01 Nomanfiy butun sonlar o'rtasida amallar

Mavzu:Nomanfiy butun sonlar ustida bajariladigan arifmetik amallar xossalarini isbotlash
Sultonova Muqaddas
01
Nomanfiy butun sonlar
o'rtasida amallar
.
Nomanfiy butun sonlar yigindisi va ko’paytmasi.
Ta’rif: a va в natural sonlarning yig’indisi deb, Zo natural sonlar to’plamida ta’riflangan shunday algebraik amal natijasiga aytiladiki, bu amal quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa:
V: -Nomanfiy butun a son uchun a+0=a (0- Zo da qo’shishga nisbatan neytral element)
VI: Ixtiyoriy a, в nomanfiy butun sonlar uchun a+в`=(a+в)`
Misol: a=5, в=2 bo’lsin. 6-aksioma to’g’riligini tekshiramiz.
а+в`=5+3=8 , (a+в)`=(5+2)=8
1-teorema: Natural sonlarni qo’shish amali mavjud va u amal yagonadir.
Istalgan natural sonlarni doim qo’shish mumkin.
1-xossa: Manfiy bo’lmagan butun sonlar to’plami nolni yutish xossasiga ega.
(а) [0+a=a]
2-xossa: Manfiy bo’lmagan butun sonlarni qo’shish amali o'rin almashtirish
(kommutativlik) xossasiga ega. Ya'ni (а,в) [ а+в=в+а]
Misol: 51+49=49+51=100
3- xossa: Nomanfiy butun sonlarni qo’shish amali guruhlash (assotsiativlik) xossasiga ega, ya'ni (а, в, с Z0 ) [(а+в)+с=а+(в+с)]
02
Ta'rif
Ta’rif: a va в natural sonlarning ko’paytmasi deb , shunday algebraik amal natijasiga aytiladiki, u quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa:
VII: (аZ0) a0=0
VIII: (а, вZ0) ав`=ав+а
202X
2-teorema. Natural sonlarni ko’paytirish amali mavjud va u yagona.
Yuqoridagi ta’rif va teoremalardan ko’paytirish amalining qator xossalari kelib chiqadi.
10. 1·a=a . Har qanday sonni birga ko’paytirsak, shu sonning o’zi hosil bo’ladi.
20. Ko’paytirish amali kommutativlik xossasiga ega: (а, вZ0) а·в=в·a.
Misol: 2·3=3·2
30. Ko’paytirish amali assotsiativlik (guruhlash)xossasiga ega.
(а, в, с  N0)[(ав)с=а(вс)]
40. Nomanfiy natural sonlarni ko’paytirish amali qo’shishga nisbatan tarqatish xossasiga ega. a· (в+с)= a·в+ a·с .
Misol: 2·17=2∙(10+7)=2·10+2·7= 20+14=34
( а,в,с Z0) [а (в+c)=ав+ас]. Bu xossaning isbotini keltiraylik.
Agar a va в natural sonlari uchun, shunday noldan farqli k soni mavjud bo’lsaki, a=в+k tenglik bajarilsa u holda a son в sondan katta, yoki в son a sondan kichik deb aytiladi, va u a>в yoki в
munosabat o’rinli bo’ladi.
Ikkita ketma-ket keluvchi natural sonlar uchun quyidagi teorema o’rinli: