[-]
Download 1.26 Mb. Pdf ko'rish
|
nelokalnaya kraevaya zadacha dlya uravneniya lavrentieva bitsadze
|
517.95
| DZ. . å ஢ ¢¥¤¥¨¥. ç «®
¨áá«¥¤®¢ ¨© ªà ¥¢ëå
§ ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨© á¬¥è ®£® ⨯ ¡ë«®
¯®«®
¥® ¢ 30-å
££ . ¯à®è«®£® á⮫¥â¨ï. â¥-
à¥á ª ãà ¢¥¨ï¬ â ª ®£® ¢¨¤ ¢®§¨ª
¢ á¢ï§¨
á ⥬,
çâ® à ï¤ ¢ ëå ¯à®¡«¥¬
£ §®¢®©
¤¨ ¬¨ª¨, £¨¤à®
¤¨ ¬¨ª¨ ¬® ® ᢥá⨠ª ªà ¥¢ë¬ § ¤ ç ¬
¤«ï ãà ¢¥¨© á¬¥è ®£® ⨯ .
DZ¥à¢ë¥ ä㤠¬¥â «ìë¥ à¥§ã
«ì â âë ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë
. ਪ
®- ¬¨.
ä®à¬ã
«¨àã ¥â ªà ¥¢ãî § ¤ çã ¤«ï ãà ¢¥¨© á ¤¢ã¬ï ¥§ ¢¨á¨- ¬ë¬¨
¯¥à¥¬¥ë¬¨, ⨯
ª ®â®àëå
¢ ® ¤®© ç á⨠¯«®áª
®áâ¨ í««¨¯â¨ç¥- ᪨©, ¢
| £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨©. «ì¥©è¥¥ à §¢¨â¨¥
१㠫ì â ⮢ ਪ
®¬¨ ¡ë«®
¯®«ã祮 ¢ à ¡®â å . ¥««¥àá⥤â , £ ¤¥ ® à áᬠâà¨- ¢ ¥â ¡®«¥¥
®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ á¬¥è ®£® ⨯ .
à ¢¥¨ï¬¨ á¬¥è ®£® ⨯ § ¨¬ «¨áì â ª
¥ . . ¢à¥- â쥢,
. . à ª«ì, . . ¡¥ª ®, . . ¯«ë£¨. ª ¤¥¬¨ª . . ¢à¥â쥢 ¢¯¥à¢ë¥ ®¡à ⨫
¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® á ¬ë¬
¯à®áâë¬ ¨ ⨯¨çë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬
«¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ¯®à
浪
ᬥ- è ®£® (í««¨¯â¨ª ®-£¨¯¥à¡®«¨ç¥áª ®£®)
⨯ ï¥âá
ï ãà ¢¥¨¥ ∂ 2
∂x 2 + sgn y ∂ 2 u ∂y 2 = 0 . . . à ª«ì ®¡à ⨫
¢¨¬ ¨¥ ¢ ë¥ ¯à¨«®
¥¨ï § ¤ ç¨ à¨ª ®¬¨ ¨ ¤à㣨å à® ¤á⢥ëå ¥© § ¤
ç ª £ §®¢®© ¤¨ ¬¨ª
¥,
¨¬¥® ⥮à¨î
ã áâ ®¢¨¢è¨å á ï ᬥè ëå ¤®- ¨ ᢥà 姢㪠®¢ëå
â¥ç¥¨©. 2008
å ஢
DZ.
.
18 å
஢ DZ. . DZਪ« ¤ ï ¢ ®áâì
ãà ¢¥¨© á¬¥è ®£® ⨯ § ª«îç ¥âá ï â ª ¥ ¢ ¯à¨«® ¥¨ïå
⥮ਨ íâ¨å
ãà ¢¥¨© ¢ £¨¤à®¬¥å ¨ª ¥ á ¨¬ - ¥¬®©
¨¤ª ®áâ¨
¨ ¢ ¢®¯à®á å ¡¥§¬®¬¥â®© ⥮ਨ
®¡®«®ç¥ª. í⮩ à ¡®â¥ à áᬠâਢ ¥âá ï ¥«®ª
«ì ï ªà ¥¢ ï
§ ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨ï á¬¥è ®£® ⨯ ¢â®à®£®
¯®à 浪
. DZ® ¤®¡ë¥ ãà ¢¥¨ï à áᬠâਢ «¨ . .
[1℄, . . DZïâª
®¢ [2℄,
. . 燐¢ [3℄, . . £®à®¢ [4℄
¨ ¤à.
®à४â®áâì ¥«®ª
«ìëå ªà ¥¢ëå
§ ¤ ç ¤«ï ¥ª ®â®àëå
®¡é¨å ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®-®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨© ¨§ã-
ç ¥âá ï ¢ à §«¨çëå ᯥªâ
å ¢ à ¡®â å . . ¥§¨ , . . ®¬ ª
®, . . àçãª
(á¬. [5℄), . . ¢à¥â쥢 [6℄
¨ ¤à.
¡®«ìè¨á⢥ ¨§ íâ¨å
à ¡®â ¢ë¤¥«ïîâá ï á«ãç ¨
ª ®à४â®
¯®áâ ¢«¥ëå
§ ¤ ç. 1. DZ®áâ ®¢ª
§ ¤
ç¨. ¤ ®© à ¡®â¥ ¢ ®¡« á⨠Q 0 = (0 < t < T
) × ( − 1
1) ¨áá«¥¤ã
¥âá ï ª ®à४â®áâì ¨ ã
ª ®à-
४â®áâì § ¤
ç u tt + sgn
xu xx = 0; (1)
u ( t, − 1) = u ( t, 1) = 0 , 0 6 t 6 T ; (2)
u ( t, − 0) = u ( t, +0) , u x ( t, −
0) = u x ( t, +0) , 0 6 t 6 T
; (3)
l 1 ( u ) = a 11 u (0 , x
) + a 12 u t (0 , x
) + b 11 u ( T, x ) + b 12 u t ( T, x ) = f 1 ( x ) , l 2 ( u ) = a 21 u (0 , x ) + a 22 u t (0 , x ) + b 21 u ( T, x ) + b 22 u t ( T, x ) = f 2 ( x ) , (4) £ ¤¥ a ij , b
ij ( i, j = 1 , 2) | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« , ä®à¬ë
l 1 ( u ) ¨ l 2 ( u ) «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. áᬠâਢ ¥¬ ï ¬¨ § ¤
ç (1){(4)
¥«®ª «ì
¢ ⮬
á¬ëá«¥, çâ®
ã á«®¢¨ï
(4) á¢ï§ë¢ îâ § 票ï
u ¨ u t ¯à¨
t = 0 ¨ t = T . 1.1. ¯¥ªâà «ì ï § ¤
ç . ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¡ã ¤¥¬ ¯®«ì§®- ¢ âìá
ï ᢮©á⢠¬¨ ᮡá⢥ëå §
票© ¨ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ᯥª-
âà «ì®© § ¤
ç¨ − sgn xv xx ( x ) = λv ( x ) , v ( t, −
1) = v ( t, 1) = 0 , v ( t, − 0) = v ( t, +0) , v x ( t, −
0) = v x ( t, +0) . (5) ¥«®ª «ì ï
ªà ¥¢ ï § ¤
ç 19 DZã áâì
ϕ + i ∞ i =1 , ϕ − i ∞ i =1 | ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ § ¤
ç¨ (5),
®â- ¢¥ç î騥
ᮮ⢥âá⢥® ¯®«®
¨â¥«ìë¬ λ + i , ®âà¨æ ⥫ìë¬ λ − i ᮡ- á⢥ë¬
§ 票ï¬,
¯à¨ç¥¬ λ + i , −λ − i ®¡à §ãîâ ¥ã¡ë¢ î騥 ¯®á«¥-
¤®¢ ⥫ì®áâ¨. ¡®§
稬 ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ L 2 ( − 1 , 1): ( u, v
) = 1 Z − 1 uv dx. § § ¤ ç¨ (5)
¯®«ãç ¥¬, çâ®
ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨
®¡« ¤ îâ ᢮©á⢮¬ sgn xϕ
i , ϕ
± j = ±σ ij , sgn
xϕ + i , ϕ − j = 0 ∀i, j. DZã áâì P ± | ᯥªâà «ìë¥ ¯à®¥ªâ®àë, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ à ¢¥á⢠¬¨ P ±
= ∞ X i =1 sgn xw, ϕ ± i ϕ ± i . ®£ ¤ ᮣ « á® [2℄
¨¬¥¥¬ ( P + − P
− ) w = w, (sgn x ( P + − P
− ) w, w ) = kwk 2 0 , (sgn xP + w, ψ ) = (sgn xw, P
± ψ ) , w, ψ ∈ H
0 = L 2 ( − 1 , 1) , kwk
2 0 = ∞ X i =1
sgn xw, ϕ + i 2 + sgn xw, ϕ
− i
2
. (6) ®£
« ᮠ१ã
«ì â â ¬ à ¡®âë
[2℄ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ § ¤
ç¨ (5)
®¡à §ãîâ ¡ §¨á
¨áá ¢ H 0 ¨ ®à¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ L 2
− 1 , 1), ®¯à¥¤¥-
«¥ ï à ¢¥á⢮¬ (6), íª¢¨¢ «¥â ¨á å ® ¤®©. ©¤¥¬
ᨬ¯â®â¨ªã λ . ¤® à áᬮâà¥âì âਠá«ãç ï
®â ¤¥«ì®:
1) λ <
0, 2) λ = 0, 3) λ > 0. «ãç © 1. λ <
0. «¥¢
®â ®á¨
x = 0 ãà ¢¥¨¥ ¯à¨¬¥â
¢¨¤ v ′′ = λv . ãç¥â®¬
£à ¨ç®£® ã á«®¢¨ï v ( − 1) = 0 íâ® ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥
v λ = A sin
√ −λ (1 + x ) . ¯à ¢
ãà ¢¥¨¥ ¯à¨¬¥â
¢¨¤ v ′′ = −λv
, ¥£®
à¥è¥¨¥ á ãç¥â®¬ £à ¨ç- ®£®
ã á«®¢¨ï
v (1)
= 0 | ¢¨¤ v λ = B sh √ −λ (1 − x ) . 20 å
஢ DZ. . DZ®«® ¨¬
x = 0 ¨ ¯® ¤áâ ¢¨¬ íâ¨
à¥è¥¨ï ¢ ã á«®¢¨ï ᪫¥©ª¨.
DZà¨å ® ¤¨¬ ª á¨á⥬¥
B sh √ −λ = A sin √ −λ ; −B h √ −λ = A os √ −λ. §¤¥«¨¢ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®¥,
¯®«ã稬 ã á«®¢¨¥, ª ®â®à®¬ã
¤®«- ë ã ¤®¢«¥â¢®à ïâì
ᮡáâ¢¥ë¥ ç¨á«
§ ¤ ç¨ (5): th √ −λ = − tg √ −λ.
«ãç © 2. λ = 0. DZ®«ã稬 «®£¨ç®¥ á®®â®è¥¨¥, ª ®â®à®¬ã
¤®«ë ã ¤®¢«¥â¢®à ïâì ᮡáâ¢¥ë¥ ç¨á« § ¤
ç¨ (5):
th √ λ = − tg √ λ. (5.1) DZਠí⮬
à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤
ϕ λ = C sh √ λ (1 + x ) , x <
0; D sin √ λ (1 − x ) , x > 0 . «ãç © 3. λ > 0. DZà¨
λ = 0 áãé¥áâ¢ã ¥â ¥¤¨á⢥®¥ ã «¥-
¢®¥ à¥è¥¨¥.
¥è ï
âà á楤¥â®¥ ãà ¢¥¨¥ (5.1), ¯®«ã稬,
ç⮠ᮡá⢥ëå ç¨á¥« ¡¥áª
®¥ç®¥ ç¨á«®,
¢á¥ ®¨
¤¥©á⢨⥫ìë ¨ ¨¬¥îâ á«¥¤ãîéãî ᨬ¯â®â¨ªã ¡¥áª
®¥ç®áâ¨: p λ n = π ( n −
1 / 4 ) + O (1 /n ) . (5.2)
¬¥¥â ¬¥áâ®
à ¢¥á⢮ λ −n = −λ n ¤«ï «î¡®£®
n , â . ¥. ᯥªâà ¤¥«¨âá ï ®âà¨æ ⥫ìãî ¨ ¯®«® ¨â¥«ìãî ç áâ¨,
ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®âà¨æ -
⥫ìë¬ ¨ ¯®«® ¨â¥«ìë¬ á®¡áâ¢¥ë¬ ç¨á« ¬. 1.2.
¡é¥¥ à¥è¥¨¥.
믨襬 ¬ âà¨æã
ª ®íää¨æ¨¥â®¢ ªà ¥- ¢®£®
ã á«®¢¨ï
(4):
a 11 a 12 b 11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 , ¨ ¯à¥¤¯®«® ¨¬,
çâ® à £
¬ âà¨æë à ¢¥
2. ¨®à
í⮩ ¬ âà¨æë,
á®áâ ¢«¥ë©
¨§ i -£® ¨ j -£® á⮫¡æ®¢ ( i < j ), ®¡®§
稬 ç¥à¥§
d ij . ¥«®ª «ì ï
ªà ¥¢ ï § ¤
ç 21 DZã áâì d 12 6 = 0. DZ® ¤ ®¡®¡é¥ë¬ à¥è¥¨¥ ¬ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨
(1){(4) ¯®¨¬ ¥¬
äãªæ¨î u ( t, x ) â ªãî, çâ®
u ( t, x ) ∈ C
((0 , T
) , L
2 ( − 1 , 1)) , T Z 0 1 Z − 1 u ( t, x
)(sgn xv tt + v xx ) dxdt
= 1 Z − 1 sgn xv (0 , x ) a 11 f 2 − a 21 f 1 d 12 dx + 1 Z − 1 sgn xv t (0 , x ) a 12 f 2 − a 22 f 1 d 12 dx ¤«ï
«î¡®© äãªæ¨¨
v ( t, x ) ∈ W
2 2 ((0 , T ) , ( − 1 , 1)),
ã ¤®¢«¥â¢®à ïî饩 ã
«®¢¨ï¬ v ( t, − 1) = v ( t, 1) = 0, 0 6 t 6 T , ¨ â ª ®©,
çâ® l ∗ 1 ( v ) ≡ v
( T, x
) + d 14 d 12 v (0 , x ) + d 24 d 12 v t (0 , x ) = 0 , l ∗ 2 ( v ) ≡ −v t ( T, x ) + d 13 d 12 v (0 , x ) + d 23 d 12 v t (0 , x ) = 0 . á«ãç ¥, ª ®£ ¤ «î¡®©
¤à㣮© ¬¨®à
¬ âà¨æë ®â «¨ç¥ ®â ã «ï, ¯®ï⨥ ®¡®¡é¥®£® à¥è¥¨ï ¢¢®
¤¨âá ï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬. DZã áâì v ( t, x ) = µ i ( t ) ϕ ± i , ¯à¨ç¥¬ l ∗ 1 ( µ i ( t )) = 0, l ∗ 2 ( µ i ( t )) = 0, µ i ( t ) ∈ W 2 2 (0 , T ). ®£ ¤ T Z 0 1 Z − 1 sgn xu ( t, x ) ϕ ± i ( x ) µ ′′ i ( t ) − λ
± i µ i ( t )
dxdt = µ i (0) 1 Z − 1 sgn xϕ ± i ( x ) a 11 f 2 − a
21 f 1 d 12 dx + µ ′ i (0)
1 Z − 1 sgn
xϕ ± i ( x ) a 12 f 2 − a
22 f 1 d 12 dx ¨«¨ T Z 0 u ± i ( t ) µ ′′ i ( t ) − λ
± i µ i ( t )
dt = a 11 f ± 2 i − a
21 f ± 1 i d 12 µ i (0) + a 12 f ± 2 i − a 22 f ± 1 i d 12 µ ′ i (0)
. (7)
22 å
஢ DZ. . ¤¥áì u ± i ( t ) = 1 Z − 1 sgn xu ( t, x ) ϕ ± i ( x ) dx, f ± ij = 1 Z − 1 sgn xϕ ± i ( x ) f j ( x ) dx, j = 1 , 2 . DZã áâì
µ i ( t ) ∈ C ∞ 0 (0 , T ). ®£ ¤ ¨§ (7) á«¥¤ã
¥â à ¢¥á⢮ T Z
u ± i ( t ) µ ′′ i ( t ) dt = λ ± i T Z 0 u ± i ( t ) µ i ( t ) dt.
(8) ᯮ«ì§ã
ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¡®¡é¥®© ¯à®¨§¢®
¤®©, â®â
ä ªâ , çâ® u ± i ( t ), µ i ( t ) ∈ L 2 (0 , T ), ¨ à ¢¥á⢮ (8), ¯®«ã稬,
çâ® áãé¥áâ¢ã
¥â ®¡®¡é¥ ï ¯à®¨§¢® ¤ ï
u ± i tt , ¯à¨ ¤«¥ é ï
L 2 (0 , T ). ®£ ¤ u ± i ∈ W 2 2 (0 , T ),
â ª ª ª µ i ( t ) | ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï ¨§
∞ 0 (0 , T ), â® u ± i ( t ) tt = λ ± i u ± i ( t ). ⥣à¨àã ï (7) ¯® ç áâ
ï¬, ¯®«ã稬
( µ i ( t ) ∈ W 2 2 (0 , T
), l ∗ 1 ( µ i ( t )) = 0, l ∗ 2 ( µ i ( t )) = 0) T Z 0 µ i ( t )
u ± i ( t ) tt − λ
± i u ± i ( t ) dt = − µ ′ i (0) d 12 d 12 u ± it (0) − d
13 u ± i ( T ) + d 14 u ± it ( T ) − a
11 f ± 2 i + a 21 f ± 1 i + µ ′ i (0) d 12 d 12 u ± i (0) − d 23 u ± i ( T ) − d 24 u ± it ( T ) + a 12 f ± 2 i − a 22 f ± 1 i . ª ®ç â¥«ì® ¨¬¥¥¬ u ± i ( t )
tt = λ ± i u ± i ( t ) , a 11 u ± i (0)
+ a 12 u ± it (0) + b 11 u ± i ( T ) + b 12 u ± it ( T ) = f ± 1 i , a 21 u ± i (0) + a 22 u ± it (0)
+ b 21 u ± i ( T ) + b 22 u ± it ( T ) = f ± 2 i . (9) § (9) ¯®«ãç ¥¬ u + i ( t ) = 1 ( λ + i ) ( λ + i ) exp(( λ + i ) 0 . 5 t ) +
2 ( λ + i ) 1 ( λ + i ) exp( − ( λ + i ) 0 . 5 t ) , u − i ( t ) = 1 ( λ − i ) ( λ − i ) os ( |λ − i | 0 . 5 t ) + 2 ( λ − i ) 1 ( λ − i ) sin(
|λ − i | 0 . 5 t ) , ¥«®ª «ì ï
ªà ¥¢ ï § ¤
ç 23 §¤¥áì λ + i
= l 1 exp λ + i 0 . 5 t l 1 exp − λ + i 0 . 5 t l 2 exp λ + i 0 . 5 t l 2 exp − λ + i 0 . 5 t = 2 λ + i d 24 sh λ + i 0 . 5 T − d 13 sh λ + i 0 . 5 T − λ + i 0 . 5 ( d 12 + d 34 ) + λ + i 0 . 5 ( d 23 − d
14 ) h λ + i 0 . 5 T
;
1 λ + i = f + 1 i l 1 exp − λ + i 0 . 5 t − f + 2 i l 2 exp − λ
+ i 0 . 5 t
; 2 λ + i = f + 2 i l 1 exp
λ + i 0 . 5 t − f + 1 i l 2 exp λ + i
0 . 5 t ; λ − i = λ − i d 24 sin
λ − i 0 . 5 T
+ λ − i 0 . 5 ( d 12 + d 34 ) + ( d 14 − d 23 ) λ − i 0 . 5 os λ − i 0 . 5 T + d 13 sin
λ − i 0 . 5 T
; 1 λ − i = f − 1 i l 2 sin
λ − i 0 . 5 t
− f − 2 i l 1 sin λ − i 0 . 5 t
; 2 λ − i = f − 2 i l 1 os λ − i 0 . 5 t − f
− 1 i l 2 os λ − i 0 . 5 t
. 2. ®à४â®áâì § ¤ ç¨
® ¤®£®
á«ãç ï. DZã áâì a 12 = b 12 = a 22 = b 22 = 0, ® d 13 6 = 0. ®£ ¤ l 1 ( u ) = a 11 u (0 , x ) + b 11 u ( T, x ) = f 1 , l 2 ( u ) = a 21 u (0 , x
) + b 21 u ( T, x ) = f 2 , ¨«¨ u (0 , x ) = ( f 1 b 21 − f 2 b 11 ) /d 13 , u ( T, x ) = ( f 2 a 11 − f 1 a 21 ) /d 13 . ¤
ç (9)
¯¥à¥å ® ¤¨â ¢ á«¥¤ãîéãî: u ±
( t ) tt = λ ± i u ± i ( t ) , u ± i (0) = f ± 1 i b 21 − f ± 2 i b 11 d 13 , u
± i ( T ) = f ± 2 i a 11 − f ± 1 i a 21 d 13 , ¨ ¥¥ à¥è¥¨¥ â ª ®¢®: u + i ( t ) =
f + 1 i b 21 − f + 2 i b 11 sh λ + i
0 . 5 ( T − t ) + sh λ + i 0 . 5 t
f + 2 i a 11 − f + 1 i a 21
/
sh λ + i T d 13 ; u − i ( t ) =
f − 1 i b 21 − f − 2 i b 11 sin λ − i 0 . 5 ( T − t )
+ sin λ − i 0 . 5 t f − 2 i a 11 − f − 1 i a 21 / sin λ − i 0 . 5 T d 13 . (10) 24 å
஢ DZ. . ®£ ¤ à¥è¥¨¥ § ¤
ç¨ (1){(4),
¥á«¨ ®®
áãé¥áâ¢ã ¥â , ¨¬¥¥â ¢¨¤
u ( t, x ) = ∞ X i =1 u + i ( t ) ϕ + i ( x ) + u − i ( t ) ϕ − i ( x ) , (11) £ ¤¥ u + i ( t ), u − i ( t ) ®¯à¥¤¥«ïîâá ï ä®à¬ã « ¬¨ ¨§ (10). ¤ ®¬
á«ãç ¥
λ − i = d 13 sin λ − i 0 . 5 T ¨ íâ
äãªæ¨ï ¨¬¥¥â
¡¥áª ®¥çãî
楯®çªã ã «¥©: λ − i = π 2 n 2 T − 2 . DZ®í⮬㠧 ¤
ç (1){
(4) ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¢®®¡é¥
£®¢®à ï, ¥ª ®à४â . ª
¨ ¢ [6℄, ¬® ®
¯®ª § âì,
çâ® ¢ § ¤ ç¥ (1){(4)
®âáãâáâ¢ã ¥â ¥¯à¥àë¢ ï Download 1.26 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|