Занятие Тригонометрическая форма комплексного числа

Занятие 1. Тригонометрическая форма комплексного числа

Примеры решения типовых задач

Уровень А
1. Запишите комплексные числа и в тригонометрической форме и изобразите их на комплексной плоскости. Чему равны модули этих чисел и каковы их аргументы? Дайте геометрическую интерпретацию.
Решение. Число в алгебраической форме изображается точкой в первой четверти комплексной плоскости, координаты которой - (1, Найдем модуль этого числа: Геометрический смысл модуля – длина радиуса-вектора данного комплексного числа, другими словами – расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число.
Для вычисления аргумента рассмотрим соотношения:
, . Откуда, с учетом знаков синуса и косинуса, их значений и того, что число изображается точкой в первой четверти, следует, что . Геометрический смысл аргумента - угол между положительным направлением оси х и радиусом-вектором комплексного числа. Аргумент определяется с точностью до слагаемого, кратного числу
Окончательно запишем:
Выполним аналогичные действия для числа
значение модуля равно длине расстояния от начала координат до точки во 2 четверти комплексной области с координатами (-1,
, откуда угол между положительным направлением оси х и радиусом-вектором комплексного числа Окончательно получаем:

Ответ:

2. Найдите произведение и частное чисел и в тригонометрической форме и сформулируйте правило умножения.

Решение.
В предыдущем примере были получены тригонометрические формы данных чисел. Поэтому,

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются, поэтому

В тригонометрической форме ответ получен. Можно перевести его в алгебраическую форму:
)+(
При делении комплексных чисел в тригонометрической форме модуль делимого делится на модуль делителя, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя:


Если перейти к алгебраической форме записи, то частное в данном примере будет равно числу .