1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

Mazmuni

Kirish

1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida…………………………………..

2-§. Chiziqli integral tenglamalarni yechish……………………….…..

3-§. Fredholm teoremalari………………………………………………

4-$. Aynigan yadroli integral tenglamalar………………………………

Xulosa……………………………………………………………………

Adabiyotlar tizimi………………………………………………………..

Kirish

Agar funktsional tenglamada noma'lum funktsiya integral ishorasi ostida qatnashsa, u holda bu tenglama integral tenglama deb ataladi. Integral tenglamadagi ifoda noma'lum funktsiyaga nisbatan chiziqli bo`lsa, u holda tenglama chiziqli integral tenglama deb ataladi. Endi chiziqli integral tenglamalarning ahamiyatli sinfaridan birini qaraymiz.

b

s K s , t t dt f s

a

ko`rinishdagi tenglama II-tur Fredholm integral tenglamasi deyiladi.

Bunda nomalum funktsiya, K s , t va f s malum funktsiyalar.

b

K s , t t dt f s 0

a
tenglamasi I-tur Fredholm tenglamasi deyiladi. Agar K(t; s) funksiyasi s > t qiymatlarda K(t; s) = 0 tengligini qanoatlantirsa, u holda yuqoridagi tenglamalar mos

s

K s , t t dt f s 0,

a
s

t K s , t t dt f s ,

a
ko`rinishlarga keladi. Bunday tenglamalar I va II Volterra tenglamalari deb ataladi. Agar yuqoridagi tenglamalarda K(t; s) = K(s; t) bo`lsa, u holda ular simmetrik integral tenglamalar deyiladi.

1. 
   Gilbert Shmidt teoremasi haqida
   

Cheksiz o‘lchamli to‘la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi. Misol. [ a,b ] C2 a b Evklid fazosi to‘la emas , shuning uchun [a ,a ] C2 a b Hilbert fazosi bo‘la olmaydi. Misol. 2  va [a ,b ] L2 a b lar cheksiz o‘lchamli to‘la separabel Evklid fazolaridir. Shuning uchun ular Hilbert fazolari bo‘ladi.

Boshqacha aytganda, Evklid fazolarining izomorfligi shundan iboratki, bu fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lib, bu moslik shu fazolardagi chiziqli amallarni va ulardagi skalyar ko‘paytmani saqlaydi. Ma’lumki, n - o‘lchamli ixtiyoriy ikkita Evklid fazosi o‘zaro izomorfdir. Cheksiz o‘lchamli Evklid fazolari o‘zaro izomorf bo‘lishi shart emas. Masalan 2  va [a , b] C2 a b fazolar izomorf emas, chunki 2  to‘la, [a ,b ] C2 a b esa to‘la emas.

Bu paragrafda biz integral tenglamalar haqida umumiy malumotlar beramiz.
C a , b , L₂ a , b funktsional fazolarida tenglamalar berilgan bo’lib, nomalum

element funktsiyadan iborat bo’lsa, bunday tenglama funktsional tenglama deyiladi. Agar funktsional tenglamada nomalum funktsiya ostida bo’lsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan,

b

s K s , t g t ,t dt

a

tenglama ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda K s , t , g s , t berilgan

funktsiyalar.

Integral tenglamadagi ifoda nomalum funktsiyaga nisbatan chiziqli bo’lgan holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Quyidagi tenglamalar chiziqli integral tenglamalarga misol bo’ladi.

	b
	K	s , t	t	dt	f s	0,	(1.1)
	a
		b
	s	K	s , t		t dt+f s	f s ,	(1.2)
		a
bu erda	nomalum funktsiya, K	s , t	va	f	s malum funktsiyalar. (1.1) va (1.2)

tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredholm tenglamalari deyiladi.

Xususan, K s , t funktsiya t s qiymatlar uchun K s , t 0 shartni

qanoatlantirsa, u holda (1.1) va (1.2) tenglamalar mos ravishda
s

K s , t t dt f s 0,(1.3)

a

	s
t	K s , t	t dt	f s ,	(1.4)