1-amaliy mashg‘ulot determinantlarni hisoblash. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish. Kramer qoidasi. Nazorat uchun savollar

1-AMALIY MASHG‘ULOT
Determinantlarni hisoblash. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish. Kramer qoidasi.


Nazorat uchun savollar:

1. 
   Determinant deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Determinantning xossalarini aytib bering.
   
3. 
   Determinant hisoblashning qanday usullarini bilasiz?
   
4. 
   Elementning algebraik to‘ldiruvchisi nima?
   
5. 
   Minorlar nima?
   
6. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasi nima?
   
7. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.
   
8. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli.
   
9. 
   Kroneker- Kapelli teoremasi.
   
10. 
    Qaysi hollarda sistema yagona yechimga, qaysi hollarda cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi?
    
11. 
    
    

Mavzuga doir misollarning yechilishi:
1-misol: determinantni hisoblang.
Yechish: Berilgan ikkinchi tartibli determinantni quyidagi

formuladan foydalanib, hisoblanadi.
.
2-misol: determinantni hisoblang.
Yechish: Berilgan uchinchi tartibli determinantni ikkita usulda yechishni ko‘ramiz:

I-usul. (Uchburchak usuli yoki Sarryus usuli). Bu usul quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

Bu usulni quyidagi shakl yordamida aks ettirish mumkin:

II-usul. (Qo‘shimcha satr yoki ustun chiqarish usuli) Bu usul yorda-mida uchinchi tartibli determinant quyidagicha hisoblanadi.

3-misol: determinantni hisoblang.
Yechish:

.
Ushbu determinantni determinantning xossalaridan foydalanib, birinchi satrini 3 ga ko‘paytirib to‘rtinchi satriga qo‘shdik, natijada asosiy diagonaldan pastdagi elementlarning barchasi nolga teng bo‘ldi.

4-misol. Quyidagi determinantni hisoblang.
Yechish: Berilgan determinantni ikkinchi satri bo‘yicha yoysak,
.

1-misol: Quyidagi


chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usulidan foydalanib yeching.

Yechish: Sistemaning asosiy determinanti ni hisoblaymiz. Bunda

bo‘lganligi sababli berilgan sistema aniq sistemani tashkil qiladi va u yagona yechimga ega bo‘ladi. Bu yechim Kramer formulalari yordamida quyidagicha topiladi:




Demak, tenglamalar sistemaning yechimi:
2-misol: tenglamalar sistemasini matritsa usulida yeching.
Yechish: Sistemaning matritsalarini tuzamiz:
, , .
Tuzilgan bosh matritsaning determinantini tuzamiz,
.
Matritsaning algebraik to‘ldiruvchilaridan tuzilgan matritsani topamiz:
, , ,
, , ,
, , ,
.

Hosil bo‘lgan matritsani transponirlaymiz

Matritsaning teskari matritsasini topamiz:

Matritsani matritsaga ko‘paytirib, qaralayotgan sistemaning yechimini topamiz:



Bundan , , ekanligini topamiz.
3-misol. Ushbu


sistemani noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish usuli (Gauss usuli) da yeching.
Yechish: Berilgan tenglamalar sistemasining jadvali




ko‘rinishda bo‘ladi. -satr elementlarini ga ko‘paytirib -satrga, ga ko‘paytirib -satrga, ga ko‘paytirib -satrga qo‘shamiz, natijada, jadval


ko‘rinishga keladi. -satrni, - va - satrga qo‘shamiz:

Bunga mos sistema


ko‘rinishida bo‘ladi. Ketma-ket larni topib -tenglamaga qo‘yamiz.

.
Bu yerdan ekanligini topib, -tenglamaga o‘tamiz: . Demak, Kramer formulasiga ko‘ra



bo‘lsa, hamda bo‘lsa sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Bu holda yechimlar quyidagicha topiladi. Noma’lumlardan birini ozod parametr deb olib, qolgan noma’lumlarni u orqali topiladi. Parametr cheksiz ko‘p qiymat qabul qilgani uchun cheksiz ko‘p yechimlarni topamiz.

4-misol.  sistema yechimlari topilsin.
Yechish:


bo‘lgani uchun sistema cheksiz ko‘p yechimlarga ega. Sistemaning barcha tenglamalarida  desak, sistema

ko‘rinishda bo‘ladi. Uni yechib, va bo‘lishini aniqlaymiz.

Demak, ko‘rinishdagi uchlik sistemaning cheksiz ko‘p yechimlaridir.
Amaliy mashg‘ulotda mustaqil yechish uchun tavsiya etiladigan masalalar
2007 yilda nashr etilgan I.G‘.G‘aniyev va boshqalar. muallifligidagi “Oliy matematikadan masalalar to‘plami” nomli o‘quv qo‘llanmasining 1-qismidagi 1, 3, 5, 7, 9, 10, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49 misollar
Uyda mustaqil yechish uchun tavsiya etiladigan masalalar
2007 yilda nashr etilgan I.G‘.G‘aniyev va boshqalar. muallifligidagi “Oliy matematikadan masalalar to‘plami” nomli o‘quv qo‘llanmasining 1-qismidagi 2, 4, 6, 8, 12, 13, 19, 20, 22, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50 misollar