Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги


Download 2.43 Mb.
Pdf просмотр
bet1/15
Sana01.04.2018
Hajmi2.43 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

ЎЗБЕКИСТОН  РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА  МАХСУС  ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ 

 

 



БЕРДАХ  НОМИДАГИ  ҚОРАҚАЛПОҚ  ДАВЛАТ  УНИВЕРСИТЕТИ 

 

 



АМАЛИЙ МАТЕМАТИКА ВА ИНФОРМАТИКА КАФЕДРАСИ 

 

 



 

 

“ТАСДИҚЛАЙМАН ” 



ҚДУ ўқув ишлари бўйича проректори 

 ___________________  М. Ибрагимов  

“____” _______________ 2007 й. 

 

 



 

 

 



 

 

     Доцент  М.Х.Аламиновнинг  “Ҳисоблаш   усуллари”   курси бўйича 



 

МАЪРУЗАЛАР   МАТНИ 

 

 

Амалий математика мутахассислигининг 3-4  курс  талабаларига мўлжалланган. 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

НУКУС - 2007 й. 



 

2

Мундарижа 



 

1 -Маъруза. 

 Кириш. Ҳисоблаш математикасининг  ривожланиш тарихидан.Сонли      

                    усуллар назарияси. 

2-Маъруза. Математик моделлаштириш  ва  хатоликлар назарияси элементлари.  

3-Маъруза. Функцияларни яқинлаштириш масаласи .  Лагранжнинг интерполяцион формуласи. 

4-Маъруза. Бўлинган ва чекли айирмалар,уларнинг хоссалари.Ньютон  интерполяцион        

                    формуласи.  

5-Маъруза.  Интерполяцион кўпҳадларнинг қолдиқ ҳадларини  минимумлаштириш. 

6-Маъруза. Сонли дифференциаллаш. 

7-Маъруза. Функцияларни энг яхши бир текис яқинлаштириш. 

8-Маъруза. Функцияларни энг кичик квадратлар методи билан  яқинлаштириш. 

9- Маъруза.  Интегралларни тақрибий ҳисоблаш усуллари. 

10-Маъруза. Квадратур формулаларнинг аниқлигини ошириш. 

11-Маъруза. Энг юқори алгебраик аниқликдаги квадратур формулалар. Гаусс  формуласи. 

12, 13-Маърузалар.Каррали интегралларни тақрибий ҳисоблаш формулалари. Монте -Карло усули. 

14-Маъруза. Чизиқли  алгебраик  тенгламалар системасини ечишнинг сонли усуллари. Тўғри  

                        усуллар. 

15-Маъруза.  Чизиқли  алгебраик тенгламаларни ечишнинг итерацион усуллари. 

                Якоби ва  Зейдель итерацион усуллари. 

16-Маъруза.  Итерацион усулларнинг яқинлашувлиги ва унинг шартлари. 

17-Маъруза. Вариацион  кўринишдаги итерацион  усуллар. 

18-Маъруза. Чизиқли  эмас тенгламалар системаси учун итерацион усуллар. 

19-Маъруза. Матрицанинг хос  қийматларини тақрибий ҳисоблаш   усуллари. 

20-21Маърузалар.Оддий дифференциал тенгламалар учун Коши масаласи                                            

                     ечимининг сонли усуллари. 

22-Маъруза. Кўп қадамли экстраполяцион методлар. Адамс методи. 

23-Маъруза. Параболик типдаги дифференциал тенгламаларга қўйилган  

                      чегаравий масалар учун чекли айирмалар схемаларини ясаш. 

24-Маъруза. Эллиптик типтаги хусусий ҳосилали тенгламалар учун қуйилган  

                      чегаравий масалаларни чекли айирмалар методи  билан ечиш.  

25-Маъруза. Гиперболик тенгламалар учун  аралаш масалани ечишнинг  чекли  

                      айирмали усули. 

26- 27 Маърузалар.Математик физиканинг асосий тенгламалари учун  

                       қўйилган чегаравий масалаларни  Галеркин ва  Ритц усуллари билан ечиш. 

28-29 Маърузалар. Интеграл  тенгламаларни тақрибий  ечиш усуллари. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 


 

3

1 -Маъруза. 



Мавзу: Кириш. Ҳисоблаш математикасининг  ривожланиш тарихидан. 

Сонли усуллар назарияси. 

Режа: 

1.Қадимги Вавилон ва  Греция    математикаси. 

2.Ўрта Осие математикаси. 

3. Ўрта асрлар Европа математикаси. 

 

Таянч тушунчалар: Ҳисоблаш математикаси, ҳисоблаш эксперименти. 

 

Математика турмуш масалаларини ечишга булган эхтиёж (юзлар ва ҳажмларни ўлчаш, юлдузлар 



ҳаракатини кузатиш ва  бошқалар) туфайли вужудга келганлиги учун ҳам у сонли математика, яъни 

ҳисоблаш  математикаси  бўлиб,унинг  мақсади  эса  масала  ечимини  сон    шаклида  топишдан  иборат 

эди. Бу фикрга ишонч ҳосил қилиш учун математика тарихига назар ташлаш кифоя. 

Вавилон  олимларининг  асосий  фаолияти  математик  жадваллар  тузишдан  иборат  бўлган.  Шу 

жавдаллардан  бизгача  етиб    келганларидан  бири    милоддан  2000    йил  аввал  тузилган  бўлиб,унда  1 

дан  60  гача  булган  сонларнинг  квадратлари  келтирилган.  Милоддан  аввалги  747 йилда  тузилган 

бошқа  бир  жадвалда  Ой  ва  Қуёшнинг  тутилиш  вақтлари    келтирилган.  Грек  математикларига 

келсак,милоддан аввалги 220 йиллар  атрофида Архимед 

π сони учун 

7

1



3

71

10



3

<

<

π

  тенгсизлигини  



кўрсатди. Героннинг  милоддан аввалги 100-йиллар атрофида   итерацион усулдан фойдаланганлиги 

маълум. Диофант III асрда аниқмас тенгламаларни  ечишдан  ташқари квадрат тенгламаларни сонли 

ечиш усулини яратган. 

IX  асрда  яшаган  буюк  ўзбек  математиги  Мухаммад  ибн  Муса  ал-Хоразмий  ҳисоблаш 

усулларини  яратишга  катта  ҳисса  қўшган.  Ал-Хоразми 

π≈3,1416  қийматини    аниқлади,  математик 

жавдалларни  тузишда  фаол  қатнашди.  Абул  вафо    ал-Бузжоний  960-йилда  синуслар  жавдалини  

ҳисоблаш  усулларини ишлаб чиқди  ва 

o

2

1



sin





нинг қийматини тўққизта ишончли рақами билан 

берди. XVII асрда инглиз математиги Ж.Непер(1614-1619), швециялик И.Бюрге(1620), инглиз Бригс 

(1617),  голландиялик  А.Вланк(1628)  ва  бошқалар  томонидан  яратилган    логарифмлар  жадваллари 

Лаплас сўзи билан айтганда ”ҳисоблашларни қисқарттириб, астрономларнинг умрини узайттирди”. 

Тадбиқий масалаларни сонли ечиш математиклар эътиборини доимо ўзига тортар эди. Шунинг 

учун  ҳам  ўтган    замоннинг    буюк  математиклари  ўз  тадқиқотларини    табиий    жараёнларни  

ўрганиш,уларнинг моделларини тузиш ва  моделларини  тадқиқ  этиш ишларини бирга қўшиб олиб 

боришган,  улар  бу  моделларни  текшириш  учун  махсус  ҳисоблаш  усулларини  яратишган.Бу 

усулларнинг  айримлари  Ньютон,  Эйлер,  Лобачевский,  Гаусс,  Чебышев,  Эрмит  номлари  билан 

боғлиқдир.  Бу    шуни    кўрсатадики,  ҳисоблаш    усулларини  яратишда  ўз  замонасининг  буюк 

математиклари шуғулланишган. 

Математиканинг  ҳозирги  замон  фан  ва    техниканинг    хилма-хил  соҳаларининг    тадбиқларида, 

одатда,шундай  типик  математик  масалаларига  дуч  келинадики,уларни  классик  усуллар  билан  ечиш 

мумкин    емас.  Бундай  типик  математик  масалаларга  алгебра  (тартиби  катта  бўлган    алгебраик 

тенгламалар системасини ечиш, матрицаларнинг тескарисини топиш, матрицаларнинг хос сонларини 

топиш,  алгебраик  ва  трансцендент  тенгламалар  ҳамда  бундай    тенгламалар    системасини    ечиш), 

математик анализ (сонли интеграллаш ва дифференциаллаш, функцияни якинлаштириш масалалари) 

ҳамда  оддий  ва  хусусий  ҳосилали  дифференциал  тенгламаларни  ечиш  масалалари  ва  бошқалар 

киради. 


Фан  ва  техниканинг  жадал  равишда  ривожланиши,атом  ядросидан  фойдаланиш,учувчи 

аппаратларни (самолет, ракета)   лойиҳалаш , космик учиш  динамикаси,бошқариладиган термоядро 

синтези  муаммоси  муносабати  билан  плазма  физикасини  ўрганиш  ва  шунга  ўхшаган  кўп  

масалаларни  текшириш  ва ечишни тақозо қилмоқда. Бундай масалалар ўз навбатида математиклар  

олдида    янгидан-янги  ҳисоблаш  усулларини  яратишни  вазифа  етиб  қўяди.  Математикадан  типик 

математик  масалаларнинг    ечимларини  етарлича  аниқликда  ҳисоблаш  имконини  берувчи  усуллар 

яратишга  ва  шу  мақсадда  ҳозирги  замон  ҳисоблаш  воситаларидан    фойдаланиш  йўлларини    ишлаб  

чиқишга  бағишланган соҳа ҳисоблаш математикаси дейилади. Ҳисоблаш усулларига сонли усуллар  



 

4

дейилади.  Сонли  усуллар  яратишда  ҳисоблаш  математикасининг    имкониятлари    ҳисобга  олиниши 



муҳим  аҳамиятга  эга.  Чунки  ҳозирги  вақтда  мураккаб  масалаларни  ЭҲМларсиз    ечиб    бўлмайди. 

ЭҲМлар  ёрдамида    масалалар    ечиш  эса  биринчи  навбатда  сонли  усуллар  алгоритмининг 

турғунлигини  талаб  қилади.  Бунинг  маъноси    шундан    иборатки,  ҳисоблашнинг  дастлабки 

қадамларида  йўл  қўйилган  хато,  кейинги  қадамларда  ортмаса,у  ҳолда    ҳисоблаш    алгоритми 

дастлабки    хатога  нисбатан  турғун  дейилади,  аксинча    нотурғун  дейилади.  Турғун  бўлмаган 

алгоритмлар  масалани  тақрибий ечиш учин яроқсиздир. 

Ҳозирги  вақтда  ЭҲМлар  ёрдамида  масалалар    ечиш    жараёни  ҳисоблаш  эксперименти    деб  

юритилади. У  қуйидаги босқичлардан иборат: 



1.  Тадқиқот объекти. 

2.  Объектнинг математик модели. 

3.  Сонли усуллар (қисоблаш алгоритми). 

4. Программалаштириш ва ЭХМ. 

5.  Ҳисоблашларни бажариш . 

6. Натижаларни таҳлил килиш ва моделга тузатишлар киритиш. 

Ҳисоблаш эксперименти жараёнларнинг математик моделларини тузиб,  уни  сонли усуллар ва 

ЭҲМ ёрдамида ечишни ташкил этиш технологиясига айтилади. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

5

 



2-Маъруза. 

Мавзу: Математик моделлаштириш  ва  хатоликлар назарияси элементлари.  

 

Режа: 

 

1.Математик моделлаштириш. 

2.Хатоликлар назарияси. 

 

Таянч тушунчалар: Математик модел, абсолют ва нисбий хато, ишончли рақам. 

 

Математикада  мураккаб    жараенлар  ва  объектларни  ўрганиш  уларнинг  математик  

оделларини сонли усуллар ва ЭХМ ердамида ечиш йули  билан амалга оширилади. 

Математик  модель  деб  ўрганилаетган  жараён  еки  объектнинг  асосий  хусусиятининг  ва 

хоссаларининг  математика  тилида  ёзилишига  айтамиз.  Математик  моделга  асосий  талаб 

унинг реал жараёнга адекватлиги  ва  шу билан бирга соддалигидир. 

Ҳар хил жараенлар ва ҳодисаларнинг математик  моделлари мавжуд бўлиб,  улар деярли 

барча фан соҳаларида учрайди. Механика, физика, техника, иқтисод, социология, тиббиет,  

лингвистика фанлари масалалари  математик  моделлари  кенг тарқалган бўлиб, амалиётда 

қўлланилиб келмоқда. 

     Математик  моделларда      табиат    ҳодисаларининг    миқдорий  нисбати  у  еки  бу 

функцияларни бир-бирлари билан  боғлайдиган тенгламалар ёрдамида  тасвирланади  ва бу 

функцияларнинг бир кисми маълум бўлиб (дастлабки  маълуматлар), бошқаларини  топишга 

тўғри  келади,табиийки,топилиши  керак  бўлган миқдорлар (масаланинг ечими) дастлабки 

маълумотларнинг  функцияси  бўлади.  Дастлабки  маълумотлар  эса,  одатда  тажрибадан 

олинади  (масалан,ёруглик  тезлиги,  Планк  дойимиси,  Авогадро  сони    ва  ҳ.к.)  еки  бошқа 

бирор масалани ечишдан ҳосил бўлади. 

Аниқ  ечим  билан  тақрибий  ечим  орасидаги  фарқ  хато  дейилади.  Математик  модел  

тузишда    ва    дастлабки  маълумотларнинг  ноаниқлиги  натижасида  ҳосил  бўлган  хато 

йўқотилмас  хато  дейилади.  Агар  дастлабки  маълуматларнинг  аниқлиги  катта  бўлмаса, 

аниқлиги жуда катта бўлган усулни қўллаш ўринсиздир. Чунки аниқлиги катта  бўлган  усул 

кўп  меҳнатни  талаб  қилади,  лекин  натижанинг  хатоси  бари-бир  йўқотилмас  хатодан  кам 

бўлмайди. 

Масалаларни  ечишда    қўлланиладиган    тақрибий    ёки  сонли  усул  натижасида  ҳосил 

бўлган хатога усулнинг хатоси  дейилади. 

     Биз  дойимо 

2

,

2



ln

,

e



,

π

ва  шунга  ўхшаш  иррационал  сонларнинг  тақрибий 



қийматларини оламиз,бундан  ташқари,ҳисоблаш жараенида оралиқ натижаларда кўп хонали 

сонлар  ҳосил  бўлади,буларни  яхлитлаб  олишга  тўғри  келади.  Бундай  хатоларга  ҳисоблаш 

хатоси  дейилади. 

Шундай  қилиб,  тўлиқ    хато  юқорида    айтилган    йўқотилмас  хато,усул  хатоси    ва 

ҳисоблаш хатоларининг йиғиндисидан иборатдир. 

Масалани қўлда  ёки  ҳисоблаш машинасида ечаётганда биз барча ҳақиқий сонлар билан 

иш кўрмасдан,  сонларнинг дискрет тўпламлари билан иш кўрамиз 

 

(



)

1

m



n

m

1



n

2

n



1

q

...



q

q

+



+



+

+

±



α

α

α



                                        (1) 

Бу ерда  натурал сон q-саноқ системасининг асосидир: 

α

1

,

α

ғ



,…,

α

m

 - бутун сонлар бўлиб, 

 α



i

 

 q-1  шартни  қанаотлантиради; m-сонлар  хонасининг  миқдори,  бутун сон  n|n|    n

0

 

шартни  қанаотлантиради.  Қўлда  ҳисоблашларда  ўнлик  саноқ  системаси  (q=10);  ЭҲМларда 



q=2

 саноқ системаси ишлатилади. 



 

6

Одатда,  арифметик  амалларни    бажариётганда  кўп  хонали  сонлар  ҳосил  бўлади. 



Натижада  ҳосил  бўлган  сон  берилган  тўпламдан  чиқиб  кетмаслиги  учун m-хонасигача 

яхлитланади. Бу қуйидагича бажарилади: 

)

x

(



f

)

x



(

f

)



x

(

f



)

x

(



f

)

x



(

f

4



3

2

1



0

                                             (2) 

сонли  яхлитлашда,  агар 

q

2



1

...


q

1

2



m

1

m



<

+

+



+

+



α

α

  булса (2) сонли  (1)  сон  билан 



алмаштирамиз, агарда 

q

2



1

...


q

1

2



m

1

m



>

+

+



+

+



α

α

 бўлса, (2) сонни 



(

)

1



m

n

m



1

n

2



n

1

q



)

1

(



...

q

q



+



+

+

+



+

±

α



α

α

                                 (3) 



га  алмаштирамиз.  Энди  шубҳали  ҳол 

q

2



1

...


q

1

2



m

1

m



=

+

+



+

+



α

α

  қолди.  Бу  ҳолда 



ЭҲМларда (2) сони (3) сони билан алмаштирилади, қўлда ҳисоблашда жуфт рақам қойидаси 

ишлатилади.  Яъни,  агар 

α

m

  жуфт  бўлса,  натижа  (1)  га  алмаштирилади  ва 



α

m

  тоқ  бўлса, 



натижа (3) га  алмаштирилади.  Мисол.  5.780475  сонни  яхлитласак    5.78048,  5.7805, 5.780, 

5.78

5.8;6 сонлари келиб чиқади. 

Агар a-бирор  миқдорнинг  аниқ  қиймати  бўлиб, a*-унинг  маълум    тақрибий  қиймати 

бўлса, у вақтда тақрибий a* соннинг абсолют хатоси деб 

∆a

*

 = 


| а - а

*

 



га  айтилади.  Абсолют  хато  соннинг  аниқлигини  тавсифловчи  белгиларидан  биридир. 

Абсолют  хато  фақат  назарий  аҳамиятга  эга,  чунки  биз  кўпинча  a  нинг  аниқ  қийматини 

билмаймиз.  Лекин  биз  абсолют    хатонинг    ўзгариш    чегарасини    кўрсатишимиз  мумкин. 

Шунинг  учин  бизга  номаълум  бўлган  абсолют  хато  ўрнига  янги  тушунча  киритамиз. 

Абсолют  хатодан  кичик  бўлмаган    ҳар  қандай  сон    тақрибий  a*-соннинг  лимит  абсолют 

хатоси деб айтилади. 

| а - а

*

 



| ≤ ∆(a

*

Мисол



π сонининг тақрибий қиймати π*=3.14 бўлса, унинг лимит абсолют хатосини топиши 

керак бўлсин. Маълумки,  3.14 < 

π < 3.15, шунинг учун | π-π*| < 0.01,  демак ∆(π*)=0,01 деб 

олишимиз  керак,  агар  3.14 < 

π < 3.142 тенгсизлигини    ҳисобга    олсак,  у  ҳолда  ∆(π*)=0,02 

сонга  эга  бўламиз  ва  ҳоказо.  Демак,  бундай  сонлар  чексиз  кўп  бўлиши    мумкин,  булар 

орасидан энг кичигини танлаб олиш керак. 

Абсолют хато ва лимит абсолют хато ҳисоблаш аниқлигини баҳолаш  учун  етарли эмас, 

Масалан, иккита узунлик ўлчанганда l1=500,2см

±0,1cм натижалар ҳосил бўлсин, бу ерда ҳар 

иккаласида  лимит  абсолют  хатолар  бир  хил  бўлишидан  қатьий  назар  биринчи  ўлчаш 

иккинчисига нисбатан  анча аниқ. Шунинг учун ҳам аниқликни яхшироқ баҳолайдиган янги 

тушунча нисбий хато тушунчасини  киритамиз. Абсолют  хатонинг тақрибий миқдорининг 

абсолют қийматига нисбати тақрибий соннинг нисбий хатоси деб айтилади 

*

a

*



a

*

a



δ =


 

Худди шунга лимит нисбий хато 

δ(a*) тушучаси киритилади 

*

a



*

a

*)



a

(



δ

=

 



Бу  ердан 

(a*)=|a*|.δ(a*)  келиб  чиқади.  Соннинг  ёзилишидаги,  чап  томондан  биринчи 

нолдан фарқли рақамидан бошлаб, ҳамма рақамлари маъноли рақамлар  дейилади. Масалан, 

a*=0,403 

сонининг  маъноли  рақамлари  учта.  Бирор 







1



2

1

ω



ω

  сонни  танлаймиз.  Агар 

(a*)≤ωq

n-k+1

 тенгсизлик бажарилса, у ҳолда тақрибий  



 

7

...



q

...


q

q

*



a

1

m



n

m

1



n

2

n



1

+

+



+

+

=



+



α

α

α



                                  (4) 

сонда 


α

k

 рақам ишончли рақам дейилади, акс ҳолда 

α

k

 шубҳали рақам дейилади. 

Тақрибий  сонни  езиш  қойидаси  шундан  ибаратки,унинг  охирги  маъноли  рақамли  ҳар 

доим  ишончли  бўлсин.  Ишончли  ракам  тушунчаси  жиддий  равишда 

ω  нинг  танланишига  

боғлиқ..  Эски  жавдалларда 

2

1

=



ω

  деб  олинар  эди,  кейинги  вақтлари 

2

1

>



ω

  бўлган 

жавдаллар  ҳам  учраб  турибди.  Бу  ерда 

2

1



>

ω

  деб  танланиши    тақрибий    сонларни  



яхлитлаятганда  ишончли  рақамларни  сақлашга  олиб  келар  экан.  Шунинг  учун  тажриба 

асосида тузилган жавдалларда одатда 

ω=1 деб олинади, ва ω=1 бўлганда  ишончли  ракамлар  

кенг маънода ишончли деймиз. 

Энди  аргументтинг  тақрибий  қийматлари  маълум  бўлганда  функциянинг  йўқотилмас 

хатосини топиш масаласини кўриб чиқайлик. Фараз қилайлик,  

(

)

n



2

1

x



,...,

x

,



x

f

y



=

 

функциянинг  қийматини  ҳисоблаш  керак  бўлсин,  бунда  аргументнинг  аниқ  қийматлари 



маълум  бўлмасдан,  фақат  тақрибий  қийматлари 

*

n



*

2

*



1

x

,...,



x

,

x



  ва  уларнинг  мос  равишдаги 

абсолют хатолари маълум бўлсин. 

Бу  масалани  ечиш  учин  қаралаётган  функция  ва  аргументларнинг  хатоларига  нисбатан 

биз қуйидаги шартларни қўямиз: 

а)  қаралаётган  сохада f узликсиз  дифференциалланивчи  бўлиб,  хусусий  ҳосилалари 

секин ўзгаради; 

б) аргументларнинг нисбий хатолари 

( ) ( ) ( )

*

n

*



2

*

1



x

,...,


x

,

x



δ

δ

δ



 етарли кичик. 

У холда Лагранж формуласига кўра қуйидаги ўринли 

(

)

(



)

( )


(

)



=



=

=



n

1



i

*

i



i

x

*



n

*

2



*

1

n



2

1

x



x

f

x



,...,

x

,



x

f

x



,...,

x

,



x

f

*



y

y

i



ξ

 

бу ерда 



ξ∈(x,x*) оралиғидаги нуқта. 

     Функцияга қўйилган 1) шартга кўра 

( )

ξ

i



x

f ′


 ни 

( )


*

x

f



i

x



 билан алмаштириш мумкин 

=





n

1

i



i

x

*)



x

(

*)



x

(

f



*

y

y



i

 



Демак, функциянинг абсолют хатоси учун қуйидаги формулага эга бўламиз 

=



=

n



1

i

i



x

*)

x



(

*)

x



(

f

*)



y

(

i



                                        (6) 



Энди функциянинг нисбий хатосини топиш кийин эмас, у қуйидагича  

*)

x



(

*)

x



(

f

*)



x

(

f



*)

x

(



f

*)

y



(

*)

y



(

i

n



1

i

x



i



δ

=



=

=



 

еки 


*)

x

(



}

*)

x



(

f

{ln



*)

y

(



i

n

1



i

x

i



δ



=

=



                                (ў

 

     Агар  функциянинг  нисбий    хатосини    аргументнинг    нисбий  хатоси  оркали 



ифодалайдиган бўлсак 

 

8

*)



x

(

}



*)

x

(



f

{ln


*

x

*)



y

(

i



n

1

i



x

i

i



δ



=

=



                                   (8) 

Энди  шу  формулаларнинг  айрим  таблицаларини  кўрайлик.  Қуйидаги n-та  сонларнинг 

йиғиндисининг U=x




Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling