1-amaliy mashg’ulot. Matritsalar va ular ustida amallar. O‘rin almashtirishlar va o‘rniga qo‘yishlar

 

1-AMALIY MASHG’ULOT.  

Matritsalar va ular ustida amallar. O‘rin almashtirishlar va o‘rniga 

qo‘yishlar 

 

Bizga dastlabki n ta natural sonlar 

(1, 2,..., )

n

 berilgan bo‘lsin. Bu sonlarni 

o‘sish tartibida joylashishdan tashqari boshqa usullar bilan ham tartiblash mumkin. 

Masalan, 

3

n



  bo‘lgan  holda 

(1, 2,3)

  uchlikni 

(1,3, 2),

 

(2,1,3),

 

(2,3,1),

 

(3, 2,1)

 va 

(3,1, 2)

 kabi tartiblarda joylash-tirishimiz mumkin.  

 

1-ta’rif. 

1, 2, ..., n

  sonlarning  ma’lum  bir  tartibdagi  joylashishiga 

n

  ta 

sondan tuzilgan o‘rin almashtirish deyiladi. 

 

n

 ta sondan iborat barcha o‘rin almashtirishlar to‘plami 

n

S

 kabi belgilanadi.  

 

2-tasdiq. 

n

  ta  sondan  iborat  barcha  o‘rin  almashtirishlar  soni 

!

n

  ga  teng, 

ya’ni 

!

n

S

n



.  

 

Isbot.  Ushbu  tasdiqni  isbotlashda  matematik  induksiya  usulidan 

foydalanamiz.  Ravshanki, 

1

n



  da  o‘rin  almashtirish  soni  bitta  bo‘ladi,  ya’ni 

1! 1



. Shuningdek, 

2

n



 bo‘lgan holda  o‘rin almashtirishlar soni ikkita bo‘ladi, 

ya’ni 

(1, 2)

 va 

(2,1).

 

 

Tasdiqni 

1

n



 ta sonli o‘rin almashtirishlar uchun o‘rinli deb faraz qilib, 

n

 

ta sonli o‘rin almashtirish uchun ko‘rsatamiz.  

1



n

 ta sondan iborat barcha o‘rin almashtirishlar ning  har  biriga  unga 

kirmagan 

n

 sonini joylashtirib chiqish natijasida barcha 

n

 ta sondan tuzilgan o‘rin 

almashtirish  hosil  qilamiz.  Xar  bir  o‘rin  almashtirishda 

n

  soni 

n

  hil  usulda 

joylashadi.  

1



n

  ta  sondan  iborat  barcha  o‘rin  almashtirishlar 

(

1)!

n



 

ta  ekanligidan, 

n

  ta  sondan  tuzilgan  o‘rin  almashtirishlar  soni 

(

1)!

!

n

n

n

  

  ekanligi  kelib 

chiqadi. 

 

 

 

 

 



  

 

3-ta’rif.  O‘rin  almashtirishning  ixtiyoriy  ikkita  elementini  o‘rnini 

almashtirishga transpozitsiya deyiladi.  

1-misol. 

(1, 2,3, 4)

  o‘rin  almashtirishni  2  va  4-o‘rinlarini  almashtirishdan 

quyidagi 

(1, 4,3, 2)

 o‘rin almashtirish hosil bo‘ladi. 

 

4-teorema. 

n

  ta  elementdan  iborat  barcha 

!

n

  ta  o‘rin  almashtirishlarni 

shunday tartibda joylashtirish mumkinki, bunda xar bir keyingi o‘rin almashtirish 

oldingisidan  birgina  transpozitsiya  yordamida  hosil  qilinadi.  Shuningdek, 

transpozitsiyalashni ixtiyoriy o‘rin almashtirishdan boshlash mumkin.  

 

2-misol   

3

S

  to‘plamning  elementlarini  quyidagi  tartibda  joylashtirib 

chiqamiz:  

1,2,3; 1,3,2; 3,1,2; 3,2,1; 2,3,1; 2,1,3; 

 

Bundan tashqari biz o‘rin almashtirishda bir nechta transpozitsiyalar bajarib, 

boshqa  o‘rin  almashtirishga  o‘tishimiz  mumkin.  O‘rin  almashtirishda  ikki 

elementni transpozitsiyalash quyidagicha ko‘rinishda ham tasvirlashimiz mumkin:  

 

,

..., ,..., ,...

..., ,..., ,...

tr i j

i

j

j

i



 

 

5-ta’rif.  Agar  berilgan  o‘rin  almashtirishda 

i

j



  bo‘lib,  o‘rin 

almashtirishda 

i

  soni 

j

  dan  oldin  turgan  bo‘lsa, 

i

  va 

j

  sonlar  inversiya  tashkil 

etadi deyiladi va 

( , )

inv i j

 shaklda belgilanadi.  

 

O‘rin  almashtirishdagi  inversiya  tashkil  etuvchi  juftliklar  soniga  o‘rin 

almashtirishning  inversiyasi  deyiladi  va 

1

2

( , ,..., )

n

inv i i

i

  kabi  belgilanadi. 

Inversiyasi  toq  va  juft  son  bo‘lgan  o‘rin  almashtirishlar  mos  ravishda  toq  va  juft 

o‘rin  almashtirishlar  deb  ataladi.  Berilgan 

1

2

( , ,..., )

n

i i

i

  o‘rin  almashtirishning 

signaturasi deb,  

1 2

( , ,..., )

1

2

( , ,..., )

( 1)

n

inv i i

i

n

sign i i

i

 

 

miqdorga  aytiladi.  Ma’lumki,  o‘rin  almashtirishning  signaturasi  uning  toq  va 

juftligiga qarab, 

1



 yoki 

1

 ga teng bo‘ladi.  

 

6-teorema. O‘rin  almashtirishda har qanday bajarilgan transpozitsiya uning 

toq-juftligini o‘zgartiradi.  

 

7-natija. 

2

n



 bo‘lganda 

n

 ta simvoldan tuzilgan juft o‘rin almashtirishlar 

soni toq o‘rin almashtirishlar soniga, ya’ni 

!

2

n

 ga teng.   

 

Endi biz o‘rniga qo‘yish tushunchasi va uning xossalarini o‘rganamiz. Bizga 

{1,2,

, }

A

n



 birinchi 

n

 ta natural sondan iborat to‘plam berilgan bo‘lsin. 

 

8-ta’rif. 

A

  to‘plamning  o‘zini  o‘ziga  akslantiruvchi  o‘zaro  bir  qiymatli 

akslantirishga 

n

-darajali o‘rniga qo‘yish deyiladi.  

{1,2,

, }

A

n



  to‘plamda  aniqlangan  barcha 

:

f A

A



  biyektiv 

akslantirishlarni quyidagi ustun shaklida yozib chiqamiz:  

1

2

...

:

...

(1)

(2) ...

( )

n

f

f

f

f n







 

 

Agar 

1

2

(1)

, (2)

,..., ( )

n

f

f

f n













  deb  olsak, 

1

2

,

,...,

n

 



  o‘rin 

almashtirish bo‘lib, bu moslikni quyidagi sxema yordamida tasvirlab olamiz:  

1

2

1

2

...

...

n

n

f



 





 







. 

 

Demak, bu 

n

-darajali o‘rniga qo‘yish bo‘ladi. 

 

3-misol. 

4

n



  da 

(1)

2,

(2)

3,

(3)

4, (4)

1

f

f

f

f









  bo‘lsa,  bu 

to‘rtinchi tartibli o‘rniga qo‘yish quyidagicha yoziladi:  

1

2 3

4

2 3

4 1

f





 







. 

Bundan tashqari, tuzilgan  sxema  orqali akslantirishlarning kompozitsiyasini 

quyidagicha tasvirlaymiz:  

 

Agar 

:

f A

A



  va 

:

g A

A



  bo‘lsa,  u  holda  ularning 

:

g

f A

A



 

kompozitsiyasi quyidagicha sxema ko‘rinishida ifodalanadi: 

1

2

...

:

...

(1)

(2) ...

( )

n

f

f

f

f n







 

1

2

...

:

...

(1)

(2) ...

( )

n

g

g

g

g n







 

Demak,  

1

2

...

:

...

( (1))

( (2)) ...

( ( ))

n

g

f

g f

g f

g f n







 

 

Shunday qilib, ushbu sxemadan  













(1)

(2)

( )

...

1

2

...

(1)

(2)

( )

...

(1)

(2) ...

( )

f

f

f n

n

g f

g f

g f n

f

f

f n



 









 











 













1

2

...

(1)

(2)

( )

...

n

g

f

g f

g f

g f n

















 

hosil bo‘ladi.  

 

4-misol. 

4

n



  da 

1

2 3

4

2 1

4 3

f





 







  va 

1

2

3

4

4

3

2 1

g





 







  o‘rin 

almashtirishlarning ko‘paytmasini sxematik ko‘rinishi quyidagicha: 

1

2

3

4

: 2

1

4

3

3

4

1

2.

g

f

















 

Algebraik ifodasi  esa, 

1

2 3

4

1

2 3

4

1

2 3 4

4 3

2 1

2 1

4 3

3 4 1

2

g

f



 

 











 

 





 

 



 

bo‘ladi.  

 

n

-darajali  o‘rniga  qo‘yishning  barcha  simvollari  o‘z  o‘rnida  qoladigan 

bo‘lsa, bunday o‘rniga qo‘yishga aynan o‘rniga qo‘yish deyiladi, ya’ni: 

1 2 ...

.

1 2 ...

n

E

n





 







  

1

2

1

2

...

...

n

n

f



 





 







 o‘rniga qo‘yishga teskari 

1

f



 o‘rniga qo‘yish  

1

2

1

...

...

1

2

n

f

n



 







 







 

shaklda bo‘ladi. Quyidagi tenglik o‘rinli ekanini tekshirib ko‘rish qiyin emas: 

1

1

1 2 ...

1 2 ...

n

f

f

f

f

E

n











  







. 

Ta’kidlash joizki,  

1

2

...

:

...

(1)

(2) ...

( )

n

f

f

f

f n







 

qoidani qaysi tartibda  yozilishi ahamiyatga  ega emas, shuning uchun 

1

f



 o‘rniga 

qo‘yishning  ustunlari  bo‘yicha  shunday  joylashtiramizki,  uni  birinchi  satrida 

tartiblangan 

1, 2,..., n

 o‘rin almashtirish joylashtiriladi.  

 

5-misol.  

1

2

3

4

3 1

4

2

f





 







 bo‘lsa, 

1

2 1

4 3

1 2 3 4

1

3 2

4

1 4 1

3

f





 









 





 



 bo‘ladi. 

 

Ravshanki, 

n

-darajali  o‘rniga  qo‘yishlarni  ko‘paytirish  assosiativlik 

qoidasiga bo‘ysunadi, ya’ni 



f, g, h o‘rniga qo‘yishlar uchun 









.

f

g

h

f

g h



  

Ammo o‘rniga qo‘yishlar kommutativlik qoidasiga bo‘ysunmaydi.  

 

6-misol. 

1

2 3

4

,

3 1

4

2

f





 







 

1 2 3

4

1 3

4

2

g





 







  o‘rniga  qo‘yishlar 

berilgan bo‘lsa, u holda   

1

2 3

4

,

4 1

2 3

f

g





 







 

1

2 3

4

3 4

2 1

g

f





 







. 

Bundan 

f

g

g

f



 ekanligi  kelib chiqadi. 

Matritsalar va ular ustida amallar. 

 

9-ta’rif. 

m

  ta  satr  va 

n

  ta  ustundan  iborat  bo‘lgan  quyidagi  to‘rtburchakli 

jadvalga 

 

1,1

1,2

1,

2,1

2,2

2,

,1

,2

,

...

...

...

...

...

...

...

n

n

m

m

m n

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a



























  

(8.1) 

matritsa deyiladi. 

Odatda 

A

 matritsani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin: 

 

,

(

),

1, ,

1, .

i j

A

a

i

m j

n







  

(8.2) 

Bu yerda 

,

i j

a

 sonlar matritsaning elementlari deb ataladi.  

Satrlari soni ustunlari soniga teng bo‘lgan, ya’ni 

m

n



 bo‘lgan matritsa n-

tartibli kvadrat matritsa deb ataladi.  

10-ta’rif.  Berilgan 

A

  matritsaning  satrlarini  ustunlari,  ustunlarini  satrlari 

bilan  almashtirishdan  hosil  bo‘lgan  matritsa 

A

  matritsaga  transponirlangan 

matritsa deyiladi va 

T

A

 kabi belgilanadi, ya’ni  

1,1

1,2

1,

2,1

2,2

2,

,1

,2

,

...

...

...

...

...

...

...

n

n

m

m

m n

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a



























  bo‘lsa, 

1,1

2,1

,1

1,2

2,2

,2

1,

2,

,

...

...

...

...

...

...

...

m

m

T

n

n

m n

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a



























. 

Endi  matritsalar  ustida  amallarni  aniqlaymiz.  Matritsalarni  qo‘shish  amali 

bir hil tartibli matritsalar uchun aniqlanadi.  

11-ta’rif. 

,

,

( )

m n

A B

M



 

matritsalarning 

yig‘indisi 

deb, 

bu 

matritsalarning  mos  satr  va  ustun  elementlarini  qo‘shish  natijasida  hosil  bo‘lgan 

m n



-tartibli matritsasiga aytiladi. Agar  

1,1

1,2

1,

2,1

2,2

2,

,1

,2

,

...

...

...

...

...

...

...

n

n

m

m

m n

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a



























, 

1,1

1,2

1,

2,1

2,2

2,

,1

,2

,

...

...

...

...

...

...

...

n

n

m

m

m n

b

b

b

b

b

b

B

b

b

b



























 

ko‘rinishda bo‘lsa, u holda  

 

1,1

1,1

1,2

1,2

1,

1,

2,1

2,1

2,2

2,2

2,

2,

,1

,1

,2

,2

,

,

...

...

.

...

...

...

...

...

n

n

n

n

m

m

m

m

m n

m n

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

A

B

a

b

a

b

a

b

























 



















  

(8.3) 

12-xossa.  Ixtiyoriy 

,

, ,

( )

m n

A B C

M



  matritsalar  uchun  quyidagilar 

o‘rinli: 

a) 

;

A B

B

A

  

 

b) 

(

)

(

).

A B

C

A

B C



  



 

Barcha  elementlari  nollardan  iborat  bo‘lgan  matritsa  neytral  (nol)  matritsa 

deyiladi. 

,

( )

m n

A

M



  matritsa  uchun  qarama-qarshi  matritsa  quyidagi 

matritsadan iborat:  

1,1

1,2

1,

2,1

2,2

2,

,1

,2

,

...

...

.

...

...

...

...

...

n

n

m

m

m n

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

























 



















 

13-ta’rif.  Ixtiyoriy 

,

( )

m n

A

M



  matritsani 





  soniga  ko‘paytmasi 

deb quyidagi matritsaga aytiladi: 

1,1

1,2

1,

2,1

2,2

2,

,1

,2

,

...

...

.

...

...

...

...

...

n

n

m

m

m n

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a















































 

 

Endi  matritsalarni  ko’paytirish  amalini  kiritamiz.  Ikkita  matritsaning 

ko‘paytmasi faqat birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning satrlari 

soniga teng bo‘lgan holdagina aniqlanadi.   

14-ta’rif. 

,

( )

m n

A

M



  va 

,

( )

n s

B

M



  matritsalarning  ko‘paytmasi 

deb,  shunday 

A B



  matritsaga  aytiladiki,  uning 

i



satr  va 

j



ustunida  turgan 

elementi 

A

  matritsaning 

i



satridagi  va 

B

  matritsaning 

j



ustunidagi  mos 

elementlari  ko‘paytmalarining  yig‘indisiga  teng,  ya’ni 

A B



  matritsaning 

elementlari  

 

1 1

2 2

...

,

i

j

j

in nj

a b

a b

a b



 

 

1

,

i

m

 

 

1

j

s

 

  

(8.4) 

yig‘indidan iborat.  

Berilgan  ta’rifdan  ko‘rinib  turibdiki, 

,

( )

m n

A

M



  va 

,

( )

n s

B

M



 

matritsalarni  ko‘paytirish  natijasida  hosil  bo‘lgan 

A B



  matritsa 

m s



-tartibli 

matritsa bo‘ladi, ya’ni 

,

( )

m s

A B

M

 

.  

15-xossa. Ixtiyoriy 





, 

A

 va 

B

 matritsalar uchun quyidagilar o‘rinli: 

a) 

A

A





  

; 

b) 

(

) A

A

A

 







    

; 

c) 

(

)

(

)

A

A

 

 



  



; 

d) 

1

1

A

A

A

   

; 

e) 

(

)

A

B

A

B











   

; 

f) 

(

)

(

)

(

)

A

B

A

B

A B









  



 



. 

16-xossa. 

,

( )

m n

A

M



, 

,

( )

n s

B

M



  va 

,

( )

s t

C

M



  matritsalar 

uchun  

(

)

(

)

A B C

A

B C



  



 

munosabat o‘rinlidir.

 

 

7-misol. Bizga 

2

3

5

7

A





 









 va 

3

4

6

5

B





 







 matritsalar berilgan bo‘lsin. 

2 3 3 6

2 4 3 5

24

23

,

5 3 7 6

5 4 7 5

27 15

A B

  

  



 



 





 



   

   



 



 

3 2

4 ( 5)

3 3 4 7

14 37

.

6 2 5 ( 5)

6 3 5 7

13 53

B A

   

  





 



 





 



   

  





 



 

Demak,  matritsalarni  ko‘paytirish  amali  kommutativ  emas,  ya’ni 

A B

B A

  

.   

 Endi 

,

,

( )

m n

A B

M



, 

,

( )

k s

C

M



 matritsalar uchun kiritilgan qo‘shish 

va  ko‘paytirish  amallarini  bog‘lovchi  distributivlik  shartini  o‘rinli  ekanligini 

ko‘rsatamiz. 

17-xossa. 

(

)

A

B C

A C

B C



    

.  

18-ta’rif.  Bosh  diagonali  elementlari  1  ga  teng  bo‘lib,  qolgan  barcha 

elementlari 0 ga teng bo‘lgan 

n

-tartibli kvadratik matritsa birlik matritsa deyiladi 

va birlik matritsa 

E

 kabi belgilanadi, ya’ni  

1

0

...

0

0

1

...

0

.

... ... ... ...

0

0

...

1

E



























 

 

Ma’lumki,  ixtiyoriy 

( )

n

A

M



  uchun 

A E

E A

A

   

    munosabat 

o‘rinli. 

19-ta’rif. Agar 

( )

n

A

M



 matritsa uchun 

( )

n

B

M

 

 matritsa topilib, 

A B

B A

E

   

 tenglik bajarilsa, 

B

 matritsa 

A

 matritsaning teskarisi deyiladi, 

A

 matritsa esa teskarilanuvchi matritsa deyiladi. 

Teskarilanuvchi 

A

 matritsaning teskarisi 

1

A



 kabi belgilanadi. Matritsaning 

teskarilanuvchanlik  sharti  va  teskarisini  topish  usulini  keyingi  mavzularda 

keltiramiz. 

8-misol. Inversiyalar sonini toping. 

1)  2, 3, 5, 4, 1; 

 

 

2) 1, 3, 5, 7, …, 2n-1, 2, 4, 6, 8, …, 2n. 

Yechish. 1) O’ngda 2, 3 va 4 dan kichik faqat 1 element bor va 5 dan kichik 4 va 1 

ya’ni ikkita element bor. Jami 1+1+1+2=5.  

2) 1 dan kichik 0 ta, 3 dan kichik 1 ta, 5 dan kichik 2 ta, …, 2n-1 dan kichik n ta va 

qolgan juft sonlar o’sish tartibida bo’lgani uchun ularda jami inversiyalar soni 0 ga 

teng. Jami 





1

1 2 3

2

n n

n



   

 

 

Mustaqil ishlash uchun misollar. 

Inversiyalar sonini toping. 

1.  8, 3, 4, 5, 7, 2, 1, 6; 

2.  1, 4, 7, …, 3n-2, 2, 5, 8, … , 3n-1, 3, 6, 9, …, 3n; 

3.  2, 5, 8, …, 3n-1, 1, 4, 7, …, 3n-2, 3, 6, 9, …, 3n; 

4.  4n, 4n-4, …, 8, 4, 4n-1, 4n-5, ..., 7, 3, 4n-2, 4n-6, ..., 6, 2, 4n-3, 4n-7, ..., 5, 1.