Z5 ustidagi ko`phad doc

Teorema isbotlandi.

2. 
   teoremadan agar
   

f₁, f₂ ,..., f_m

ko‘phadlar o‘zaro tub bo‘lsa, u holda ^

ko‘phadning (2) ko‘rinishida ifodalash mumkinligi kelib chiqadi.

_{2 ta} f _, g _ Px

hisoblash mumkin.

ko‘phadlarning EKUBini yevklid algoritmi yordamida

Yevklid algoritmi quyidagicha: avval ^f ko‘phadni ^g ko‘phadga qoldiqli bo‘linadi, so‘ngra ^g ni 1-bo‘lishdagi qoldiqqa keyin 1- bo‘lishdagi qoldiqni 2-

bo‘lishdagi qoldiqqa qoldiqli bo‘linadi va xokazo, bu jarayonni nol qoldiq qolguncha davom ettiriladi.

Natijada quyidagi tengliklar hosil bo‘ladi.

^f  <sup>q 1 g  r 1

g</sup>  <sup>g 2 r 1  r 2

r 1</sup>  ^{q 3 r 2  r 3}

bu yerda

.... ....

_r k  2 _ ^q k _r k  1 _{ r} k

_r k  1 _ ^q k 1 _r k
^{дар. g  дар. r 1  дар. r 2 } … ^{ дар. r k} oxirgi noldan farqli

qoldiq (ya'ni ^{r k} ) ^f va ^g ko‘phadlarning EKUBi bo‘ladi.

Amalda agar berilgan ko‘phadlarning darajalari turlicha bo‘lsa, ^f sifatida

yuqori darajali ko‘phadni olish maqsadga muvofiq bo‘ladi.

Misol:

^Rx halqada

^f _ x ⁶ 2x ⁴  4x³  3x ²  8x  5

^g _ x ⁵  x²  x 1

ko‘phadlarning EKUBini toping. ^f ni ^g ga bo‘lamiz.

x⁶  2x ⁴  4x³  3x ²  8x  5

x⁶  x³  x ²  x

2x ⁴  3x³  2x ²  7x  5

2. 
   bo‘lishni bajaramiz:
   

2х⁴  5х³  2х²  7х  5

1 _{х } 5

x⁵  x ²  x  1

x

2 4

⁵ х⁴  х³  ⁵ х²  ³ х  1

2 2 2

5 _{х4 } 25 _{х3 } 5 _{х 2 } 35 _{х } 25

2 4 2 4 4

29 _{х3 } 29 _{х } 29

4 4 4

4

qulaylik uchun hosil bo‘lgan qoldiqni ²⁹ ga ko‘paytiramiz bu holda keyingi

qoldiq ham qandaydir songa ko‘payadi lekin bu EKUBning topilishiga bog‘liq bo‘lmaydi

2. 
   bo‘lishni bajaramiz:
   

2x⁴  5x³  2x ²  7x  5 2x⁴  2x ²  2x

 5x³  5x  5

 5x³  5x  5

0

x³  x  1

2x  5

qoldiq nolga teng shuning uchun

( f , g)  x ³  x 1 _bo‘ladi.

Bir nechta

f₁, f₂ ,..., f_m

ko‘phadlarning EKUBini topish uchun quyidagi

formulaga asoslangan induktiv usuldan foydalanish mumkin:

( f₁ , f ₂ ,..., f _m )  ((

f₁ , f ₂ ,..., f _{m 1} ), f _m )

(5)

( f₁ , f ₂ ,..., f _m )

ko‘phadlarning EKUBini topish uchun bu formulaga ko‘ra, avval

^{d 2  ( f1 , f 2 )} , so‘ngra

d₃  (d ₂ , f₃ )

topiladi va xakozo

d _m  d _m1 , f _m

-izlangan EKUB bo‘ladi.

(5) formulani isbotlaymiz. EKUBning ta'rifiga ko‘ra ^{( f1, f 2 ,..., fm 1 )}

ko‘phadlarning bo‘luvchilari bu ^{( f1, f 2 ,..., fm 1 )}

bo‘luvchilari aniqligida bo‘ladi.

ko‘phadlarning umumiy

Shuning uchun

^{( f1, f 2 ,..., fm 1 )} va ^{f m} ko‘phadlarning barcha mumiy

bo‘luvchilari

( f₁, f ₂ ,..., f_{m 1} )

va ^{f m} , ko‘phadlarning barcha umumiy

bo‘luvchilari to‘plami bilan ustama-ust tushadi. Bundan (5) formula kelib chiqadi.

2 teoremaga ko‘ra 2 ta ^f , ^{g  Px}

ko‘phadlarning EKUBi ^d ni va

umuman ^{ d} ga karrali ko‘phadlarni ^{u f  v g u v  Px}

ko‘rinishida

ifodalash mumkin. Bu ifodani berilgan ko‘phadning ^f va ^g ko‘phadlar orqali chiziqli ifodasi deb ataymiz.

EKUB ^d ning chiziqli ifodasini topish uchun yevklid algoritmidan

foydalanish mumkin.(4) tengliklarning 1-sidan ^r ₁ ko‘phadning ^f va ^g lar orqali ifodasini topamiz:

r ^1

f  q₁ g

uni 2-tenglikka qo‘yib ^{r 2} ko‘phadning chiziqli ifodasini topamiz.

^r2  ^{g  q2}

r₁  g ₂ f

 (1  q₁ q₂ ) g

Xuddi shunday davom ettirib nihoyat ^{d  r k} ning chiziqli ifodasiga ega bo‘lamiz.

Misol: 2- misoldagi ^f va ^g ko‘phadlarning EKUBi ^d ning chiziqli ifodasining topamiz.

2-misolda bajarilgan qoldiqli bo‘lish natijalari ko‘rsatadiki,

f  xg  ³ (x  1)

4

bundan

g  (2x  1)( x  1)  0

d  x  1  ⁴ xg  ⁴ f

3 3
u  ⁴ x, v   ⁴

ni topamiz shuning uchun

3 3

bo‘ladi.

^d ga karrali bo‘lgan ^{ h} vektorning chiziqli ifodasini ^d ning chiziq ifodasidan foydalanib hisoblash mumkin.

bo‘lsin.

h _ h ₁ ^d <sub>va

d </sub> u f _{ v} g

U holda

_{h  h 1} (uf
 vg)  (h₁u) f
 (h₁v) g

bo‘ladi.

Amaliyotda ^h ko‘phadning chiziqli ifodasini yevklid algoritmi yordamida emas, balki noma'lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topiladi. Izlanayotgan ^u va ^v ko‘phadlarni umumiy ko‘rinishida noma'lum

koeffitsiyentlar orqali ifodalaymiz, ko‘rish qiyin emaski, bu tenglamalar chiziqli bo‘ladi.

Bu usulni qo‘llash uchun ^u va ^v ko‘phadlarning darajasini oldindan

baholash kerak bo‘ladi. (Boshqacha aytganda biz ularni qanday umumiy ko‘rinishda yozishni bilmaymiz).

Teorema4. ^{d  ( f  g)}

ga karrali bo‘lgan ^h ko‘phad

дар. _{h } дар. f _ дар. g

shartni qanoatlantirsin. U holda

_{h } u f _{ v} g

chiziqli ifodada

bo‘ladi.

дар. u _ дар. g _,

дар. _{v } дар. f

Isboti:

h _ ^u 0 ^f _ v 0 <sup>g

h</sup> ko‘phadning qandaydir chiziqli ifodasi bo‘lsin. ^{u 0} ni ^g ga qoldiqli bo‘lamiz.

U holda

u _{0 } q g _ u _,

21. 
    ₀ f _{ v 0} g
    

дар. u _ дар. g

ifoda quyidagi ifodaga almashadi:

21. 
    ₀ f _{ v 0} g _ u f _ ( _{v 0 } g f ) g _ u f _{ v} g _,
    

bunda

demak

bo‘lib

va

21. 
    _ v 0 _ ^{g f} _.
    

_{h } u f _{ v} g _,
дар. u _ дар. g

_v g _{ h } u f

дар. _{h } дар.

bo‘lgani uchun

f _ дар. g

дар. _v g _ дар.

bo‘ladi. Bundan

f _ дар. g

дар. _{v } дар.

^f kelib chiqadi.

Shu ^u va ^v ko‘phadlar teorema shartini qanoatlantiradi.

Misol: ^{h  x  2}

ko‘phadning ^{f  x} 2 ^{ 2, g  x} 3 ^{ x 1} ko‘phadlar

orqali chiziqli ifodasini topamiz.

Tekshirish qiyin emaski ^f va ^g ko‘phadlar o‘zaro tub shuning uchun izlangan chiziqli ifoda mavjud va ^{u v} ko‘phadlarni quyidagi ko‘rinishida izlash mumkin:

21. 
    _{ a 0 x} ² a x  x ² _,
    1
    
    

21. 
    _ b 0 x _ b
    

(a x ²  a x  a )(x ²  2)(x ²  2)  (b x  a )(x³  x  1)  x  2

0 1 2 0 1

Tenglikdagi ^x ning mos darajalari oldidagi koeffitsiyentlarini tenglasak quyidagi munosabat kelib chiqadi:

bundan:

a 0 _ b 0 _ 0

^{a 1  b 1}  ⁰

₂ a 0 _ a _{2 } b 0 _ 0

^{2 a 1} _- ^{b 0  b 1}  <sup>1

2 a 2</sup> _- ^{b 1}  _- ²

a 0 _{ 1,}

a _{1 } 0 _,

^{a 2}  _-¹_,

b 0 _{ -1,}

b _{1 } 0

ni topamiz ya'ni

^{u  x 2}-¹,

21. 
    _{ -} x
    

Ko‘pincha

^u va ^v

ko‘phadlarning koeffitsiyentlari uchun chiziqli tenglamalar tuzishda ^x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashdan ko‘ra ^x ga turli xil qiymatlar berish osonroq kechadi.