1. 10. Maruza: O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar

 

1.10.Maruza:   O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar 

 

  

 

 

 

 (1) 

Tenglamaga  o‘zgaruvchilai  ajralgan  tenglama  deyiladi.  Bu  yerda  M(x), 

N(y) 

mos 

ravishda 

 

oraliqlarda 

aniqlangan 

uzluksiz 

funksiyalardir. (1) tenglamaning umumiy integrali 

 

Bu yerda 

ixtiyoriy qiymatlar. 

Agar 

  maxsusmas  nuqta  bo‘lsa  (1)  tenglamaning  boshlang‘ich 

  shartni  qanoatlantiruvchi  yagona  yechimi  bo‘ladi  va  u  oshkormas 

shaklda  

 

tenglama bilan aniqlanadi. 

O‘zgaruvchilari ajralgan tenglamalarning ko‘rinishi quyidagicha: 

 

    

   

    (2) 

Bu  yerda  M

1

,  M

2 

va  N

1

,  N

2

  funksiyalar  mos  ravishda  [a,b]  va  [c,d]  oraliqlarda 

aniqlangan.  M

2 

va  N

1

  funksiyalar 

  va 

 

to‘plamlarda nolga aylansin. 

M

2

(x)N

1

(y)≠0  sohada  (2)  tenglama  M

2

(x)N

1

(y)  ga  bo‘lish  natijasida 

o‘zgaruvchilari ajralgan tenglamaga keladi. U vaqtda (2) tenglamaning shu sohada 

umumiy integrali quyidagicha topiladi: 

. 

Agar 

 va 

 tenglamalar bo‘sh to‘plam bo‘lmasa, u holda 

 va 

;  (2)  tenglamaning  yechimlari  bo‘lishi  mumkin,  bu  qiymatlarni  berilgan 

tenglamaga qo‘yib tekshirish bajarish kerak.  

Agar 

 bo‘lsa, (1) - tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan 

tenglama bo‘ladi. 

Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar 

 

    Ta’rif. 

0



t

ningharqandayqiymatida

)

,

(

)

,

(

y

x

f

t

ty

tx

f

m



 

ayniyatbajarilsa, 

 

)

,

(

y

x

f

funksiya, 

    o’zgaruvchilarganisbatan- 

 

 

0.

M x dx

N y dy





[ , ],

[ , ]

x

a b

y

c d





0

0

( )

( )

,

( )

( )

0.

y

x

x

y

M x dx

N y dy

c

M t dt

N s ds

















0

0

[ , ],

[ , ]

x

a b

y

c d





0

0

( ,

)

x y

0

0

( )

y x

y



0

0

( )

( )

0

y

x

x

y

M t dt

N s ds









   

   

1

1

2

2

0.

M

x N

y dx

M

x N

y dy





 

2

(

( )

0)

i

i

M







 

1

(

(

)

0)

j

j

N







0

0

1

2

1

2

2

1

2

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

y

x

x

y

M x

N

y

M t

N s

dx

dy

c

dt

ds

c

M

x

N y

M t

N s

















 

i



 

j



 

i

x





 

j

y





( , )

( ) ( )

f x y

x g y





o’lchovlibirjinslifunksiyadeyiladi. 

Masalan  

xy

y

x

y

x

f

2

)

,

(

2

2





    funksiya  0 o’lchovli bir jinsli funksiyadir. 

   Haqiqatan ham 

)

,

(

2

2

)

(

)

)(

(

2

)

(

)

(

)

,

(

2

2

2

2

2

2

2

2

y

x

f

xy

y

x

xy

t

y

x

t

ty

tx

ty

tx

ty

tx

f















 

Faraz    etaylik  hosilaga  nisbatan  yechilgan  birinchi  tartibli  differensial 

tenglama                     

)

,

(

y

x

f

dx

dy



                                     (1) 

berilgan bo’lib, bunda    

)

,

(

y

x

f

,

     o’zgaruvchilarga nisbatan 0 o’lchovli 

bir jinsli funkiya bo’lsa, bunday tenglamaga bir jinsli tenglama deyiladi. 

   Farazimiz bo’yicha.      

)

,

(

)

,

(

y

x

f

ty

tx

f



         bunda    

x

t

1



 deb olsak 











































x

z

x

y

f

y

x

x

x

f

ty

tx

f



,

1

1

,

1

)

,

(

 

bo’ladi.  U holda  (1)  tenglamani 















x

y

dx

dy



                                                   (2) 

ko’rinishda yozish mumkin.    (2) tenglamada 

xz

y

z

x

y





                                              (3) 

almashtirishni  olsak,  u    O’zgaruvchilari    ajraladigan  differensial 

tenglamaga aylanadi. (3) dan  

'

'

xz

z

y





 bunga  asosan (2) tenglamani quyidagicha 

yozish mumkin.  

)

(

'

z

xz

z







 bundan   

)

)

(

(

'

z

z

xz







                                               (4) 

   Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. 

 Bunda  2 xol bo’lishi mumkin. 

  1 xol   

0

)

(





z

z



 

bu holda (4) dan     

x

dx

z

z

dz





)

(











z

z

dz

nc

nx

)

(







 

integrallab  bo’lgach  (3)  dan 

 qiymatini keltirib qo’ysak, (1) tenglamaning 

umumiy integraliga ega bo’lamiz. 

2 xol     

0

)

(





z

z



x

y

x

y

z

z





















)

(

 

 Bunga asosan (2)  tenglama   

x

y

dx

dy



       ko’rinishga keladi. 

  Bundan                       

cx

y

nc

x

n

y

n













 

bu  holda  tenglamaning  umumiy  yechimi  koordinata  boshidan  o’tuvchi 

tug’ri chiziqlar oilasidan iborat bo’ladi. 

Eslatma       

0

)

(





z

z



  tenglama   

)

,....,

2

,

1

(

n

s

z

z

s





      yechimlarga  ega 

bo’lishi mumkin bu xol 

x

z

y

s



 ning har-biri tenglamaning integral chizig’i bo’ladi. 

                Bir jinsli tenglamaga keltiriladigan differensial tenglamalar  

   Bunday tenglamalarning umumiy ko’rinishi  























1

1

1

c

y

b

x

a

c

by

ax

f

dx

dy

                                           (1) 

dan  iborat.  Bunda   

1

1

1

,

,

,

,

,

c

b

a

c

b

a

o’zgarmas  sonlar  bo’lib  f  ko’rilayotgan 

sohada uzluksiz   funksiya.  Bunda quyidagi xollarni qaraymiz. 

1    xol.        Agar   

        

 

=0      bo’lsa,    (1)  tenglama  bir  jinsli  tenglamaga 

aylanadi. 

2  xol.    Faraz etamiz     va 

 

 

   lardan hech  bo’lmaganda biri nolga teng  

bo’lmasin   va       

0

1

1







b

a

b

a

 

   bu   holda                              





















y

u

x

                                 (2) 

almashtirishni olib  (1)  tenglamani  bir jinsli tenglamaga keltirish mumkin. 

Bunda   



  va   



    lar    ixtiyoriy    o’zgarmas  sonlar  bo’lib,   

u

  va   



  yangi 

uzgaruvchilar (2) ga asosan (1) tenglama           

 





























































1

1

1

1

1

1

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

c

b

a

b

u

a

c

b

a

b

au

f

c

b

u

a

c

b

u

a

f

du

d



























           (3) 





ва

  ixtiyoriy o’zgarmas sonlar bo’lgani uchun, ularni shunday tanlab 

olamizki.                



















0

0

1

1

1

c

b

a

c

b

a









                                                       (4) 

bajarilsin. Shartga asosan bu sisitemaning  asos determinati  

0





 bo’lgani 

uchun  (4)    sistemadan   





ва

  lar  bir  qiymatli  aniqlanadi  (4)  ga  asosan  (3) 

tenglamani           

























1

1

b

u

a

b

au

f

du

d

 

ko’rinishda yozish mumkin. Bu esa bir jinsli tenglamadir. Tenglama  

uz





 

almashtirish yordamida O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keladi. 

3 xol  

0

1

1







b

a

b

a

  bo’lsin,            Bundan  











b

b

a

a

b

a

ab

1

1

1

1

0

 





b

b

a

a





1

1

              (1)  tenglama         























1

)

(

c

by

ax

c

by

ax

f

dx

dy



ko’rinishga 

keladi. 

     Bu  tenglama   

by

ax

z





    almashtirish  yordamida,  O’zgaruvchilari 

ajraladigan tenglamaga keltiriladi.  Haqiatdan ham 

































1

)

'

(

1

)

'

(

1

'

'

'

c

z

c

z

f

a

z

b

a

z

b

y

by

a

z

by

ax

z



  bundan 

dx

a

c

z

c

z

bf

dz





















1



 

Ba’zi  hollarda  berilgan  differensial  tenglamani 

m

z

y



  almashtirish 

yordamida, tenglamani bir jinsli tenglama keltirish mumkin. 

 

8- misol. 

differensial tenglamani yeching 

Yechish: O‘zgaruvchilarni ajratamiz 

 

  sohada  integrallab, 

  umumiy  yechimni  hosil 

qilamiz. 

 ham yechimdir.  

Tenglama yechimini Meple dasturi yordamida tekshiramiz 

> 

d8:=diff(y(x),x)=(-x*y(x)/(x+1));

 

 

> 

dsolve(d8,y(x));

 

 

 

9-misol. 

 Koshi masalasini yeching. 

Yechish: O‘zgaruvchilarni ajratamiz: 

 

Umumiy yechim 

 

Koshi  masalasini  yechish  uchun  berilgan  boshlang‘ich  qiymatlarni 

tenglamaga qo‘yamiz va parametr c ning qiymatini topamiz: c = 1. Demak Koshi 

masalasining umumiy yechimi: 

 

Tenglama yechimini Meple dasturi yordamida tekshiramiz 

> d9:=(x^2-1)*diff(y(x),x)+2*x*y(x)^2=0; 

(

1)

0

xydx

x

dy

 



0 [(

1)

0?]

1

x

dy

dx

x

y

x

y











1,

0

x

y

 



ln

1

ln

x

x

y

c



 



1,

0

x

y

 



 := 

d8



d

d

x

( )

y x



x ( )

y x



x

1



( )

y x

_C1 (

)



e

(

)



x

x

e

(

)



x

2

2

(

1) ' 2

0,

(0) 1.

x

y

xy

y









2

2

2

2

2

0 (

(

1)

0?)

1

dy

xdx

y x

y

x





 



2

(ln

1

) 1,

0.

y

x

c

y

  



2

(ln

1 1) 1.

y

x

  

 

> dsolve(d9,y(x)); 

 

 := 

d6





(

)



x

2

1

















x

( )

y x

2 x ( )

y x

2

0



( )

y x

1





(

)

ln



x

1

(

)

ln



x

1

_C1