ (x)g₃ (x)
(8)

f₁(x)  f₂ (x)
ko‘phad (4) formula orqali berilgan ko‘phadlarni ko‘paytirish

amalining ta'rifiga ko‘ra

( f (x)  f (x)) f
(x)  d d x  d
x²  ...  d
_x p  e

bu yerda

1 2 3
0 1 2
p e

d_k  (a₀  b ₀ )c_k  (a₁  b₁ )c_{k 1}  ...  (a_k  b _k )c₀

k k
^K halqada distributivlikning o‘rinliligidan foydalanib ^dk ni ko‘rinishida ifodalashimiz mumkin bunda
_d I _{ d} II
yig‘indi

d ^I  a c

• 
  a c
  

 a c  ...  a c

k 0 k
1 k 1
2 k 2 k 0

II

d
_k  b ₀ c_k  b₁ c_{k 1}  b ₂ c_{k 2} ...  b _k c₀

k
d ^I  f 1( x) f 1(x)
ko‘phaddagi
^xk oldidagi koeffitsiyent ekanligi kelib chiqadi.

Bundan (8) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi xuddi shu mulohazalardan foydalanib 2- distributivlik

f₃ (x)( f₁(x)  f₂ (x)) 
ham isbotlandi.
f₃ ( x)  f₁(x)  f₃ (x)  f₂ ( x)