Ózbekístan respublíkasi joqari hám orta arnawli bilimlendiriw míNÍSTÍRLÍGÍ berdaq atindaǵi qaraqalpaq mámleketlík uníversítetí matematika fakultetĺ Funkcional analiz, algebra hám geometriya kafedrasi Matematika tálim baģdarı 3V

Teorema 1.1 Usi ( itimalliq ushin usi

n

Formula orinli

Dalillew. ( itimalliqtin’ ta’riypine ko’re , bunnan ko’rinedi

(1.6)

Nyuton binomi formulasina ko’re

= = (1.7)

Ekinshi ta’repten (1.5) ten’likti usi

1= (p+q )= (1.8)

Ko’riniste jaziwg’a boladi. Jpqarida payda etilgen (1.7) ten’likti (-1)ge kobeytip (1.8) ten’likke ag’zalap qossaq

Aqirg’I ten’likti 1.6 formulani esapqa alsaq , usi

Formulani payda etemiz . Teorema da’lillendi

Biz uyrenip atirg’an formula Bernulli formulasi delinedi. Bul formulani ha’r bir ta’jiriybede itimallig’I oz’germes P bolg’an bazibir A waqiyanin’ n dana baylanissiz ta’jiriybelerinen k danasi ju’z beriwiitimallig’I sipatinda ko’rsetiw mumkin . Bernulli formulasinin’ apiwayi ko’riniwine qramastan jeterlishe ulken nlerda odan paydalaniw biraz qolaysizliqlardi juzege shigaradi .Bunday jag’dayda , a’sirese belgilenge jeterlishe ulken n ha’m k larda esaplaw processinde emes , ba’lkim aniq ekstremal ma’selerde dus kelemiz . Sol qatnas penen belgili shartler orinlaganda esaplawda juwiq esaplaw usillari ken’ qollaniladi .

Eger ha’r bir sinawda waqiianin’ ju’zege asiw itimallig’i turaqli ha’m ol p g’a ten’ bolsa, onda n ret g’a’rezsiz sinawlar ju’rgizgende usi waqiyanin’ da’l m ret ju’zege asiw itimallig’i:

formulasi menen esaplanadi. Buni da’lillew ushin n ret g’a’rezsiz sinawlar ju’rgizgende a waqiyasinin’ da’l m ret ju’zege asiwinin’ ha’m n-m ret aspawinin’ barliq mu’mkin bolg’an izbe-izligin du’zeyik

m ret n-m ret n-m ret m- ret

Bul izbe-izlik ag’zalarinin’ bir-birinen ayirmashilig’i tek ornalasiw ta’rtibinde g’ana bolip tur, sonliqtan oni a waqiyasi m ret, Ā wаqiyasi n-m ret ta’kirarlanip almasadi dep qarawg’a boladi. Olardin’ sani

Kelip shiqqan formula binomial formula dep te ataladi. Sebebi (1.1) ten’liktin’ on’ jag’i (px+q)ⁿ binominin’ jayilmasindag’i xm shamasinin’ koeffitsienti boladi. P_n(0),P_n(1),...,P_n((n) itimalliqlarinin’ izbe-izligi binomial bo’listiriw dep ataladi.

Yamasa



Meyli endi ha’r bir g’a’rezsiz sinawdin’ na’tiyjesinde o’z-ara birgelikte emes a1, a2 ,..., ak waqiyalarinin’ tek g’ana birewi g’ana ju’zege asatug’in bolsin

P( P( deyik

Biz o’tkergen n sinawda a₁ waqiyasinin’ m₁ ret, a₂ waqiyasinin’ m₂ ret,…, a_k waqiyasinin’ m_k ret ju’zege asiwinin’ itimallig’in tabayiq (m₁+ m₂+…+ m_k=n). Bul itimalliqti P_n(m₁, m₂,…, m_k) dep belgileyik. Bul itimalliq

tu’rindegi elementar waqiyalardin’ itimalliqlarinin’ qosindisina ten’. Bunday ha’r bir elementar waqiyanin’ itimallig’i ko’beyme-sine

ten’, al elementar waqiyalardin’ sani polinomial koeffitsientine ten’ bolg’anliqtan

(1)

(1) formula polinomial formula dep ataladi. Sebebi bul ten’liktin’ on’ jag’i (p₁ x₁+p₂ x₂+...+p_k x_k)n polinominin’ jayilmasindag’i x₁ m₁ ⋅ x₂ m₂ ⋅ ... ⋅ x_k m_k ⋅

an’latpasinin’ koeffitsienti boladi. Dara jag’dayda, k=2 bolg’anda (1.2) formuladan (1.1) formulani payda qilamiz.

Misali : Nishanag’a 3 ma’rte oq atiladi. Ha’r bir atqanda tiyiw itimallig’i 1/3 ge ten’ bolsa, nishanag’a da’l eki ma’rte tiyiw itimallig’in tabin’. Sheshiliwi: Ha’r bir atqanda oqtin’ nishanag’a da’l tiyiwin a waqiyasi desek, onda tiymewi Ā waqiyasi boladi. Berilgen sha’rt boyinsha

P(A)=p=

Demek , izlengen itimalliq

Itimalliqtin’ bul ma’nisin minaday dep tu’sinemiz: ha’r bir 3 ret atilg’an oq bir seriya qurap, bunday seriya ju’da’ ko’p orinlansa (sinawlar sani ko’p bolsa). Onda orta esap penen ha’r bir 100 seriyanin’ 22 seriyasinda atilg’an 3 oqtin’ da’l ekewi nishanag’a tiyedi.

2-misal. Joqaridag’i misal sha’rtin paydalanip, n=10,

= bolg’anda m=0,1,2,...,10 ma’nislerine sa’ykes keliwshi itimalliqlardi esaplan’ ha’m grafigin jasan’. Sheshiliwi: izlep atirg’an itimalliqlardi (1.1) formula boyinsha esaplayiq

itimalliqlardin’ ma’nislerinin’ grafigin jasaw ushin abstsissa ko’sheri boylap m nin’ ma’nislerin, ordinata ko’sheri boylap P_n(m) nin’ ma’nislerin jaylastiramiz.

Kelip shiqqan noqatlardi siniq siziqlar menen tutastirsaq 6-su’wrette ko’rsetilgendey ko’pmu’yeshlik hasil boladi. Endi P_n(m) itimalliqtin’ n turaqli bolg’anda m nin’ o’zgeriwi menen qalay o’zgeretug’inin izertleyik. Joqaridag’i 2-misalg’a diqqat awdarsaq, P_n(m) funktsiyasi m artqanda, m nin’ belgili bir ma’nisine deyin o’sip, maksimum ma’nisti qabillaydi, al m nin’ qalg’an ma’nislerinde Pn(m) ma’nis kemip baradi. P_n(m) nin’ en’ u’lken ma’niske sa’ykes keletug’in m nin’ ma’nisin en’ ko’p itimalliqqa iye san dep ataydi. Bul sandi m₀ arqali belgileyik. Usi en’ ko’p itimalliqqa iye m0 sandi qalay aniqlawdi ko’rip o’teyik. 0

bolatug’inlig’in tekserip ko’riw qiyin emes. Bul ten’likten, eger de

ekenligi kelip shig’adi. Eger de np-q pu’tin san bolsa, onda Pn(m) itimalliq m nin’ eki ma’nisinde en’ u’lken ma’niske iye boladi: m'₀=np-q ha’m m₀''=np-q+1=np+p. Eger de np-q pu’tin san bolmasa, onda Pn(m) itimalliqtin’ maksimal ma’nisi m nin’ m₀'=np-q dan u’lken en’ kishi pu’tin m=m₀ ma’nisinde erisiledi. Uliwma aytqanda en’ u’lken itiialliqqa iye bolg’an m₀ san to’mendegishe aniqlanadi:

Eger de np-q<0 bolsa, onda np-q (1.3)

boladi, al eger de np-q=0 bolsa, onda

Misali .Bir reyste poezdg’a otiriwshi 855 passajirdin’ ha’r birinin’ keshigiw itimallig’i 0,02 ge ten’. Poezdg’a otiriwshi en’ ko’p itimalliqqa iye bolg’an passajirdin’ sanin aniqlan’. Sheshiliwi: Bizin’ misalimizda n=855, p=0,02, q=0,98. Onda (1.3) ten’sizlik boyinsh

855

Bunnan 17.1-0.98+0.02

yamasa 16.12

Demek,

Misali Meyli n=50 p= En’ ko’p itimalliqqa iye

ma’nis ekew:

=16

P_n(m) itimalliqtin’ ma’nisleri to’rtinshi onliq belgige shekemgi aniqliq penen to’mendegi tablitsada ko’rsetilgen.