[-]
Download 355.85 Kb. Pdf ko'rish
|
ob-odnoy-nelokalnoy-kraevoy-zadache-dlya-uravneniya-smeshannogo-tipa
|
517.956
Ǒ
∗ ) . . Ǒ¨¨£¨ Ǒà®á⥩襩 ¬® ¤¥«ìî «¨¥©®£® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® ¯®à
浪
ᬥ- è ®£® (í««¨¯â¨ª ®-£¨¯¥à¡®«¨ç¥áª ®£®)
⨯ ï¥âá
ï ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ u
+ sgn
x · u xx = 0 , ç «® ¨áá«¥¤®¢ ¨© ªà ¥¢ëå § ¤
ç ¤«ï
ãà ¢¥¨© á¬¥è ®£® ⨯ ¡ë«®
¯®«®
¥® ¢ 30-¥
££ . ¯à®è«®£® á⮫¥â¨ï. â¥à¥á
ª ãà ¢-
¥¨ï¬ â ª ®£® ¢¨¤
¢®§¨ª ¢ á¢ï§¨ á ⥬,
çâ® à ï¤ ¢ ëå ¯à®¡«¥¬
£ §®¢®©
¤¨ ¬¨ª¨ ¨ £¨¤à® ¤¨ ¬¨ª¨ ¬® ® ᢥá⨠ª ªà ¥¢ë¬ § ¤ ç ¬
¤«ï ãà ¢¥¨© á¬¥è ®£® ⨯ .
Ǒ¥à¢ë¥ ä㤠¬¥â «ìë¥ à¥§ã
«ì â âë ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë
. ਪ
®- ¬¨,
áä®à¬ã «¨à®¢ ¢è¨¬ ªà ¥¢ãî § ¤
çã ¤«ï
ãà ¢¥¨© á ¤¢ã¬ï ¥§ - ¢¨á¨¬ë¬¨
¯¥à¥¬¥ë¬¨, ⨯
ª ®â®àëå
¢ ® ¤®© ç á⨠¯«®áª
®áâ¨ í««¨¯-
â¨ç¥áª¨©, ¢ ¤à㣮© | £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨©. «ì¥©è¥¥ à §¢¨â¨¥
१㠫ì-
â ⮢
ਪ ®¬¨
¯®«ã祮 ¢ à ¡®â å . ¥««¥àá⥤ , £ ¤¥ ¨áá«¥¤®¢ «¨áì ¡®«¥¥
®¡é¨¥ ãà ¢¥¨ï á¬¥è ®£® ⨯ .
¤ ®©
à ¡®â¥ à áᬠâਢ ¥âá ï ãà ¢¥¨¥ á¬¥è ®£® ⨯ ,
¤«ï ª ®â®à®£® ¢¬¥áâ® ç áâ¨
ªà ¥¢ëå ã á«®¢¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢à¥¬¥®© ¯¥à¥¬¥®©, § ¤ ¥âá
ï á¢ï§ì
¬¥¤ã §
票ﬨ à¥è¥¨ï
¨ ¥£®
¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®
¤®© ¯® ¢à¥¬¥¨ ¢ ç «ìë© ¨ ª ®¥çë© ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨.
∗ ) ¡®â
¢ë¯®«¥ ¯à¨ ä¨ á®¢®© ¯® ¤¤¥à
ª ¥ «¨â¨ç¥áª ®© ¢¥¤®¬á⢥®© 楫¥¢®© ¯à®£à ¬¬ë ý §¢¨â¨¥
ã箣®
¯®â¥æ¨ « ¢ëá襩
èª ®«ë
(2009{ 2010
££ .)þ
, ¬¥à®¯à¨ï⨥ 2, ¨
¨¨áâ¥àá⢠®¡à §®¢ ¨ï ¨
ü 02.740.11.0609. 2010 Ǒ¨¨£¨
. . ¡ ® ¤®© ¥«®ª «ì®©
ªà ¥¢®© § ¤
ç¥ 101
ª¨¥
ã á«®¢¨ï
®â®á ïâá
ï ª ã á«®¢¨ï¬, ¯®«ã稢訬 §¢ ¨¥ ¥ «®ª «ì- ëå. Ǒà¨
í⮬ ¥«®ª
«ìë¥ ªà ¥¢ë¥
§ ¤ ç¨ ¨áá«¥¤ãîâá ï ¤«ï
ãà ¢¥- ¨©,
⨯ ª ®â®àëå à §«¨ç¥ ¢ à §«¨çëå ç áâ ïå ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï à¥è¥¨ï.
®à४â®áâì ¥«®ª
«ìëå ªà ¥¢ëå
§ ¤ ç ¤«ï ¥ª ®â®àëå
®¡é¨å ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®-®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨© ¨§ã-
ç « áì ¢ à §ëå á«ãç ïå ¢ à ¡®â å . . ¥§¨ , . . ®¬ ª
®, . . àç㪠, . . ©¬ àª
, . . ¨á«®¢ , . . Ǒïâª
®¢ , . . £®à®¢ , . . ¡ 襥¢®© ¨ ¤à. (á¬. [1{4℄).
íâ¨å
à ¡®â å ¢ ®á®¢®¬ à áᬠâਢ îâá ï ª
¯®áâ ¢«¥ë¥
§ ¤ ç¨.
®¡« áâ¨
Q = ( − 1
1) ×
< t < T ) ¨áá«¥¤ã ¥âá ï ª ®à४â-
®áâì ¨ ã á«®¢ãî ª ®à४â®áâì ªà ¥¢ ï § ¤
ç ¤«ï
ãà ¢¥¨ï ⨯
¯«ë£¨ | à ª«ï, ¢à¥â쥢 | ¨æ ¤§¥: u tt + sgn x · u
xx = 0 , (1)
u ( − 1 , t
) = u (1 , t
) = 0 , 0 6 t 6 T, u ( − 0 , t ) = u (+0 , t
) , u x ( − 0 , t
) = u x (+0
, t ) , (2) g 1 ( u ) ≡ a 11 u ( x, 0) + a 12 u t ( x, 0) + b 11 u ( x, T
) + b 12 u t ( x, T
) = f 1 ( x ) , g 2 ( u ) ≡ a
21 u ( x, 0) + a 22 u t ( x, 0) + b 21 u ( x, T ) + b 22 u t ( x, T ) = f 2 ( x ) , (3) £ ¤¥ a ij , b ij ( i, j = 1 , 2) | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« , ¢¥ªâ®àë
( a i 1 , a
i 2 , b i 1 , b i 2 ) ( i = 1 , 2) «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. áᬠâਢ ¥¬ ï ¬¨ § ¤
ç (1){(3)
¥«®ª «ì
¢ ⮬
á¬ëá«¥, çâ®
ã á«®¢¨ï
(3) ® ¤®¢à¥¬¥® ®â®á ïâá
ï ª ¤¢ã¬ § 票ï¬
¯¥à¥¬¥®- £®:
t = 0 ¨ t = T . à ¡®â å [5, 6℄ ¢ á«ãç ¥ a 12 = b 12 = a 22 = b 22 = 0 ¨ 13 ≡ a
11 b 21 − b 11 a 21 6 = 0 ¤®ª § ª ®à४â®áâì ¯®áâ ¢«¥®©
¥«®ª «ì®©
ᬥè - ®©
§ ¤ ç¨ (1){(3) ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ á«¥¤ãî饣® ã á«®¢¨ï: T 6 = πn √ |λ m | , £ ¤¥ n, m
| âãà «ìë¥ ç¨á« , λ
| à¥è¥¨ï
ãà ¢¥¨ï − tg √ λ = th √ λ, (4)
ij | ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë
11 a 12 b 11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 ,
102 Ǒ¨¨£¨
. . á®áâ ¢«¥ë©
¨§ i -£® ¨ j -£® á⮫¡æ®¢ ( i < j ). áâ® ï饩 à ¡®â¥
¯à¨
24 6 = 0 ¤®ª §ë¢ îâá
ï ⥮६ë
ª ®à४â-
®á⨠¯®áâ
¢«¥®© ¥«®ª
«ì®© á¬¥è ®© § ¤ ç¨
ª¨¬
®¡à §®¬, ¢¬¥áâ®
¥«®ª «ìëå
ã á«®¢¨©
(3) à áᬠâਢ îâá ï ã
u t ( x, 0) = α 1 u ( x, 0) + α 2 u ( x, T ) + g 1 ( x ) , u t ( x, T ) = β 1 u ( x, 0) + β 2 u ( x, T
) + g 2 ( x ) , Ǒਠ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ ¢®á¯®«ì§ã ¥¬á ï ᢮©á⢠¬¨ ᮡá⢥- ëå
ç¨á¥« ¨ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ᯥªâà «ì®© § ¤ ç¨
xx = λ sgn xu,
u (1 , t ) = u ( − 1 , t ) = 0 , u ( − 0 , t ) = u (+0
, t ) , u x ( − 0 , t ) = u x (+0
, t ) . (5) Ǒã áâì {ϕ + m } ∞ m =1 , {ϕ − m } ∞ m =1 | ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ § ¤
ç¨ (5),
®â¢¥- ç î騥
ᮮ⢥âá⢥® ¯®«®
¨â¥«ìë¬ λ + m ¨ ®âà¨æ ⥫ìë¬ λ − m ᮡ- á⢥ë¬
§ 票ï¬,
¯à¨ç¥¬ λ + m , −λ − m ®¡à §ãîâ ¥ã¡ë¢ î騥 ¯®á«¥-
¤®¢ ⥫ì®áâ¨. ¡®§
稬 ç¥à¥§
( u, v
) = 1 R − 1 u
v dx ᪠«ï஥
¯à®¨§¢¥- ¤¥¨¥
¢ L 2 ( − 1 , 1).
§ § ¤
ç¨ (5)
¯®«ãç ¥¬, çâ®
ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨
®¡« ¤ îâ ᢮©á⢮¬ sgn x ϕ
± i , ϕ ± j = ±δ ij , δ ij =
1 , i = j, 0 , i 6
= j, sgn x ϕ + i , ϕ − j = 0 ∀i, j ∈ N. ¯®¬®éìî ¬¥â® ¤ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå ¬® ® ®¯à¥¤¥«¨âì, çâ®
ᮡ- á⢥ë¥
ç¨á« § ¤
ç¨ (5)
¤®«ë ã ¤®¢«¥â¢®à ïâì ã á«®¢¨î (4),
ᮡ- áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨
¨¬¥îâ ¢¨¤
(á¬. [7℄)
ϕ + m = sh( √ λ + m (1+ x )) √ λ + m h √ λ + m , x ∈ ( − 1 , 0) , sin(
√ λ + m (1 −x )) √ λ + m os √ λ + m , x ∈
(0 , 1); ϕ − m = sin( √ −λ − m (1+ x )) √ −λ − m os √ −λ m , x ∈
( − 1 , 0) , sh( √ −λ − m (1 −x )) √ −λ − m h √ −λ − m , x ∈ (0 , 1) .
¡ ® ¤®© ¥«®ª «ì®©
ªà ¥¢®© § ¤
ç¥ 103
Ǒਠí⮬
¨¬¥¥â ¬¥áâ®
à ¢¥á⢮ λ + m = −λ − m , ¯à¨ç¥¬ p λ + m = π ( m − 1 / 4) + O (1 /m ) ¯à¨ m → ∞ . Ǒã áâì P ± | ᯥªâà «ìë¥ ¯à®¥ªâ®àë, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ à ¢¥á⢠¬¨ P ± ω = ∞ X m =1 sgn xω, ϕ
± m ϕ ± . ®£ « á®
[2, 8℄ ¨¬¥¥¬, ç⮠ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ § ¤
ç¨ (5)
®¡à §ãîâ ¡ §¨á
¨áá ¢ L 2 ( − 1 , 1) ¨ «î¡ ï
äãªæ¨ï ω ∈ L
2 ( − 1 , 1) ¯à¥¤áâ ¢¨¬
¢ ¢¨¤¥
ω = ( P + − P − ) ω, (sgn x ( P + − P − ) ω, ω ) = kωk 2 0 , (sgn x P
± ω, ψ
) = (sgn x ω, P ± ψ ) , ω, ψ ∈ H 0 = L 2 ( − 1 , 1) , kωk
2 0 = ∞ X i =1
(sgn xω, ϕ + i 2 + sgn xω, ϕ
− i
2
. (6) Ǒ® ¤ á« ¡ë¬ ®¡®¡é¥ë¬ à¥è¥¨¥¬ ªà ¥¢®©
§ ¤ ç¨ (1){(3) ¯®¨- ¬ ¥¬
äãªæ¨î u â ªãî, çâ®
u ∈ C ((0
, T ); L 2 ( − 1 , 1)) ¨ T Z 0 ( u, sgn x v
tt + v xx ) dt =
a 22 f 1 − a 12 f 2
24 , sgn
x v ( x, T )
+ b 22 f 1 − b 12 f 2 24 , sgn x v
( x, 0) ¤«ï
«î¡®© äãªæ¨¨
v ( x, t ) ∈ W
2 2 ( Q ), ã ¤®¢«¥â¢®à ïî饩
ã á«®¢¨ï¬
v ( − 1 , t
) = v (1 , t
) = 0 , 0 6 t 6 T, ¨ g ∗ 1 ( v ) ≡ −v t ( x, T ) − 23
24 v ( x, T ) + 34
24 v ( x, 0) = 0 , g ∗ 2 ( v ) ≡ v
t ( x, 0) − 12
24 v ( x, T ) + 14
24 v ( x, 0) = 0 . ãé¥á⢮¢ ¨¥ á« ¡®£® ®¡®¡é¥®£® à¥è¥¨ï «®ª
«ìëå ªà ¥¢ëå
§ - ¤ ç ¯®ª § ®,
¯à¨¬¥à, ¢ à ¡®â å [8,
9℄. 104 Ǒ¨¨£¨
. . Ǒã áâì
¯à®¡ ï äãªæ¨ï
v ( x, t ) à ¢
ϕ ± m ( x ) τ m ( t ), £ ¤¥ g ∗ 1 ( τ m ( t )) = 0, g ∗ 2 ( τ m ( t )) = 0 ¨ τ m ( t ) ∈ W 2 2 (0 , T ). ®£ ¤ T Z 0 u, sgn x ϕ
± m ( x ) · τ ′′ m ( t ) − λ ± m τ m ( t ) dt = τ m ( T )
a 22 f 1 − a 12 f 2
24 , sgn
x ϕ ± m ( x ) + τ m (0)
b 22 f 1 − b 12 f 2 24 , sgn x ϕ
± m ( x ) , ¨«¨
T Z 0 u ± m ( t ) · τ ′′ m ( t ) − λ ± m τ m ( t ) dt = τ m ( T ) a 22 f ± 1 m − a
12 f ± 2 m 24 + τ m (0)
b 22 f ± 1 m − b 12 f ± 2 m 24 , (7) £ ¤¥ u ± m = u ( x, t ) , sgn x ϕ
± m ( x ) , f ± km = f k ( x ) , sgn x ϕ ± m ( x ) , k = 1 , 2 . ᫨ τ m ( t ) ∈ C 2 0 (0 , T ), â® ¨§ (7)
á«¥¤ã ¥â , çâ® T Z 0 u ± m ( t ) τ ′′ m ( t ) dt = λ ± m T Z 0 u ± m ( t ) τ m ( t ) dt. (8) § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¡®¡é¥®© ¯à®¨§¢®
¤®© T Z 0 u ± m ( t ) τ ′′ m ( t ) dt = T Z 0 u ± m ( t ) ′′ tt τ m ( t ) dt, â ª ¥ ¨§ à ¢¥á⢠(8) á ãç¥â®¬ ¯à®¨§¢®«ì®á⨠äãªæ¨¨
τ m ( t ) ¯®- «ã稬 ( u ± m ( t )) ′′ tt = λ ± m u ± m ( t ) . ⥣à¨àã ï ¯® ç áâ ï¬ à ¢¥á⢮ (7), ¯à¨å
® ¤¨¬
ª à ¢¥áâ¢ã T Z
τ m ( t ) · u ± m ( t ) ′′ ( t ) − λ ± m u ± m ( t ) dt = τ m ( T ) 24
23 u ± m ( T ) + 12 u ± mt (0)
+
24 u ± m ( T ) + a 22 f ± 1 m − a
12 f ± 2 m + τ m (0)
24 − 34 u ± m ( T ) − 14 u ± mt (0)
−
24 u ± m (0) + b 22 f 1 m − b
12 f 2 m
. ¡ ® ¤®© ¥«®ª «ì®©
ªà ¥¢®© § ¤
ç¥ 105
ª ®ç â¥«ì® ¨¬¥¥¬ ªà ¥¢ãî
§ ¤ çã ¤«ï ®¡ëª®¢¥®£® ¤¨ää¥à¥æ¨- «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® ¯®à
浪 : u ± m ( t ) tt = λ ± m u ± m ( t ) , a 11 u ± m (0) + a 12 u ± mt (0) + b 11 u ± m ( T ) + b 12 u ± mt ( T ) = f ± 1 m , a 21 u ± m (0) + a 22 u ± mt (0)
+ b 21 u ± m ( T ) + b 22 u ± mt ( T ) = f ± 2 m . (9) ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (9) ¨¬¥¥â ¢¨¤
u + m ( t ) = C 11 exp( p λ + m t ) + C 12 exp(
p −λ + m t ) , u − m ( t ) = C 21 os(
p λ − m t ) + C 22 sin( p −λ − m t ) , £ ¤¥ C ij ®¯à¥¤¥«ïîâá ï ¨§ ¥«®ª «ìëå
ªà ¥¢ëå ã á«®¢¨© (9). Ǒ®áª
®«ìªã
24 6 = 0, £à ¨çë¥ ã á«®¢¨ï (9) ॣã
«ïàë (á¬.
[3℄). ⬥⨬,
ç⮠ॣã
«ïà묨 â ª ¥ ïîâá
ï á«¥¤ãî騥 £à ¨çë¥ ã á«®¢¨ï: 1)
24 = 0, |a 12 | + |b 12 | > 0, b 12 a 21 + a 12 b 21 6 = 0; 2) a 12 = b 12 = a 22 = b 22 = 0, 13 6 = 0. ¯à®á⥩襬 á«ãç ¥,
ª ®£ ¤ a 11 = b 11 = a 21 = b 21 = 0,
24 6 = 0, ¢¬¥áâ®
(9) ¨¬¥¥¬
( u ± m ( t )) tt = λ ± m u ± m ( t ) , a 12 u ± mt (0) + b 12 u ± mt ( T ) = f ± 1 m , a 22 u ± mt (0) + b 22 u ± mt ( T ) = f ± 2 m , (10)
ªà ¥¢ë¥ ã á«®¢¨ï ¬® ®
¯¥à¥¯¨á âì â ª: u ± mt (0) = f ± 1 m b 22 − f ± 2 m b 12 24 , u ± mt ( T ) = f ± 2 m a 12 − f ± 1 m a 22 24 . ®£ ¤ à¥è¥¨¥ § ¤
ç¨ (10)
¨¬¥¥â ¢¨¤
u + m ( t ) = f + 2 m b 12 − f
+ 1 m b 22 sh( p λ + m ( T − t )) + f + 2 m a 12 − f + 1 m a 22 h p λ + m t
p λ + m sh p λ + m T
24 , u − m ( t ) = f − 1 m b 22 −f − 2 m b 12 os p −λ − m ( T − t ) + ( f − 1 m a 22 −f − 2 m a 12 ) os p −λ − m t p −λ − m sin p −λ − m T 24 . (11) 106 Ǒ¨¨£¨
. . ¥è¥¨¥
¨á å ® ¤®© § ¤
ç¨ (1){(3),
¥á«¨ ®®
áãé¥áâ¢ã ¥â , ¨¬¥¥â ¢¨¤
u ( x, t ) = ∞ X m =1 u + m ( t ) ϕ + m ( x ) + u − m ( t ) ϕ − m ( x )
, (12) £ ¤¥ u + m ( t ) , u − m ( t ) ®¯à¥¤¥«ïîâá ï ä®à¬ã « ¬¨ ¨§ (11). â ª,
¢ § ¯¨á¨
à¥è¥¨ï u ( x, t ) ¢ á« £ ¥¬ëå
u − m ( t ) ¢ § ¬¥ ⥫¥ å ®
ï äãªæ¨¨
sin p −λ − m T á ¡¥áª ®¥çë¬ ª ®«¨ç¥á⢮¬ ã «¥©
¯à¨ p −λ − m T = πn , £ ¤¥ n | ¯à®¨§¢®«ì®¥ 楫®¥ ¯®«®
¨â¥«ì®¥ ç¨á«®.
¬¥¥¬ p −λ − m = πn T = p λ + m = π ( m −
1 / 4) + O (1 /m ) ¯à¨ m → ∞ , ®âªã ¤ n T = m −
1 / 4 ¯à¨ m → ∞
. ¥®à¥¬ 1. «ï
¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï
ªà ¥¢®© § ¤
ç¨ (1){(3)
¢ ¯à®áâà á⢥ C ((0
, T ); L 2 ( − 1 , 1)) ¥®¡ å ® ¤¨¬® ¢ë¯®«¥¨¥ ã á«®¢¨©
T 6 = 4 n 4 m− 1 ¯à¨
âãà «ìëå n, m
¨ ¤®áâ
â®ç®, ç⮡ë
p ±λ ± m 6 = πn T (13) ¤«ï âãà «ìëå n, m .
⥫ì á⢮.
¥®¡ å ® ¤¨¬®áâì.
᫨
¤«ï ¥ª
®â®àëå âã-
à «ìëå n , m ¨¬¥¥â
¬¥áâ® à ¢¥á⢮ (13), â®
p −λ − m T ) ≡ 0, ®âªã ¤ p −λ − m T = πn , çâ® ¥¢®§¬®
® ¢¢¨¤ã
ᨬ¯â®â¨ª¨ p −λ − m = p λ + m = π ( m −
1 / 4) + O (1 /m ) ¯à¨ m → ∞. ®áâ
â®ç®áâì
¤®ª §ë¢ ¥âá
ï áâ ¤ àâ®. Ǒã áâì
áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢
à¥è¥¨ï u 1 ( x, t
), u 2 ( x, t
) § ¤
ç¨ (1){(3)
¨§ C ((0 , T ); L 2 ( − 1 , 1)). á-
ᬮâਬ äãªæ¨î
u = u 1 −u 2 , ª ®â®à ï ï¥âá ï à¥è¥¨¥¬ ® ¤®à®
¤®© § ¤
ç¨ (1){(3)
¯à¨ f 1 = f 2 = 0. âáî ¤ ¯®«ã稬
u ± m ( t ) ≡ 0, çâ® ¨ âà¥-
¡®¢ «®áì. ¥®à¥¬ 2. Ǒã áâì f k ∈ ◦ W ε 2 (0
1), ¢ë¯®«¥ë ã á«®¢¨ï
(13) ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, T 6 = 4 n 4 m− 1 . ®£ ¤ áãé¥áâ¢ã ¥â ¥¤¨á⢥®¥ á« ¡®¥ ®¡®¡é¥®¥ à¥è¥¨¥ ªà ¥¢®©
§ ¤ ç¨ (1){(3) ¨§ ¯à®áâà á⢠C ((0
, T ); L 2 ( − 1 , 1)) ¨ ¨¬¥¥â
¬¥áâ® ®æ¥ª
ku ( x, t ) k 2 0 6 C 4 kf 1 k 2 W ε 2 + kf 2 k 2 W ε 2 . ¡ ® ¤®© ¥«®ª «ì®©
ªà ¥¢®© § ¤
ç¥ 107
®ª § ⥫ì
á⢮. ®¯à®á
® áãé¥á⢮¢ ¨¨ à¥è¥¨ï § ¤
ç¨ (1){
(3) á¢ï§
á ¯à®¡«¥¬®© ¬ «ëå § ¬¥ ⥫¥©, â ª ª ª ¢å ® ¤ï饥 ¢ § - ¬¥ â¥«ì ¢ëà
¥¨¥ sin(
p −λ − m T ) ¢ ä®à¬ã
«¥ (11)
®â «¨ç®
®â ã «ï, ® ¬® ¥â ¡ëâì
᪠®«ì
㣮 ¤®
¬ «ë¬ ¤«ï
¡¥áª ®¥ç®£®
¨
¥á⢠âã- à «ìëå
m . ¬¥â¨¬, çâ® sin(
q |λ − m | T
) = sin q |λ − m | T − nπ
= sin q |λ − m | T π − n
π > 2 q |λ − m | T π − n
= 2 m q |λ − m | T
πm − n m , £ ¤¥ n | 楫®¥ ¥®âà¨æ ⥫쮥 ç¨á«®, ã
ïî饥 ¥à ¢¥áâ¢ã q |λ
m | T
π − n
6 1 2 , ¯à¨
í⮬ ãç¨âë¢ ¥âá ï, çâ®
sin x >
2 x/π
¤«ï x ∈
(0 , π/
2). âáî
¤ ¯®«ã稬,
çâ® ¥à ¢¥á⢮ [5℄ q
− m | T πm − n m < 1 m 2+ ε (0 < ε < 1) ¯à¨ T 6 = 4 n 4 m− 1 ¨¬¥¥â
¥ ¡®«¥¥
祬 ª ®¥ç®¥ ç¨á«® à¥è¥¨©
¯à¨ ¢á¥å
âãà «ìëå n ¨ m . ®£ ¤ ku ( x, t
) k 2 0 = ∞ X m =1 u + m ( t ) 2 + u − m ( t ) 2 = ∞ X m =1 −u + mt (0)
sh p λ + m ( T − t ) sh( p λ + m T ) + u + mt ( T ) h p λ + m t sh p λ + m T 2 ( λ + m ) − 1 + u − mt (0)
os q |λ − m | ( T − t
)
sin q |λ − m |T − u − mt ( T ) os ( q |λ − m |t ) sin q |λ − m |T 2 |λ − m | − 1
108 Ǒ¨¨£¨
. . 6 C 1 ∞ X m =1 u + m (0)
2 + u + m ( T ) 2 ) λ + m
− 1 + C 2 ∞ X m =1 |u − m (0) | 2 + |u − m ( T ) | 2 sin 2 q |λ − m |T
λ − m − 1 6 C 1 ∞ X m =1 u + m (0) 2 + u + m ( T ) | 2 λ + m − 1 + C 3 ∞ X m =1 m 2+2 ε u − m (0)
2 + u − m ( T ) 2 λ − m − 1 6 C 4 kf 1 k 2 W ε 2 + kf 2 k 2 W ε 2 . (14)
¥®à¥¬
¤®ª § .
1. ¨á«®¢ . . ¥® ¤®à® ¤ë¥
ªà ¥¢ë¥ § ¤
ç¨ ¤«ï
¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®-®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨© á¬¥è ®£® ⨯
¨ ¨å ¯à¨«® ¥¨ï
// â
. á¡.
1984. . 125, ¢ë¯.
1. . 19{37. 2.
£®à®¢
.
.,
Ǒï⪠®¢ . ., Ǒ®¯®¢ . . ¥ª« áá¨ç¥áª¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®- ®¯¥à â®àë¥ ãà ¢¥¨ï. ®¢®á¨¡¨àáª: ãª
2000. 3. ©¬ ઠ. . ¨¥©ë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ®¯¥à â®àë. .:
, 1969.
4. ¡ 襥¢
. . ¥ª« áá¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¨ á¢ï§ ë¥ á ¨¬¨
ᯥªâà «ìë¥ § ¤
ç¨: ¢â®à¥ä.
. . . ª ¤. 䨧.-¬ â . ãª. ®¢®á¨¡¨àáª, 2000. 5.
. . à ¨çë¥ § ¤ ç¨ ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® ¯®-
à 浪
á á ¬®á®¯à ï ¥ë¬¨
®¯¥à â®à묨 ª ®íää¨æ¨¥â ¬¨ // ¨¡. ¬ â . ãà. 1996. . 37, ü 6. . 1397{1406. 6. å
஢ Ǒ. . ¥«®ª «ì ï
ªà ¥¢ ï § ¤
ç ¤«ï
ãà ¢¥¨ï ¢à¥â쥢 | ¨-
æ ¤§¥ // â . § ¬¥âª¨
. 2005. . 12, ¢ë¯. 2. . 17{27. 7. Ǒ®â ¯®¢ . . §à¥è¨¬®áâì ® ¤®©
ªà ¥¢®© § ¤
ç¨ ¤«ï
¯ à ¡®«¨ç¥áª ®£®
ãà ¢- ¥¨ï
á ¬¥ïî騬á ï ¯à ¢«¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ // â . § ¬¥âª¨
. 2006. . 13, ¢ë¯. 1. . 121{134. 8. Ǒï⪠®¢ . . ᢮©á⢠å ᮡá⢥ëå äãªæ¨©
® ¤®©
ᯥªâà «ì®© § ¤
ç¨ ¨ ¨å ¯à¨«®
¥¨ï // ®à४âë¥ ªà ¥¢ë¥ § ¤
ç¨ ¤«ï
¥ª« áá¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª ®© 䨧¨ª¨: ¡. ãç. âà. / . ¨¡. ®â ¤-¨¥.
-â ¬ ⥬ ⨪¨. ®¢®á¨¡¨àáª, 1984.
. 115{130.
9. ¨á«®¢
. . à ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®-®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨© á¬¥è ®£® ⨯
// ¨ää¥à¥æ. ãà ¢¥¨ï. 1983.
. 19, ü 8. C. 1427{1436. £. ªãâ᪠15 ¯à¥
«ï 2010
£. Download 355.85 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|