Задача со смешанными граничными условиями для сингулярного эллиптического уравнения в бесконечной области

Известия вузов. Математика https://kpfu.ru/science/nauchnye-izdaniya/ivrm
2022, №7, с. 58-72 e-mail: [e-mail]

Т.Г.ЭРГАШЕВ, Э.Р.ТУЛАКОВА

ЗАДАЧА СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ

СИНГУЛЯРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ
ОБЛАСТИ

Аннотация. Решения задача Дирихле и Неймана для многомерного сингулярного эллиптиче –

ского уравнения в бесконечной области найдены в явних формах в недавных работах авто –
ров. В данной работе изучаеучается задача со смешанными условиями, являющаяся естественным
обобщением ранее рассмотренных задача Дирихле и Нейманаю При докозательствесущественным
вания единственного рещения поставленной задача используютсия представление гипергеометрической функции Лауричеллы при предельных значениях переменных и новая формула для многократнных интегралов, которая обобщает известную формулу из справочника
И.С. Градштейна и И.М. Рыжика.

Ключевые слова: задача со смешанными граничыми условиями в бесконечной области, многомерное эллиптическое уравнения с сингулярными коэффициентами, фундаментальное ре –

шение, формула о предельных значениях гипергеометрической функции, гипергеометрическая
функция Лауричеллы многих переменных.

УДК: 517.946

DOI : 10.26907/0021-3446-2022-7-58-72
Введение
Пусть - – мерное евклидово пространство произвольная точка в нем и
- натуральное число, причем Бесконечную область уючасть евклидова пространства ,
Определим следующим образом:



Рассмотрим обобщенное сингулярное эллиптическое уравнени

в где и -действительные числаб, причем
Введем следующие обозначения:





_________

Поступила в редакцию 28.09.2021, после доработки 11.11.2021. Принята к публикации 23.12.2021

ЗАДАЧА СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 59

Под модулем вектора будем понимать сумму его элементов, например, для вектора

Из (1) имеен

Задача со смешанными граничными условиями (Задача

Найти регулярное решение (х) уравнения (1) из класса функций удовлетворящее условиям
, (2)
(3)
(4)
(при требуется ограниченность искомого решения на бесконечности), где и
- такие заданные функции, что
(5)
(6)
Кроме того, функции удовлетворяют условиям согласования на первых боковых гранях области и в начале координат:
…., (8)
В постановке задачи фигурирует вектор , получаемый из вектора исключением -й компоненты: