Задача для уравнений параболического типа с производной по времени в краевом условии встречается в ряде важных прикладных задач (см, ниже.)

ВВЕДЕНИЕ
АКТУАЛЬНОСТЬ ВЫБОРА Темы диссертации-обусловлена следующими обстоятельствами :
а) Краевая задача для уравнений параболического типа с производной по времени в краевом условии встречается в ряде важных прикладных задач (см, ниже .).
6) Вопрос о приближенном решении упомянутой краевой задачи и о погрешности приближенного решения в литературе до сих пор мало исследован.
в) Один из важнейших приближенных методов - это метод Галеркина. Весьма важен вопрос о его устойчивости по отношению к малым погрешностям , допущенным при составлении системы уравнений Галеркина.
ОСНОВНОЙ ЦЕЛЬЮ ДИССЕРТАЦИИ является применение метода Галеркина к параболическим задачам с производной по времени в граничном условии .
НОВИЗНА РАБОТЫ заключается в том, что впервые получены -и -оценки погрешности приближенного решения и доказана устойчивость метода Галеркина для рассматриваемой задачи.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ. Для доказательства существования в единственности обобщенного решения рассматриваемой задачи - пользуется обычная схема года Галеркина. Следуя методу Дуглеса-Дюпона , получены -и -оценки погрешности приближенного решения по Галеркину. Используя определение С.Г.Михлина об устойчивости процесса Ритца для нелинейных задач, исследуется устойчивость метода Галеркина для полулинейных и квазилинейных параболических задач .
СИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. При исследовании ряда актуальных технических проблем возникает необходимость изучения смешанных задач параболического типа, когда граничное условие содержит производную по времени от искомой . Задача такого типа возникает ,например, когда поверхность тела, температура которой одинакова во всех ее точках поется хорошо переменой жидкостью [31].
Рассмотрим изотропный однородный круглый цилиндр радиуса R . погруженный в хорошо перемешиваемую жидкость , общая масса которой равна . Предположим , что в начальный момент времени цилиндр равномерно нагрет до температуры . а начальную температуру жидкости положим равной нулю. Ведем обозначения (t) - температура жидкости. - удельная теплоемкость C удельная теплоемкость жидкости ; M - масса цилиндра, U(r, t) - температура цилиндра, а- температуропроводность вещества цилиндра , C - его удельная теплоемкость. Предположим также, что на торцах цилиндра отсутствует теплообмен и все характеристики материала цилиндра в жидкости не зависят от температуры.
Температурное поле внутри цилиндра определяется уравнением ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

С начальными и гран7ицными условиями
U(r,0)=
U(R,t) =

Аналогичные линейные задачи с краевыми условиями, содержащие производную по времени от искомой функции, возникает при изучении теплового ранима ложа широкой многоводной реки [20].
При исследовании теплофизических процессов е поверхностными неоднородностями (поверхностная закалка металлов, кристаллизация жидкого металла, задачи теплового удара и т.д.) возникают задачи с нелинейными краевыми условиями [4], [10].
В частности, если однородное изотропное тело помещено в индуктор индукционной печи и на его поверхность падает электромагнитная волна, то определение нестационарного температурного по тематически сводится к решению уравнения теплопроводности с нелинейным краевым условием, при этом граничное условие содержит производную по времени от искомой функции :


ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. Для решения задачи об охлаждении цилиндра в хорошо перемешиваемой жидкости, в работе [31] применяется интегральное преобразование Лапласа-Карсона, в результате чего получено приближенное выражение искомого решения.
В монографии [20] приведены численные расчеты, графики температуры, градиент температуры в твердых телах различной геометрической формы при разнообразных краевых условиях.
Отметим, что корректность смешанной задачи для общего параболического уравнения с нестационарными граничными условиями, заданными на всей границе ограниченной области, доказана в работе[1].
В книгах И.Л.Расулова [21]. [22] методом контурного интеграла исследуются задачи параболического типа, содержание в граничном условии смешанную производную по времени и по нормали от искомой функции.
Доказательству существования обобщенных и классических решений посвящена работа Д.А.Митропольского и его сотрудников.
методом Роте. Получены оценки погрешности в норме

а в норме (2)

оценка получена при условии

Для всех
Метод Галеркина для доказательства существования и единственности решения параболических квазилинейных задач без производной по времени в граничном условии применялся многими авторами : Браудером, Лионсон, Вишиком, Ладиженской , Уральцевой, Дубанским и др.
Получением оптимальных оценок погрешности приближенного решения по Галеркину классических квазилинейных параболических задач занимались американские математики Дуглас, Дюпон, Денди, Вилер. Рачворд и др.
В работе [36] Дуглас и Дюпон получили –оценки погрешности метода Галеркина и некоторых дискретных по времени схем метода Галеркина, в частности, метода Галеркина-Кранка-Никольсона, применительно к квазилинейным параболическим задачам . Утверждается, что если и подпространство . в котором ищется приближенное решение, является пространством кусочно полиномиальных функций g(х) таких, что для всех
функции - непрерывные в области и )являются полином вида:

Кроме того в этих работах исследована устойчивость приближенных решений по Галеркину рассматриваем гильбертовом пространстве H .
В случае специального вида краевых задач и специального вида координатных и доказана устойчивость приближенного решения по Галеркину в равномерной метрике [24]. [28]. В работе [29] Д.Б.Тополянский и Н.И.Запрудский различают два понятия устойчивости: устойчивость и обобщенная устойчивость. Первое из них, будучи близким и определение .МА.Белиева, в то не время расширяет понятие устойчивости, а именно, дополнительно учитывает возмущения, возникающие при решении системы уравнений для значений искомых коэффициентов в начальный момент времени. Под обобщенной устойчивостью понимается устойчивость С.Г.Михлина. Исследована устойчивость приближенных решений в рассматриваемом гильбертовом пространстве. Эта устойчивость установлена в предположении сильной минимальности координатной системы.
Теперь переход к изложению основных результатов настоящей диссертации. Диссертация состоит из двух глав. В глава I Данная работа состоит полу шести параграфов . §I носит вспомогательный характер. В нем определяется обобщенное решение ,строится приближенное решение по Галеркину и дается определение семейства .
Исследование задачи теплопроводности приводит и введению некоторой эллиптической задачи, которая исследуется в §2. Следуя методу Дуглеса-Дюпона .мы сначала получаем -оценку для

Где U - обобщенное решение задачи теплопровод

Главной частью. В § I методом Галеркина доказывается существование и единственной обобщенного решения в случае монотонных коэффициентов. Далее получены оценки скорости сходимости метода Галеркина (